Çok Yüzlü cisimler için "Euler Formulü"

Etiketler : çok yüzlüler çokgenler euler formulü geometri katı cisimler konveks matematik matematik formülleri platon cisimleri teorem ispatları

Üç boyutlu nesnelere katı cisim denir. Bir katı cisim herhangi bir ölçüye veya şekle sahip olabilir. Ancak çokyüzlüler; küreler, silindirler ve koniler gibi birçok katı cismin kendisine has özellikleri vardır.Her biri yüz adını alan düzlemsel çokgenlerle sınırlanan katı cisimlere çokyüzlüler denir. Yüzlerin birbiriyle kesiştiği doğrular ayrıt olarak adlandırılır. 

Üç veya daha fazla yüzün kesiştiği noktaya ise köşe denir. Bir çokyüzlüde, iki yüzün kesiştiği yerde oluşan açıya iki düzlemli açı denir.Bütün iki düzlemli açıları 180° den küçük olan çokyüzlüye dışbükey çokyüzlü denir; örnek olarak küp verilebilir. iki düzlemli açılardan en az biri 180° den büyük olan çokyüzlüye içbükey çokyüzlü denir. Bu da en az bir köşe noktasının katının içine doğru olduğu anlamına gelir. Bütün yüzleri özdeş düzgün çokgenlerden oluşan çokyüzlüye düzgün çokyüzlü denir. Köşelerdeki açılar eşittir. Beş tane düzgün çokyüzlü vardır. Bunlar, Yunan filozof Platon’un adıyla anılır ve Platonik cisimler olarak adlandırılır.

Bir düzgün dörtyüzlü her biri eşkenar üçgensel bölge olan dört tane yüze sahiptir. Bir küpün altı tane karesel bölge yüzü vardır.Bir düzgün sekizyüzlü, her biri eşkenar üçgensel bölge olan sekiz tane yüze sahiptir. Bir düzgün on iki yüzlü, her biri düzgün beşgensel bölge olan on iki tane yüze sahiptir. Bir düzgün yirmi yüzlü, her biri eşkenar üçgensel bölge olan yirmi tane yüze sahiptir. Yüzleri çeşitli düzgün çokgensel bölgelerden oluşan çokyüzlüye yarı düzgün çokyüzlü denir. Bir otuz iki yüzlü, 20 üç- gensel bölge ve 12 beşgensel bölge olmak üzere toplam 32 yüzden oluşan bir yarı düzgün çokyüzlüdür.

Bir çok yüzlü için;köşe sayısı ile yüzey sayısının toplamından kenar(ayrıt) sayısı çıkarıldığında daima sabir bir değer olan 2 sayısı elde edilir. Bu formüle Euler çokyüzeyli formülü denir. Bu formül ünlü matematikçi Leonhard Euler (1707-1783) tarafından bulunmuştur.

Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayrıt Sayısı=2

Euler Formülünün İspatı:
Euler formülünü, her bir çokyüzlü için K+Y-A sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. Bu sadece Platon katıları için değil tüm konveks çokyüzlüler için geçerli bir özelliktir. (K:Köşe, Y:Yüz, A:Ayrıt)
Formülün, ispatını tümevarım yöntemiyle yapacağız. Tümevarımı köşe sayısı üzerinde uygulayalım. Yani formülün K tane köşeye sahip olduğunu kabul edip, K+1 köşeli çokyüzlü için de doğru olduğunu gösterelim. 

Formülün 4 köşeli çokyüzlüler için doğru olduğu açıktır: 

K=4, Y=4, A=6 ise 4+4-6=2
Eğer yukarıda belirttiğimiz K köşeden K+1 köşeye geçişi yapabilirsek 4 köşeden 5’e, ondan 6’ya derken sonsuza kadar tüm konveks çokyüzlüler için ispat yapılmış olur.
K köşe sayılı konveks çokyüzlünün dışında bir M noktası alalım. Bu M noktası (K+1)’inci köşe olacak. M’yi çokyüzlünün uygun yüzünü oluşturan çokgenin tüm köşelerine birleştirelim. Şimdi yeni bir çokyüzlü elde etmiş olduk. 

Diyelim ki M’yi köşeleri ile birleştirdiğimiz çokgenin kenar sayısı t olsun. Böylece çokyüzlümüzün kenar sayısı t kadar artmış olur. Yeni çokyüzlünün yüzlerinin sayısı ise Y+t+1 olur, çünkü, köşelerini M ile birleştirdiğimiz çokgenin yüzü, yeni çokyüzlünün içinde kalmış olur. 

Yeni çokyüzlümüz için As, Ks, Ys sayıları şu şekilde oluşmuş olur:
As=A+t
Ks=K+1
Ys=Y+t+1
Ks+Ys-As=(K+1)+(Y+t+1)-(A+t)

Ks+Ys-As=(K+1+Y+t+1-A-t)

Ks+Ys-As=(K+Y-A+2) olur.

Sonuç olarak yeni çokyüzlümüz için de formülün geçerli olduğunu göstermiş olduk. Yani ispatımız tümevarım yöntemi ile tamamlanmış oldu. K+Y-A=2

Formülün kullanımına örnek vermek gerekirse bir onikiyüzlü katı cisim için bu formül aşağıdaki gibi sonuç verir.

Köşe Sayısı:20
Yüzey Sayısı:12
Ayrıt Sayısı:30
20+12-30=2

Her bir çokyüzlü için K + Y − A sayısını hesaplarsak her zaman sonucun 2 olduğunu görürüz. (K:Köşe Sayısı, Y:Yüz Sayısı, A:Ayrıt-Kenar Sayısı)

Bu formül tüm konveks(dışbükey) çokyüzlüler için geçerli bir özelliktir. İçi delik olan çok yüzlülerde geçerli olmaz. Yüzey parçaları ile sınırlanan kapalı uzay parçasına çok yüzeyli katı cisim, çok yüzeyli katı cismin sınırına da çokyüzeyli denir. Bir çokyüzeyliyi oluşturan her bir yüzey parçasına bu çokyüzeylinin yüzü, herhangi iki yüzün arakesitine bu çokyüzeylinin ayrıtı, ikiden fazla yüzün arakesitine bu çokyüzeylinin tepe noktası denir.

[İçbükey (konkav) çokgenler: Bir çokgenin bazı kenar doğruları çokgeni kesiyorsa bu tür çokgenlere İçbükey çokgen denir. Dışbükey (konveks) çokgenler: Kenar doğrularının hiçbiri, çokgeni kesmiyorsa bu çokgenlere dış bükey çokgen denir.]

• Çokyüzeyliler, yüzleri düzlemsel bölge olanlar ve olmayanlar olarak sınıflandırılırlar. 
• Çokyüzeyli katı cisimin bütün yüzeyleri düzlemsel ve çokgensel bölge ise çokyüzlü katı cisim; eğer çokyüzeylinin bütün yüzey parçaları düzlemsel ve çokgensel bölge ise çokyüzlü olur.
• Her çokyüzlü aynı zamanda çok yüzeylidir. 

Euler formülünü kullanarak çokyüzlülere bir kaç örnek daha gösterelim.

Köşe Sayısı:4
Yüzey Sayısı:4
Ayrıt Sayısı:6
4+4-6=2

Köşe Sayısı:8
Yüzey Sayısı:6
Ayrıt Sayısı:12
8+6-12=2

Köşe Sayısı:6
Yüzey Sayısı:8
Ayrıt Sayısı:12
6+8-12=2

Köşe Sayısı:12
Yüzey Sayısı:20
Ayrıt Sayısı:30
12+20-30=2