Bir fonksiyonun bir noktada sürekliliği

Süreklilik matematik ve bir çok bilim dalında uygulamaları olan önemli bir kavramdır.  Bir fonksiyonun herhangi bir noktada sürekli olması için öncelikle o noktada tanımlı bir fonksiyon olması gerekir. Tanımsız olan bir noktada süreklilik aranmaz. Tanımlı olarak verilen bir noktada fonksiyonun sürekliliği araştırılırken fonksiyonun verilen x=a noktasında limitinin olması gereklidir. Yani fonksionun o noktadaki sağdan ve soldan limit değerleri birbirine eşit olmalıdır. Fonksiyonun verilen x=a noktasındaki limit değeri fonksiyonun o noktadaki görüntüsüne yani f(a) değerine de eşit olmalıdır. Bu şartlar sağlandığında "fonksiyon x=a noktasında süreklidir" denir (continous function). Sürekli olmayan fonksiyon o noktada süreksiz olur. 

Süreklilik kavramı bir fonksiyonun tanım kümesine ait bir x₀ noktası için f (x₀) noktası ve x₀  noktasının sağ ve sol tarafındaki değerler (noktanın sağ ve sol komşulukları) hakkında bilgi verir.  Bir x₀∈R noktası için A kümesinin bir  ε>0 reel sayısı olmak üzere x₀ noktasının herhangi bir ε komşuluğunda (x₀−ε , x₀₊ ε) ⊆ A özelliğine sahip bir alt kümesinde tanımlı bir f : A → R fonksiyonu için, x bağımsız değişkeni x₀ reel sayısına yaklaşırsa f(x) değerleri de f(x₀) değerine yaklaşmış olur. Bu şekildeki fonksiyonların sağdan ve soldan yaklaşma değerleri birbirine eşit ise fonksiyonun bu noktada limiti vardır. Bu limit değeri, fonksiyonun x₀ noktasındaki f(x₀) değerine eşit ise bu fonksiyon bu noktada sürekli olur. 

Süreklilik tanımının haricinde bazı f:A→R parçalı fonksiyonları için x bağımsız değişkeni x₀ reel sayısına sağdan veya soldan yaklaştığında f(x) değerleri f(x₀) değerine yaklaşmaz. Bu şekildeki fonksiyonlar x₀ noktasında sürekli olmaz yani fonksiyon x₀ noktasında süreksizdir. Bir fonksiyon bütün Reel sayılar kümesinde süreklilik tanımını sağlıyorsa fonksiyona sürekli fonksiyon denir. Polinom fonksiyonlar her noktada sürekli fonksiyonlara örnek olarak verilebilir.

Fonksiyonun sürekliliğini epsilon-delta tanımına göre gösterebilmek için verilen koşulun her durumda sağlandığı δ (delta) bir değerini ε (epsilon) cinsinden ifade edebilmemiz gerekir. Aşağıda buna bir örnek verilmiştir. Buradaki tanımın genel limit tanımından farkı; fonksiyonun o noktadaki (x=a noktasındaki) f(a değerinin limit tanımına yerleştirilmesidir.