Doğrunun Analitiği "Doğrunun Denklemi"

Eğim, dikey mesafenin yatay mesafeye oranlanması ile bulunur. Eğim, ondalık kesir veya yüzde olarak ifade edilir.Bir doğruda, eğim hesaplanırken doğrunun eksenle yaptığı açının tanjantına bakılır. Tanjant, bir dik üçgende karşı kenar uzunluğunu komşu kenar uzunluğuna bölmektir. Denklemi y = ax + b biçiminde olan bir doğrunun eğimi, x'in kat sayısına yani a değerine eşittir. Eğer doğru denklemi bu şekilde verilmezse ya denklemde eşitliğin bir tarafında y tek başına bırakılarak yazılmaya çalışır ya da x'in katsayısı y nin katsayısına oranlanır başına bir "-"yazılır.

Örnek: y = 2x + 5 doğru denkleminin eğimi 2'dir.
Örnek: y=-15x+4 doğru denkleminin eğimi -15 tir.
Örnek: 3x+4y=5 denkleminin eğimi -3/4 tür.
Örnek: -3x+5y=8 denkleminin eğimi 3/5 tür.
Örnek: 6x-3y=1 doğrusunun eğimi 6/3=2 olur.

Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan (alfa) eğim açısı gösterilmiştir. Herhangi bir doğru verildiğinde o doğrunun x ekseni ile yaptığı açı biliniyorsa doğrunun eğimi kolayca bulunabilir. Açının tanjantı doğrunun eğimidir.

Örnek: Doğru x ekseni ile 45 derecelik açı yapıyorsa eğimi tan45=1 olur. Eğer doğru x ekseni ile 135 derecelik açı yapıyorsa doğrunun eğimi tan135=-1 olur.

x eksenine paralel doğruların eğimleri 0'dır.

y eksenine paralel doğruların eğimleri ise doğru x eksenine dik olduğu için açısal olarak tanjant fonksiyonu burada tanımlanamadığından doğruların eğimlerinden söz edilemez. Eğim=Tanımsızdır.

Örnek: y=3 doğrusunun eğimi x eksenine tam paralel bir doğru olduğu için herhangi bir açı oluşmayacaktır bu nedenle de bu doğrunun eğimi "0" olacaktır. x=5 doğrusunun eğimi yoktur.

Paralel Doğrular; Hiçbir ortak noktası olmayan doğrulara paralel doğrular denir. Paralel doğrular bir düzlem üzerinde hiçbir zaman kesişmezler. Paralel doğruların eğimleri eşittir. 

Dik Doğrular; İki doğrunun keşisimleri varsa ve bu doğruların aralarındaki açı 90 derece ise bu doğrular birbirine diktir. Dik olan doğruların eğimleri çarpımı (-1)'dir. Yeni birinin eğimi dik olan diğer doğrunun eğiminin çarpma işlemine göre tersinin negatif işaretlisidir. 

Doğruların denklemi 

Analitik düzlemde, eğimi ve üzerinden geçtiği bir noktası bilinen bir doğrunun denklemi yazılabilir. Doğrunun eğimi verilmeden sadece iki noktası verilmişse yine doğrunun denklemi bulunabilir. İki noktası verilen bir doğrunun denklemi için öncelikle verilen iki noktadan geçen doğrunun eğimi hesaplanır. İki noktası verilen doğrunun eğimi; noktaların ordinatları farkının apsisleri farkına bölümü ile hesaplanır. Eğim bulunduktan sonra doğrunun denklemi aşağıda gösterildiği gibi yazılır.

Doğrunun denkleminin veren bu ifade; aslında doğru üzerinde yer alan iki farklı noktanın arasındaki eğim hesabından yola çıkılarak elde edilmiş bir denklemdir. Bu denklem bulunurken doğru üzerinde yer alan her iki noktanın arasında kalan eğimler eşit olması kuralı kullanılır.

Sadece iki noktası verilen doğruların denklemi yazılırken öncelikle iki noktadan doğrunun eğimi bulunur. Daha sonra yukarıdaki bir nokta ve doğrunun eğimi yardımıyla doğrunun denklemi yazılır.

Doğruların Grafikleri:

Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur. x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır. Eğer bir doğrunun eksenleri kestiği x ve y değerleri 0 çıkıyorsa bu doğru orijinden geçer. Bu durumda doğrunun koordinat düzlemindeki 1.veya 2.bölgeye olan uzantısının bulunması gerekecektir. Bunu belirlemek için de x yerine farklı bir nokta alınarak y değeri bulunur bu noktanın bulunduğu bölge ile orijinden doğru grafiği çizilir.

Ayrıntılı grafik çizme işlemleri için doğru grafiği çizme yazımızı okuyabilirsiniz. (Bkz. Doğruların Grafik Çizimi)

Öteleme, Süsleme ve Örüntü Oluşturma

Öteleme nedir?

Bir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde (sağ, sol, yukarı, aşağı) yaptığı kayma hareketi ötelemedir. Öteleme hareketi sonunda nesnenin geldiği yer, görüntüsüdür. Ötelemede şeklin duruşu, biçimi ve boyutları aynı kalır. Örneğin şeklimiz 3 birim yukarı, 4 birim sağa kaydırılacak ama yönü değişmeyecek sadece yer değiştirmiş olacaktır.

Örüntü nedir?

Belirli bir kurala göre art arda gelen eş veya benzer şekillerin oluşturduğu topluluğa örüntü denir. Farklı şekillerin biraraya gelerek oluşturdukları yeni şekildir. Örneğin, kağıttan birbirine eş bir sürü üçgen şeklini kestiniz. Bunlarla bulmaca gibi balık, kuş, ev, halı, kare, dikdörtgen gibi farklı desenlerde yeni şekiller meydana getirebilirsiniz. İşte bu oluşturduğunuz yeni şekillere birbiri ile anlamlı bir kural oluşturduğu takdirde örüntü adı verilir. Yalnız buradaki kestiğiniz üçgenlerin birbirine eş ve benzer olması gerekir. 

Süsleme nedir?

Bir düzlemin boşluk kalmadan ve şekiller üst üste gelmeden örüntü oluşturacak şekilde döşenmesidir. Süsleme yapılırken düzgün olan ya da düzgün olmayan çokgenler kullanılabilir. Çokgenler arasında boşluk kalmamalıdır. Üçgenle, kareyle, dikdörtgenle, düzgün altıgenle, düzgün sekizgenle süsleme yapılabilir. Arada boşluklar kalan cisimlerle süsleme motifleri oluşturulamaz. Şekiller öteleme hareketi ile döşenirse ötelemeli süsleme yapılmış olur. Örneğin okuldaki fayansların dizilişi, halı desenleri gibi.

Süsleme yapılabilmesi için, her bir köşede oluşan açıların ölçülerinin toplamı 360 derece olmalıdır.

Süslemenin Kodu Nasıl Bulunur?

Bir süslemede, her köşedeki düzgün çokgensel bölgelerin kenar sayıları süslemenin kodunu verir. Burada verilen süslemeli şeklin ortadaki köşelerinden birini belirleriz ve bu köşe etrafında oluşan şekillerin kenar sayısı ve kaç tane olduğuna göre kod yazarız.

Karelerden oluşan bir süslemede kod: 4,4,4,4 

(köşe etrafında 4 kenarlı 4 tane kare vardır anlamına gelir.)

Eşkenar üçgenlerden oluşan bir süslemede kod:3,3,3,3,3,3 

(köşe etrafında 3 kenarlı 6 tane üçgen vardır anlamına gelir.)

Düzgün altıgenlerden oluşan bir süslemede kod: 6,6,6 

(köşe etrafında 6 kenarlı 3 tane altıgen vardır anlamına gelir.)

Farklı çokgenler bir arada kullanılarak da süslemeler elde edilebilir. Bu durumda kullanılan çokgenlere göre süsleme kodu değişir. Hangi çokgenler kullanılmış ise bunların kenar sayılarına göre süsleme kodu sırayla yazılır.

Bir Cismin İzdüşüm özellikleri

İzdüşüm: Bir cismin, bir düzlem üzerine,ışınların etkiyle düşürülen görüntüsüne, o cismin izdüşümü, görüntünün elde edilebilmesi için uygulanan metoda ise izdüşüm metodu denir.Sinemada perdeye yansıyan film,güneşli bir günde yolda yürürken meydana gelen gölgemiz birer izdüşüm kabul edilir. İzdüşüm metodunun uygulamaları cisimlerin biçimlerinin teknik ve meslek resmi yönünden anlatılmasına hizmet eder. 

Geometrik cisimlerin Simetrisi

Sözlük anlamı olarak simetri: [Simetri, ilki, belirsiz bir mükemmelik veya güzeliği yansıtan, bir muntazamlık veya estetik olarak hoşa giden bir orantılılık ve denge duygusu olarak; İkincisi kesin ve iyi tanımlanmış biçemsel sistemin kurallarına (geometri, fizik vb.) göre gösterilebilen veya ispat edilebilen bir denge ve orantılılık kavramı veya "kendine benzeşme örneği"' olarak tanımlanır. Simetri sözü aynı zamanda düzen, estetik ve güzellik kavramlarını da çağrıştırmaktadır. Kainatta pek çok yerde simetrik düzene sahip pek çok ayrıntıyı görebiliriz. Doğa yasalarında, canlı formlarında, yer yüzü şekillerinde, bitkilerde, sonradan insan eliyle üretilmiş eşyalarda, bilim ve sanat gibi pek çok alanda simetriye sahip şekil ve kavramlarla karşılaşmak mümkündür. Simetri, esasında bir denge unsurudur. Simetri hakkında yazılmış bir makalede şu ifadeler dikkat çekicidir. 

"Sonuç olarak söyleyebiliriz ki, simetri bir denge meselesi olmakla, mevcut olmanın temel taşlarından, vazgeçilmez şartlarından biridir. Nereye göz atarsak, mutlaka simetriyle, simetrinin bir tezahür formuyla karşılaşırız. İster göklerde uçan kuşlar, ister deryalarda yüzen balıklar, isterse de ip üzerinde oyun çıkaran cambaz olsun; hepsinin statik-donuk veya dinamik-aktif denge-simetrisinin izlerini taşıdığına tanık oluruz. “Anladığım kadarıyla, fizikçilerin tüm apriori hükümlerinin kaynağı simetridir”. Bu sözler, simetri alanında uzun yıllar söz sahibi olmuş ve hayatta olmamasına rağmen yine de söz sahibi olmaya devam eden, ender rastlanan matematikçi-pedagog Hermann Weyl’e aittir...Son olarak tüm bu olayların merkezinde ve de kendisine layık olan yükseklikte yer alan insana geldiğimizde, demek lazım ki, onun da doğanın bir parçası olarak belli simetri özellikleri vardır elbette. Bunların bazılarını hayatta kazandığımız halde, büyük çoğunluğuna diğer canlılar gibi doğuştan sahip oluruz...Canlı varlıklar simetri özelliğine sahiptir; yaşamları boyu bu simetriyi, bir başka deyişle sahip oldukları bu düzeni korumaya çalışmaktadırlar...Sonuç olarak, simetri denilen şey, bildiğimiz-bilmediğimiz tüm nesneleri kapsayabilen potansiyel ve güce sahiptir.. 

(İsmihan Yusubov, Doğanın kalite mührü “simetri” üzerine, Sakarya Üniversitesi, 2007, https://bilimvegelecek.com.tr/index.php/2004/03/01/doganin-kalite-muhru-simetri-uzerine/)

Çok Yüzlü cisimler için "Euler Formulü"

Üç boyutlu nesnelere katı cisim denir. Bir katı cisim herhangi bir ölçüye veya şekle sahip olabilir. Ancak çokyüzlüler; küreler, silindirler ve koniler gibi birçok katı cismin kendisine has özellikleri vardır.Her biri yüz adını alan düzlemsel çokgenlerle sınırlanan katı cisimlere çokyüzlüler denir. Yüzlerin birbiriyle kesiştiği doğrular ayrıt olarak adlandırılır. 

Üç veya daha fazla yüzün kesiştiği noktaya ise köşe denir. Bir çokyüzlüde, iki yüzün kesiştiği yerde oluşan açıya iki düzlemli açı denir.Bütün iki düzlemli açıları 180° den küçük olan çokyüzlüye dışbükey çokyüzlü denir; örnek olarak küp verilebilir. iki düzlemli açılardan en az biri 180° den büyük olan çokyüzlüye içbükey çokyüzlü denir. Bu da en az bir köşe noktasının katının içine doğru olduğu anlamına gelir. Bütün yüzleri özdeş düzgün çokgenlerden oluşan çokyüzlüye düzgün çokyüzlü denir. Köşelerdeki açılar eşittir. Beş tane düzgün çokyüzlü vardır. Bunlar, Yunan filozof Platon’un adıyla anılır ve Platonik cisimler olarak adlandırılır.

Bir düzgün dörtyüzlü her biri eşkenar üçgensel bölge olan dört tane yüze sahiptir. Bir küpün altı tane karesel bölge yüzü vardır.Bir düzgün sekizyüzlü, her biri eşkenar üçgensel bölge olan sekiz tane yüze sahiptir. Bir düzgün on iki yüzlü, her biri düzgün beşgensel bölge olan on iki tane yüze sahiptir. Bir düzgün yirmi yüzlü, her biri eşkenar üçgensel bölge olan yirmi tane yüze sahiptir. Yüzleri çeşitli düzgün çokgensel bölgelerden oluşan çokyüzlüye yarı düzgün çokyüzlü denir. Bir otuz iki yüzlü, 20 üç- gensel bölge ve 12 beşgensel bölge olmak üzere toplam 32 yüzden oluşan bir yarı düzgün çokyüzlüdür.

Bir çok yüzlü için;köşe sayısı ile yüzey sayısının toplamından kenar(ayrıt) sayısı çıkarıldığında daima sabir bir değer olan 2 sayısı elde edilir. Bu formüle Euler çokyüzeyli formülü denir. Bu formül ünlü matematikçi Leonhard Euler (1707-1783) tarafından bulunmuştur.

Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayrıt Sayısı=2