Bölgelere göre Sayım Oranı (BSO)

Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO), iki nicel değişken arasındaki korelasyonun (ilişkinin) yönünü ve gücünü pratik bir şekilde hesaplamaya yarayan yöntemdir. Bu yöntemi uygulamak için öncelikle X ve Y değişkenlerine ait verilerin ortalamaları hesaplanır ve grafikte bu ortalamalardan geçen iki eksen çizilerek grafik dört bölgeye ayrılır. Elde edilen düzlemde 1. ve 3. bölgelerde kalan noktalar pozitif (doğru) ilişkiyi, 2. ve 4. bölgelerde kalan noktalar  ise negatif (ters) ilişkiyi temsil eder. BSO Hesabının formülü ise 1. ve 3. bölgedeki toplam nokta (n₁ + n₃) sayısından, 2. ve 4. bölgedeki toplam nokta (n₂ + n₄) sayısının çıkarılması ve çıkan sonucun toplam nokta sayısına (n₁ + n₂ + n₃ + n₄) bölünmesiyle bulunur.

Noktalar, aritmetik ortalama ekseninin tam üzerinde ise BSO hesaplarına dahil edilmez. Aykırı değerler, korelasyon katsayısını (r) mutlak değerce düşürerek sıfıra yaklaştırır.

Bölgelere göre Sayım Oranı (BSO) işlemini detaylıca şöyle anlatalım: Buradaki Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO), iki nicel değişken arasındaki ilişkinin pozitif mi negatif mi olduğunu ve ne kadar güçlü olduğunu yaklaşık olarak anlamamızı sağlayan pratik bir yöntemdir. Önce Serpilme Grafiğinde X ve Y değişkenlerinin ortalamalarını buluruz. Daha sonra serpilme grafiğinde X ortalamasından dikey, Y ortalamasından yatay bir çizgi çizeriz. Böylece grafik 4 bölgeye ayrılmış olur. Bir nokta hem X hem de Y ortalamasının üstündeyse 1. bölgede, ikisinin de altındaysa 3. bölgede yer alır. 1 ve 3. bölgeler pozitif ilişkiyi gösterir. X ortalamasının altında, Y ortalamasının üstünde olan noktalar 2. bölgede; X'in üstünde, Y'nin altında olan noktalar ise 4. bölgede bulunur ve 2. ve 4. bölgedeki noktalar da negatif ilişkiyi gösterir. 

BSO'yu bulmak için 1. ve 3. bölgelerdeki nokta sayısını toplarız, ardından 2. ve 4. bölgelerdeki nokta sayısını çıkarırız ve sonucu toplam nokta sayısına böleriz. BSO sonucu pozitifse pozitif ilişki, negatifse negatif ilişki, 0'a yakınsa ilişkinin zayıf olduğunu gösterir.

Örnek tabloda verilen on adet veri ikilisi için Bölgelere Göre Sayım Oranı (BSO) hesabı şu şekildedir: Öncelikle değişkenlerin aritmetik ortalamaları hesaplanır. X değerlerinin ortalaması (1 + 3 + 4 + 5 + 8 + 7 + 8 + 8 + 10 + 0) / 10 = 5,4 olarak, Y değerlerinin ortalaması ise (2 + 5 + 4 + 7 + 2 + 8 + 3 + 9 + 5 + 0) / 10 = 4,5 olarak bulunur. Elde edilen X = 5,4 ve Y = 4,5 kesişim doğrularına göre veri noktaları 4 bölgeye ayrılır. 

1. bölgede (X > 5,4 ve Y > 4,5) olan (7, 8), (8, 9) ve (10, 5) olmak üzere 3 nokta bulunur (n₁ = 3). 2. bölgede (X < 5,4 ve Y > 4,5) olan (3, 5) ve (5, 7) olmak üzere 2 nokta bulunur (n₂ = 2). 3. bölgede (X < 5,4 ve Y < 4,5) olan (1, 2), (4, 4) ve (0, 0) olmak üzere 3 nokta bulunur (n₃ = 3). 4. bölgede (X > 5,4 ve Y < 4,5) olan (8, 2) ve (8, 3) olmak üzere 2 nokta bulunur (n₄= 2). Toplam nokta sayısı N = 10'dur. Bölgelere Göre Sayım Oranı hesabı, BSO = [(n₁ + n₃) - (n₂ + n₄)] / N formülü ile yapılır. Veriler yerine konulduğunda BSO = [(3 + 3) - (2 + 2)] / 10 = (6 - 4) / 10 = 2 / 10 = 0,20 sonucu elde edilir. Bu durum, iki değişken arasında pozitif yönlü ancak zayıf bir ilişki olduğunu gösterir.

ÖRNEK (Kitap Okuma Süresi-Türkçe Puanı) BSO hesabı için farklı bir grafik verelim ve burada grafikte sunulan veri seti üzerinden öğrencilerin haftalık kitap okuma süreleri (X) ile Türkçe dersi sınavından aldıkları puanlar (Y) arasındaki ilişkiyi görelim: Yatay eksen haftalık kitap okuma süresini saat cinsinden, dikey eksen ise öğrencilerin Türkçe sınav puanını göstermektedir. 

Veri setindeki noktalar yardımıyla verilerin ortalamaları belirlenerek çizgiler ile grafik dört ana bölgeye ayrılmıştır. Grafikteki pembe çizgiler, X ve Y değişkenlerine ait verilerin aritmetik ortalamaları hesaplanarak çizilmiştir. 

Dikey Pembe Çizgi (X Ortalaması): Grafikteki 30 noktanın X değerleri tek tek okunur: 4, 5, 4, 5, 4, 5, 5, 4, 1, 2, 2, 1, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 2, 1, 3, 3, 8, 5, 7, 5, 5, 4. Bu 30 X değerinin toplamı 105'tir. Toplam veri sayısı 30 olduğuna göre X ortalaması 105 / 30 = 3,50 bulunur. Bu nedenle grafikte X ekseninde 3,50 değerinden geçen dikey çizgi çizilir.

Yatay Pembe Çizgi (Y Ortalaması): 30 noktanın Y değerleri tek tek okunur: 68, 74, 76, 68, 70, 66, 61, 63, 61, 73, 61, 69, 67, 70, 63, 57, 54, 56, 59, 50, 52, 56, 48, 42, 45, 50, 58, 59, 49, 55. Bu değerlerin toplamı 1800'dür. Toplam veri sayısı 30 olduğundan Y ortalaması 1800 / 30 = 60 bulunur. Bu nedenle Y ekseninde 60 değerinden geçen yatay çizgi çizilir.

Bölgelerdeki Noktaların Sayılması: X ortalaması 3,50, Y ortalaması 60 olduğuna göre noktalar bu iki çizgiye göre dört bölgeye ayrılır. I. bölgede (n₁) 6 nokta (1, 2, 3, 4, 5, 6), II. bölgede (n₂) 7 nokta (9, 10, 11, 12, 13, 14, 15), III. bölgede (n₃) 8 nokta (16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23), IV. bölgede (n₄) 7 nokta (24, 25, 26, 27, 28, 29, 30) bulunmaktadır. Sonuç olarak nokta sayımı: I = 8, II = 7, III = 8, IV = 7 şeklindedir.

Bölgelere göre Sayım Oranı (BSO) Hesabı: Toplam nokta sayısı N = 8 + 7 + 8 + 7 = 30'dur. Pozitif ilişkiyi gösteren I. ve III. bölgelerdeki noktalar 8 + 8 = 16, negatif ilişkiyi gösteren II. ve IV. bölgelerdeki noktalar ise 7 + 7 = 14 tanedir. Buna göre:

BSO = [(n₁ + n₃) − (n₂ + n₄)] / N

BSO = [(8 + 8) − (7 + 7)] / 30

BSO = (16 − 14) / 30 = 2 / 30 ≈ +0,067 bulunur. 

BSO değeri (+0,067) pozitif yönlüdür ancak bu değer örneğe göre çok zayıf bir ilişkiye işaret eder. Yani bu veri setinde kitap okuma süresi arttıkça Türkçe sınav puanının artma eğilimi olmasına rağmen BSO'ya göre bu ilişki oldukça zayıftır. Yani verilen örneğe göre kitap okuma süresi arttıkça Türkçe dersi başarı puanlarının arttığı tam olarak söylenemez.

Korelasyon Nedir?

Korelasyon, iki nicel değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve ne kadar birlikte değiştiklerini gösteren istatistiksel bir kavramdır. Örneğin ders çalışma süresi ile sınav notu arasında ilişki varsa, çalışma süresi arttıkça sınav notlarının da artması pozitif bir korelasyonu gösterir. Ancak korelasyon, iki değişken arasında kesin olarak neden-sonuç ilişkisi olduğunu göstermez.

Korelasyon katsayısı, iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve gücünü sayı olarak ifade eder. Güçlülük derecesine göre -1 ile +1 arasında değer alır. +1 tam pozitif ilişkiyi, -1 tam negatif ilişkiyi, 0 ise doğrusal bir ilişkinin olmadığını gösterir. Örneğin korelasyon katsayısı +0,80 ise güçlü pozitif, -0,70 ise güçlü negatif bir ilişki vardır. +0,10 gibi bir değer ise çok zayıf pozitif ilişkiye örnektir.

Korelasyonun temel çeşitleri pozitif, negatif ve ilişki olmaması şeklinde düşünülebilir. Pozitif korelasyonda bir değişken artarken diğeri de artar; örneğin ders çalışma süresi arttıkça sınav notunun artması pozitif korelasyondur. Negatif korelasyonda bir değişken artarken diğeri azalır; örneğin aracın hızı arttıkça belirli bir mesafeyi tamamlama süresinin azalması negatif korelasyondur.

Korelasyon yoksa değişkenler arasında belirgin bir doğrusal ilişki bulunmaz; örneğin ayakkabı numarası ile sınav notu arasında belirgin bir ilişki beklenmez. Sıfır korelasyonda, noktalar birbirinden ayrı olarak dağınık şekilde veya sabit doğru şeklinde görülebilir.

Korelasyon katsayısı +1 veya -1’e yaklaştıkça ilişki pozitif veya negatif yönde güçlenir, 0’a yaklaştıkça zayıflar. Korelasyon neden-sonuç ilişkisini kanıtlamaz. Yani iki değişken ilişkili olsa bile biri diğerine kesin olarak sebep oluyor demek değildir. Korelasyon birimsizdir; değişkenlerin ölçü birimlerinden etkilenmez. Korelasyon katsayısı SPSS, R, SAS, STATA, AMOS, MINITAB gibi çeşitli istatistik yazılımları ile hesaplanabilir.

Serpilme (Saçılım) Grafiği

Serpilme grafiği (saçılım grafiği), iki nicel değişken arasındaki ilişkiyi göstermek için kullanılan bir grafiktir. Her bir kişi veya gözlem için iki değişkenin değerleri belirlenir ve grafikte bir nokta olarak gösterilir. Örneğin öğrencilerin ders çalışma süresi ile sınav notları arasındaki ilişkiyi inceleyebiliriz.

Oluştururken bir değişkeni yatay eksene (X), diğerini dikey eksene (Y) yerleştiririz. Daha sonra her gözlemin iki değerini eşleştirerek grafiğe nokta koyarız. Örneğin bir öğrenci 3 saat çalışıp 70 aldıysa grafiğe (3, 70) noktası konur. Tüm öğrencilerin verileri bu şekilde işaretlenir. Noktaların genel olarak yukarı doğru gitmesi pozitif ilişkiyi, aşağı doğru gitmesi negatif ilişkiyi, dağınık olması ise belirgin bir ilişki olmadığını gösterebilir.

Serpilme (saçılım) grafiğinin temel özellikleri şunlardır: İki nicel değişken arasındaki ilişkiyi gösterir. Her bir nokta bir gözlemi temsil eder. Yatay eksende (X) bir değişken, dikey eksende (Y) diğer değişken bulunur. Noktaların yönü ve dağılımı, değişkenler arasındaki ilişkinin türü hakkında bilgi verir. Noktalar genel olarak yukarı doğru gidiyorsa pozitif ilişki vardır. Noktalar genel olarak aşağı doğru gidiyorsa negatif ilişki vardır. Noktalar düzensiz ve dağınık durumdaysa belirgin bir ilişki olmayabilir. Noktalar birbirine ne kadar yakın ve belirgin bir çizgi oluşturuyorsa ilişki o kadar güçlü, ne kadar dağınıksa ilişki o kadar zayıftır. Grafikte diğer noktalardan çok uzak duran bir nokta varsa buna aykırı değer denebilir.

Verilerin grafikle gösterimi

İstatistiksel araştırma sürecinde belli bir soru etrafında toplanan veriler, düzenlenerek analize hazır hâle getirilir. Veri toplama planı yapma ve verileri analize hazır hâle getirme süreci, oluşturulan istatistiksel araştırma sorularına göre yapılmalıdır. Toplanan veriler analiz edildikten sonra bulguların yorumlanması ve gösterilmesi (sunumu) aşamasına geçilir. Verilerin gösteriminde çizgi, sütun, daire, kutu, serpme, histogram ve nokta dağılımı gibi grafikler kullanılır. 

Tam Değer Fonksiyonu

x, bir gerçek (reel) sayı olmak üzere, x'ten büyük olmayan en büyük tamsayıya x'in tam değeri denir. Bunu ifade eden fonksiyona tam değer fonksiyonu denir. x reel sayısı, ardışık iki tamsayı arasında değişirken, bu tamsayılardan daha büyük olmayan tamsayı, x'in tam değerine eşit olur. Bütün tamsayıların tam değeri kendisine eşittir. Tam değer fonksiyonu, [[x]] işareti ile gösterilir. Tam değer fonksiyonu bazı matematik kitaplarında "kısım fonksiyonu" ismiyle de kullanılmıştır.

Signum (İşaret) Fonksiyonu

Reel sayıların bir alt kümesinden Reel sayılara tanımlanan bir f fonksiyonu için, fonksiyonun 0'dan büyük olduğu yerlerde değerini 1'e eşleyen, fonksiyonun 0'a eşit olduğu yerlerde fonksiyonun değerini 0'a eşleyen ve fonksiyonun 0'dan küçük olduğu yerlerde fonksiyonun değerini -1'e eşleyen fonksiyona, signum fonksiyonu denir. sgn ile gösterilir. signum olarak okunur. Signum fonksiyonun kritik noktaları, f(x)=0 denkleminin kökleridir. Signum fonksiyonun grafiği çizildiğinde, denklemin kökleri olan bu kritik noktalarda, grafik sıçrama yapar.

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinde bazı ortak özellikler bulunur. Bunlar periyodiklik, süreklilik, kesiklik ve simetridir. Periyodiklik, grafiğin belirli bir aralıkta kendini tekrar etmesi anlamına gelir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları sürekli, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise belirli aralıklarda kesiklidir. Ayrıca sinüs ve tanjant fonksiyonları tek fonksiyon, kosinüs ve kotanjant fonksiyonları ise çift fonksiyon özelliği gösterir. Bu durum grafiğin eksenlere göre yansımasını ve genel şeklini belirler. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin çizimi, bu fonksiyonların temel özelliklerinin ve bu özelliklerin grafik üzerindeki etkilerinin sistematik biçimde incelenmesiyle yapılır. Bu süreçte genellikle periyot, genlik, faz farkı ve dikey kayma gibi ortak nitelikler dikkate alınır. 

Grafikler çizilirken belli adımlara dikkat etmek gerekir. y=a.sin⁡(bx+c)+d şeklindeki bir trigonometrik fonksiyonda a fonksiyonun genliği, b fonksiyonun periyodu, c faz değeri (yatay kayma değeri), d dikey kayma değeri olarak tanımlanır. a, b, c ve d değişkenlerine göre grafik çizimi yapılır.

Sekant ve Kosekant Grafikleri

Sekant ve kosekant fonksiyonlarının grafikleri, dikey asimptotlara sahip periyodik eğrilerdir ve değerleri bazı noktalarda fonksiyon tanımları gereği tanımsızdır. Sekant fonksiyonu, cos(x) fonksiyonunun tersi olarak 1/cosx olarak tanımlanır. Bu nedenle grafik çizilirken paydayı sıfır yapan değerlerde tanımsızlık oluştuğundan asimptotlar meydana gelir. x = 0 noktasında fonksiyon y=1 değerinden başlar. x=π/2 ve x =-π/2 noktalarında cos(x)=0 olduğundan sekant tanımsızdır ve bu noktalarda dikey asimptot oluşur. x arttıkça grafik yukarı veya aşağı yönde dallanır ve her 2π birimlik aralıkta aynı şekilde grafik tekrar eder; yani sekant fonksiyonunun periyodu, cosinüs fonksiyonundan dolayı 2π olur.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonu Grafiği

Tanjant fonksiyonunun grafiği, sinx/cosx şeklinde tanımlandığı için paydayı sıfır yapan açı değerlerinde tanımsız olacağından buralarda dikey asimptotlara sahip periyodik bir eğridir. Grafik çizilirken belli özel açı değerleri alınır ve bunların y eksenindeki karşılıkları bulunur. x=0 noktasında y=0 değerinden başlar ve x arttıkça y değerleri yükselir. x=π/2 noktasında tanjant tanımsız olduğu için dikey bir asimptot oluşur; yani grafik bu noktada sonsuza doğru gider ve bu noktadan sonra aşağıdan yukarıya tekrar devam eder. x =π noktasında y=0 değerine tekrar ulaşır ve x =3π/2 noktasında tanjant yeniden tanımsız olacağından tekrar dikey asimptot oluşur. Bu şekilde, her π birimlik aralıkta aynı desen tekrar eder, yani tanjant fonksiyonu π periyoduna sahip bir fonksiyondur. 

Cosinüs Fonksiyonu Grafiği

Cosinüs fonksiyonunun grafiği periyodik bir dalga şeklindedir. Grafik x=0 değeri için cos0=1 olduğundan y=1 noktasından başlar. Ardından x=π/2 noktasında cos(π/2)=0 olduğundan sıfır değerine düşer, x=π noktasında minimum değeri olan y=-1 noktasına ulaşır, x=3π/2 noktasında cos(3π/2)=0 olduğundan tekrar sıfıra döner ve x=2π noktasında cos(2π)=1 olduğundan  2π noktasında yeniden maksimum değere y=1 ulaşır. Bu değerler döngüsel olarak tekrarlandığından grafik tüm reel sayılar boyunca aynı biçimde periyodik olarak devam eder.

Sinüs Fonksiyonu Grafiği

Sinüs fonksiyonunun grafiği, y =sin(x) şeklinde tanımlanan periyodik bir eğridir. Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar, değer kümesi ise [−1,1] aralığıdır. Sinx fonksiyonun periyodu 2π’dir; yani sinüs değeri her 2π birimlik artışta kendini tekrar aynen eder. Grafik çizilirken bazı özel açı değerleri alınarak bunlara karşılık gelen y değerleri bulunur ve bu noktalar koordinat düzleminde gösterilir. 

Doğruların birbirine göre durumları

Doğru tanımsız bir terimdir. Doğru, noktalardan oluşan, birbiri ardınca sıralanmış sonsuz noktaların kümesi olarak ifade edilebilir. Doğrular ya küçük harflerle ya da üzerinde bulunan iki nokta ile gösterilir. 

Türevle Grafik Çizimi

Fonksiyonların grafiğini çizebilmek için aşağıdaki temel adımlar uygulanır. Burada anlatılanlar, her türlü fonksiyonun grafiğini el yordamıyla çizmek için genel şartları içerir. Daha üst fonksiyonların çiziminde çeşitli matematik yazılımları kullanılabilir. Bir fonksiyonun grafiğini çizmek o fonksiyonun fotoğrafını çekmek gibi olduğundan bize fonksiyon hakkında kısa ve net bir şekilde görsel bir bilgi verir.

1) Fonksiyonun tanım kümesi bulunur. Bulunan tanım kümesi çizim yapılırken dikkate alınır.

2) Fonksiyon periyodik bir fonksiyon ise periyodu bulunur. (Trigonometrik Fonksiyonlar gibi)

3) Varsa Yatay ve düşey asimptotları bulunur. (Eğer eğik-eğri asimptotu varsa ayrıca belirlenir)

4) x ve y eksenlerini kestiği noktalar bulunur. x=0 için y eksenini kesen nokta, y=0 için x eksenini kesen nokta bulunur. x ve y eksenini kesmeyen fonksiyonlar ayrıca belirlenir.

5) Fonksiyonun birinci türevi alınır. Ekstremum noktaları bulunur. Maksimum ve minimum olduğu yerler ile artan ve azalan olduğu durumlar belirlenir.

6) Fonksiyonun ikinci türevi alınarak büküm(dönüm) noktası varsa bulunur. 

7) Fonksiyonun birinci ve ikinci türevine göre işaret tablosu yapılarak grafiğin artan azalan olduğu aralıklar ile çukurluk ve tümseklik (konveks ve konkav) aralıkları bulunur.

8) Bütün bu veriler ışığında fonksiyonun grafiği çizilir.

Düşey ve Yatay Asimptot

Bir fonksiyonun grafiği çizildiğinde bu grafikte sonsuza giden bir kolu varsa, bu kol üzerindeki rastgele bir nokta alındığında bu nokta sonsuza doğru götürüldüğünde bu noktanın bir doğruya ya da eğriye olan uzaklığı da sıfıra yaklaşıyorsa (limit değeri olarak) bu doğru ya da eğriye o fonksiyonun için asimptot değeri denir. Asimptotlar yatay ve düşey (dikey) olmak üzere, iki boyutlu uzayda iki kısımda incelenir.

Mutlak Değer Fonksiyon Grafiği

Bir mutlak değer fonksiyonu verildiğinde grafiği çizilirken; öncelikli olarak fonksiyonun kritik noktaları tesbit edilir daha sonra buna göre fonksiyon parçalı fonkiyon biçimde belirlenen noktalara göre tekrar yazılır. Bu aşamadan sonra parçalı fonksiyona dönüştürülen fonksiyonun her bir parçası tek tek çizilir. Şartlara uygun olarak tüm parçalar çizildiğinde esas fonksiyonun grafiği de çizilmiş olur.

 

Doğrunun Analitiği "Doğrunun Denklemi"

Eğim, dikey mesafenin yatay mesafeye oranlanması ile bulunur. Eğim, ondalık kesir veya yüzde olarak ifade edilir.Bir doğruda, eğim hesaplanırken doğrunun eksenle yaptığı açının tanjantına bakılır. Tanjant, bir dik üçgende karşı kenar uzunluğunu komşu kenar uzunluğuna bölmektir. Denklemi y = ax + b biçiminde olan bir doğrunun eğimi, x'in kat sayısına yani a değerine eşittir. Eğer doğru denklemi bu şekilde verilmezse ya denklemde eşitliğin bir tarafında y tek başına bırakılarak yazılmaya çalışır ya da x'in katsayısı y nin katsayısına oranlanır başına bir "-"yazılır.

Örnek: y = 2x + 5 doğru denkleminin eğimi 2'dir.
Örnek: y=-15x+4 doğru denkleminin eğimi -15 tir.
Örnek: 3x+4y=5 denkleminin eğimi -3/4 tür.
Örnek: -3x+5y=8 denkleminin eğimi 3/5 tür.
Örnek: 6x-3y=1 doğrusunun eğimi 6/3=2 olur.

Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan (alfa) eğim açısı gösterilmiştir. Herhangi bir doğru verildiğinde o doğrunun x ekseni ile yaptığı açı biliniyorsa doğrunun eğimi kolayca bulunabilir. Açının tanjantı doğrunun eğimidir.

Örnek: Doğru x ekseni ile 45 derecelik açı yapıyorsa eğimi tan45=1 olur. Eğer doğru x ekseni ile 135 derecelik açı yapıyorsa doğrunun eğimi tan135=-1 olur.

x eksenine paralel doğruların eğimleri 0'dır.

y eksenine paralel doğruların eğimleri ise doğru x eksenine dik olduğu için açısal olarak tanjant fonksiyonu burada tanımlanamadığından doğruların eğimlerinden söz edilemez. Eğim=Tanımsızdır.

Örnek: y=3 doğrusunun eğimi x eksenine tam paralel bir doğru olduğu için herhangi bir açı oluşmayacaktır bu nedenle de bu doğrunun eğimi "0" olacaktır. x=5 doğrusunun eğimi yoktur.

Paralel Doğrular; Hiçbir ortak noktası olmayan doğrulara paralel doğrular denir. Paralel doğrular bir düzlem üzerinde hiçbir zaman kesişmezler. Paralel doğruların eğimleri eşittir. 

Dik Doğrular; İki doğrunun keşisimleri varsa ve bu doğruların aralarındaki açı 90 derece ise bu doğrular birbirine diktir. Dik olan doğruların eğimleri çarpımı (-1)'dir. Yeni birinin eğimi dik olan diğer doğrunun eğiminin çarpma işlemine göre tersinin negatif işaretlisidir. 

Doğruların denklemi 

Analitik düzlemde, eğimi ve üzerinden geçtiği bir noktası bilinen bir doğrunun denklemi yazılabilir. Doğrunun eğimi verilmeden sadece iki noktası verilmişse yine doğrunun denklemi bulunabilir. İki noktası verilen bir doğrunun denklemi için öncelikle verilen iki noktadan geçen doğrunun eğimi hesaplanır. İki noktası verilen doğrunun eğimi; noktaların ordinatları farkının apsisleri farkına bölümü ile hesaplanır. Eğim bulunduktan sonra doğrunun denklemi aşağıda gösterildiği gibi yazılır.

Doğrunun denkleminin veren bu ifade; aslında doğru üzerinde yer alan iki farklı noktanın arasındaki eğim hesabından yola çıkılarak elde edilmiş bir denklemdir. Bu denklem bulunurken doğru üzerinde yer alan her iki noktanın arasında kalan eğimler eşit olması kuralı kullanılır.

Sadece iki noktası verilen doğruların denklemi yazılırken öncelikle iki noktadan doğrunun eğimi bulunur. Daha sonra yukarıdaki bir nokta ve doğrunun eğimi yardımıyla doğrunun denklemi yazılır.

Doğruların Grafikleri:

Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur. x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır. Eğer bir doğrunun eksenleri kestiği x ve y değerleri 0 çıkıyorsa bu doğru orijinden geçer. Bu durumda doğrunun koordinat düzlemindeki 1.veya 2.bölgeye olan uzantısının bulunması gerekecektir. Bunu belirlemek için de x yerine farklı bir nokta alınarak y değeri bulunur bu noktanın bulunduğu bölge ile orijinden doğru grafiği çizilir.

Ayrıntılı grafik çizme işlemleri için doğru grafiği çizme yazımızı okuyabilirsiniz. (Bkz. Doğruların Grafik Çizimi)

Doğruların Grafiğini Çizme

Doğruların Grafikleri:Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur. x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır. Eğer bir doğrunun eksenleri kestiği x ve y değerleri 0 çıkıyorsa bu doğru orijinden geçer. Bu durumda doğrunun koordinat düzlemindeki 1.veya 2.bölgeye olan uzantısının bulunması gerekecektir. Bunu belirlemek için de x yerine farklı bir nokta alınarak y değeri bulunur bu noktanın bulunduğu bölge ile orijinden doğru grafiği çizilir. 

Birbirine paralel olan doğruların hiçbir ortak noktası yoktur. Yani bu doğruların denklemleri ortak çözüm yapılırsa çözüm kümesi boş küme olur. Çakışık doğruların ise tüm noktaları ortaktır. Yani doğru denklemlerinin çözüm kümesi sonsuz elemanlıdır.

Birbirine dik olan doğruların eğimleri çarpımı -1 dir. Paralel olan doğrularda ise yukarıdaki örnekten de görülebileceği gibi eğimleri birbirine eşit olur.