Etiketler :
çok yüzlüler
çokgenler
euler
euler formulü
geometri
katı cisimler
konveks
matematik
matematik formülleri
matematikçiler
platon cisimleri
teorem ispatları
Üç boyutlu nesnelere katı cisim denir. Bir katı cisim herhangi bir ölçüye veya şekle sahip olabilir. Ancak çokyüzlüler; küreler,
silindirler ve koniler gibi birçok katı cismin kendisine has özellikleri vardır.Her biri yüz adını alan düzlemsel çokgenlerle sınırlanan katı cisimlere çokyüzlüler denir. Yüzlerin birbiriyle kesiştiği doğrular ayrıt olarak adlandırılır.
Üç veya daha fazla yüzün kesiştiği noktaya ise köşe denir.Bir çokyüzlüde, iki
yüzün kesiştiği yerde oluşan açıya iki düzlemli açı
denir.Bütün iki düzlemli açıları 180° den küçük olan çokyüzlüye dışbükey çokyüzlü denir; örnek olarak küp verilebilir. iki düzlemli açılardan en az biri 180° den büyük olan çokyüzlüye
içbükey çokyüzlü denir. Bu da en az bir köşe noktasının
katının içine doğru olduğu anlamına gelir. Bütün yüzleri özdeş düzgün çokgenlerden oluşan çokyüzlüye
düzgün çokyüzlü denir. Köşelerdeki açılar eşittir. Beş tane düzgün çokyüzlü vardır. Bunlar, Yunan filozof
Platon’un adıyla anılır ve
Platonik cisimler olarak adlandırılır.
Bir düzgün dörtyüzlü her biri eşkenar üçgensel
bölge olan dört tane yüze
sahiptir. Bir küpün altı tane karesel
bölge yüzü vardır.Bir düzgün sekizyüzlü, her
biri eşkenar üçgensel bölge
olan sekiz tane yüze sahiptir. Bir düzgün on iki yüzlü, her
biri düzgün beşgensel bölge
olan on iki tane yüze sahiptir. Bir düzgün yirmi yüzlü, her
biri eşkenar üçgensel bölge
olan yirmi tane yüze sahiptir. Yüzleri çeşitli düzgün çokgensel bölgelerden oluşan çokyüzlüye yarı düzgün çokyüzlü
denir. Bir otuz iki yüzlü, 20 üç-
gensel bölge ve 12 beşgensel
bölge olmak üzere toplam 32 yüzden oluşan bir yarı düzgün çokyüzlüdür.
Bir çok yüzlü için;köşe sayısı ile yüzey sayısının toplamından kenar(ayrıt) sayısı çıkarıldığında daima sabir bir değer olan 2 sayısı elde edilir. Bu formüle Euler çokyüzeyli formülü denir. Bu formül ünlü matematikçi Leonhard Euler (1707-1783) tarafından bulunmuştur.
Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayrıt Sayısı=2
Formülün İspatı:
Euler formülünü, her bir çokyüzlü için K+Y-A
sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. Bu sadece
Platon katıları için değil tüm konveks çokyüzlüler için geçerli bir
özelliktir.
Formülün, ispatını tümevarım yöntemiyle yapacağız. Tümevarımı köşe
sayısı üzerinde uygulayalım. Yani formülün K tane köşeye sahip olduğunu
kabul edip, K+1 köşeli çokyüzlü için de doğru olduğunu gösterelim.
Formülün 4 köşeli çokyüzlüler için doğru olduğu açıktır: K=4, Y=4, A=6 ise 4+4-6=2
Eğer yukarıda belirttiğimiz K köşeden K+1 köşeye geçişi yapabilirsek 4
köşeden 5’e, ondan 6’ya derken sonsuza kadar tüm konveks çokyüzlüler
için ispat yapılmış olur.
K köşe sayılı konveks çokyüzlünün dışında bir M noktası alalım. Bu M
noktası (K+1)’inci köşe olacak. M’yi çokyüzlünün uygun yüzünü oluşturan
çokgenin tüm köşelerine birleştirelim. Şimdi yeni bir çokyüzlü elde
etmiş olduk. Diyelim ki M’yi köşeleri ile birleştirdiğimiz çokgenin
kenar sayısı t olsun. Böylece çokyüzlümüzün ayrıt sayısı t kadar artmış
olur. Yeni çokyüzlünün yüzlerinin sayısı ise Y+t+1 olur, çünkü,
köşelerini M ile birleştirdiğimiz çokgen yüz, yeni çokyüzlünün içinde
kalmış olur. Yeni çokyüzlümüz için As, Ks, Ys sayıları şu şekilde
oluşmuş olur:
As=A+t
Ks=K+1
Ys=Y+t-1
Ks+Ys-As=K+1+Y+t-1-A-t
=
K+Y-A=2
Sonuç olarak yeni çokyüzlümüz için de formülün geçerli olduğunu göstermiş olduk. Yani ispatımız tümevarım yöntemi ile tamamlanmış oldu.
Formülün kullanımına örnek vermek gerekirse bir onikiyüzlü katı cisim için bu formül aşağıdaki gibi sonuç verir.
Köşe Sayısı:20
Yüzey Sayısı:12
Ayrıt Sayısı:30
20+12-30=2
Her bir çokyüzlü için K + Y − A sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. (K:Köşe Sayısı, Y:Yüz Sayısı, A:Ayrıt-Kenar Sayısı)
Bu tüm konveks(dışbükey) çokyüzlüler için geçerli bir özelliktir. Yüzey parçaları ile sınırlanan kapalı uzay parçasına çok yüzeyli katı cisim, çok yüzeyli katı cismin sınırına da çokyüzeyli
denir. Bir çokyüzeyliyi oluşturan her bir yüzey parçasına bu çokyüzeylinin yüzü, herhangi iki yüzün arakesitine bu çokyüzeylinin
ayrıtı, ikiden fazla yüzün arakesitine bu çokyüzeylinin tepe
noktası denir.
[İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir. Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere dış bükey çokgen denir.]
- Çokyüzeyliler, yüzleri düzlemsel bölge olanlar ve olmayanlar
olarak sınıflandırılırlar.
- Çokyüzeyli katı cisimin bütün yüzeyleri düzlemsel ve çokgensel bölge ise çokyüzlü katı cisim; eğer çokyüzeylinin
bütün yüzey parçaları düzlemsel ve çokgensel bölge ise çokyüzlü olur.
- Her çokyüzlü aynı zamanda çok yüzeylidir
Euler formülünü bir kaç örnekte formülü kullanalım.
Köşe Sayısı:4
Yüzey Sayısı:4
Ayrıt Sayısı:6
4+4-6=2
Köşe Sayısı:8
Yüzey Sayısı:6
Ayrıt Sayısı:12
8+6-12=2
Köşe Sayısı:6
Yüzey Sayısı:8
Ayrıt Sayısı:12
6+8-12=2
Köşe Sayısı:12
Yüzey Sayısı:20
Ayrıt Sayısı:30
12+20-30=2
çok güzel bir anlatım olmuş hocam..
YanıtlaSilçooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooook teşekür ederim. performans görevimen çok yardımcı oldunuz.
YanıtlaSilmuhteşemsiniz.
ÇOK GÜZEL TEBRİK EDERİM ÇOK İŞİME YARADI
YanıtlaSilYazar cok tesekkurler...
YanıtlaSilSelamlar Neslihan
cooooook teşekür ler
YanıtlaSilya bu yirmi yüzlü ve 12 yüzlünün modelini yapmam gerekıyo fon kartonuyla bulamadım yokk yardm edin lütfenn açılımı nasııll??????
YanıtlaSil