Mükemmel Sayıların Keşfi

Mükemmel Sayı; kendisi hariç, tüm pozitif tam bölenleri toplamı kendine eşit olan sayılardır. Örneğin 6 sayısının bölenleri 1,2,3 ve 6 dır. 6 hariç bu sayıların toplamı: 1+2+3=6 bulunur. Bu nedenle 6 sayısı mükemmel sayıdır.


Özellikle Avrupa'da yoğun olarak mükemmel sayılara ilgi gösterilmiştir. Mükemmel sayılara gösterilen tutkunun araka planında dini inanışların etkisi büyüktür. Şöyle ki; ilk mükemmel sayı olan 6'nın Allah'ın dünyayı 6 günde yaratmış olması inancı ve Kameri ayının 2. ayı kadar, yani 28 gün olması da var. 

Mükemmel sayılar hakkında ilk defa bu dini inanışların da etkisi ile MS 100 civarında Nicomachus ispat gereği duymadan tamamen sezgisel olarak şu özellikleri sıralıyor:

1- N.ci. mükemmel sayının n basamağı vardır. (1. Sayı 6, 2. sayı 28 3.sayı 496, 4. sayı 8128) dikkat edelim ki henüz 5. mükemmel sayının kaç olduğu bilinmiyor. 

2- Bütün mükemmel sayılar çifttir 

3- Bütün mükemmel sayılar sırasıyla 6 ve 8 ile biterler). 

4- Herhangi bir k>1 için 2k-1 asal ise 2^k-1.(2^k-1) bir mükemmel sayıdır ve mükemmel sayıların hepsini üreten bir algoritmadır. 

5- Sonsuz sayıda mükemmel sayı vardır. 

Bu söylenenlerin doğruluğu/yanlışlığı sonraki yüzyıllarda daha net biçimde ortaya çıkmıştır. Nicomuchos'un iddialarından 1. 3. 4. zamanla çürütüldüler.

Takip eden yüzyıllarda mükemmel sayılar konusuna gönül veren birçok matematikçi oldu. Yazılı kayıtlarda 4.'den sonraki mükemmel sayılara Arap matematikçi İsmail İbn İbrahim İbn Fallus'da(1194-1239) rastlıyoruz. Verdiği 10 mükemmel sayının ilk 7 tanesi doğru 3 tanesi hatalı. Nihayet 1536'da İtalyan matematikçi Pietro Cataldi 211-1 sayısının asal olmadığını (23.89=2047) gösterdi. Bir asal sayı olan 213-1=8191 'dan hareketle 212 (213-1)=33550336'nın bir mükemmel sayı olduğunu da buldu. Bulunan 5. mükemmel sayı 8 basamaklıydı. 6. mükemmel sayı, 1555'de J.Scheybl tarafından bulundu ise de 1977'ye kadar farkına varılmadığından, mükemmel sayılar konusundaki gelişmelere katkısı olmadı. 6. mükemmel sayıyı tekrar ve Scheybl den bağımsız olarak bulan gene Cataldi (1603) idi: 216 (217-1)=8589869056. Bu sıra 8 de olmasına rağmen tekrar 6 ile biten bir mükemmel sayıydı. Cataldi 7. mükemmel sayıyı da bulan matematikçi oldu: 218 (2191)=137438691328.

Mükemmel sayılarla ilgili çalışan matematikçilere Pierre de Fermat Rene Descartes ve Marin Mersenne gibi ünlüleri de dahil edelim. Bu çalışmalar sırasında Mersenne Asalları'nın da bulunduğunu Fermat'nın küçük teoremi adıyla ünlü teoremin bu çalışmaların eseri olduğuna değindikten sonra, 8. mükemmel sayıyı bulan Euler'e gelelim: Euler kendinden önceki matematikçilerden farklı olarak tek mükemmel sayıların da olabileceğini ileri sürdü. Günümüze kadar bu konuda yapılmış olan çalışmalar ne bu iddianın doğruluğunu ne de yanlışlığını ispatlamaya yetmemiştir.

Euclid ilk dört mükemmel sayı üstünde yaptığı araştırmalarda şöyle bir formül ile tanımlanabildiklerini keşfetmiştir: Euler teoremine göre eğer 2^p-1 sayısı asal bir sayı ise 2^p-1 . (2^p-1) sayısı mükemmel bir çift sayıyı verir. 2^p-1.(2^p−1) formülüne göre ilk dört mükemmel sayı şu şekilde hesaplanabilir:

p = 2 için 2¹(2.²−1) = 6
p = 3 için 2^3-1(2³−1) = 28
p = 5 için 2^5-1(2⁵−1) = 496
p = 7 için 2^7-1(2⁷−1) = 8128.

6,28,496,8128....... sayıları mükemmel sayılardır. Formülde p yerine yukarıdaki değişkenler yazılarsa yeni mükemmel sayılar bulunabilir. 2^p-1.(2^p−1) formülüne göre, ilk 40 çift mükemmel sayıyı hesaplamak için p değişkeninin değeri şunlardır: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609. 

Bu sayılar dışında başka mükemmel sayıların (çift ve ya tek) olup olunmadığı bilinmemektedir.Tek mükemmel sayıların varlığı ve ya yokluğu tam olarak kanıtlanamamıştır.

Tamsayılar Tarama Testi

Tarama Testi 25 Soru, A-B grupları ve Cevap Anahtarından oluşmuştur. Sorular çeşitli soru tiplerinden derlenerek kolaylık derecelerine göre hazırlanmıştır. 

Resim formatında olan soruları istediğiniz biçimde paint ile düzenleyebilirsiniz. Sorular fazla zor olmayacak biçimde seçilmiştir. Tamsayılar konusu ile ilgili testi indirmek için Tıklayınız...

Köklü Sayılar Tarama Testi

Köklü Sayılar Tarama Testi; 25 Soru, A-B grupları ve Cevap Anahtarından oluşmuştur. Sorular, çeşitli soru tiplerinden derlenerek kolaylık derecelerine göre hazırlanmıştır. Resim formatında olan soruları, istediğiniz şekilde paint ile düzenleyebilirsiniz. Sorular, fazla zor olmayacak biçimde seçilmiştir. Köklü Sayılar Tarama Testini İndirmek için Tıklayınız...

Doğal Sayılar Tarama Testi

Doğal Sayılar Tarama Testi 25 Soru, A-B grupları ve Cevap Anahtarından oluşmuştur. Sorular, çeşitli soru tiplerinden derlenerek kolaylık derecelerine göre hazırlanmıştır. Resim formatında olan soruları, istediğiniz şekilde paint ile düzenleyebilirsiniz. 

Sorular, fazla zor olmayacak biçimde özel olarak seçilmiştir. Doğal Sayılar Tarama Testini İndirmek için Tıklayınız..

İlitam 1.Sınıf 2.Yarıyıl Final Soruları 2013

ANKARA ÜNİVERSİTESİ 2012-2013 EĞİTİM-ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI FİNAL SINAVI İLAHİYAT LİSANS TAMAMLAMA UZAKTAN EĞİTİM PROGRAMI (YARIYILLIK) 
CUMARTESİ-PAZAR SABAH OTURUMLARI

1.sınıf 2.dönem 
DERSLER:Kur’an-ı Kerim -II,Arapça -II,İslam Hukuku -I,İslam ahlak felsefesi,felsefe tarihi 
Soruları indirmek için tıklayınız. (RAR DOSYASI)

Thales Teoremleri ve İspatı

Miletli Thalēs; y. MÖ 624/623 – MÖ 548/545), Milet, İyonya'dan bir Antik şehir bugün Aydın sınırları içersinde kalmaktadır. Thales, matematikçi, astronom ve aynı zamanda felsefe ile uşraşmıştır. İlk filozoflardan olduğu için felsefenin öncüsü olarak kabul edilir. adlandırılır. Ticaretle uğraşmış ve bu nedenle Mısır'da bulunmuştur. Bertrand Russell'e göre, Felsefe'nin Thales ile başladığı kabul edilir. Platon, Theaetetus'da, Thales'den "yıldızları incelerken önündeki kuyuyu görmeyen biri" olarak hicvederek bahseder. Aristoteles, Thales'i "zeytinin bol çıkacağı yılları tahmin edebilen başarılı bir kişi" olarak takdim eder. 

Thales MÖ 28 Mayıs 585 tarihindeki güneş tutulmasını tahmin etmiştir. Güneş tutulmasını kendisinin bilgisiyle hesaplayıp hesaplamadığı kısmı ihtilaflıdır. Ticaret maksadıyla gittiği, Mısır ve Babil ziyaretleri nedeniyle o bölgelerden bir takım astronomi bilgileri öğrendiği kabul edilmektedir. Thales, suyu hayatın ana kaynağı olarak düşünür ve herşeyin sudan meydana geldiğini, suyun bir ana madde olduğunu söyler. Doğadaki işleyişi ana madde unsuru ile açıklamaya çalışmıştır. Eski Yunan bilginlerinden Kallimakhos'un aktardığı bir düşünceye göre denizcilere kuzey takımyıldızlarından Büyükayı yerine Küçükayı'ya bakarak yön bulmalarını öğütlemiştir. Aynı zamanda Mısırlılardan geometriyi öğrenip Yunanlara tanıtmıştır. Bulduğu bazı geometri teoremleri şunlardır: Çap çemberi iki eşit parçaya böler. Bir ikizkenar üçgenin taban açıları birbirine eşittir. Birbirini kesen iki doğrunun oluşturduğu ters açılar birbirine eşittir. Köşesi çember üzerinde olan ve çapı gören açı, dik açıdır. Tabanı ve buna komşu iki açısı verilen üçgen çizilebilir.

Thales Teoremi: “En az üç paralel doğru, iki kesen üzerinde uzunlukları orantılı parçalar ayırır.” Thales teoreminin uygulanması aslında benzerlik bağıntılarının bir özel uygulamasıdır. Thales teoremi ispatlanırken de AAA benzerliğinden yararlanarak ispatlama işlemi yapılır.

Birbirine paralel olan üç veya daha fazla doğru, iki farklı doğruyla kesişirse, kesenler üzerinde ayrılan karşılıklı doğru parçalarının uzunlukları orantılı olur. İkinci thales teoremi de buna benzer biçimde yine benzerlik yardımıyla birbirini kesen iki doğru ve bunları kesen birbirine paralel doğrular yardımıyla oluşan şekilde benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orantıdan oluşur. Kesişen iki doğru, paralel iki doğru ile kesildiğinde, oluşan iki üçgenin karşılıklı kenar uzunlukları orantılı olur.

 

Thales Teoremi Üçgenlerde benzerlik işlemlerinin temelini oluşturan önemli bir teoremdir. Bu nedenle iyi bilinmesi ve örneklerle pekiştirilmesi gerekmektedir.

Seva (Ceva) Teoremi ve İspatı

Seva teoremi kullanılırken üçgenin iç bölgesinde köşelerden geçmiş olan doğruların kesiştiği bir noktanın bulunması gerekir. Seva teoremi aslında menelaus teoreminin özel bir durumudur. Eğer bir üçgen köşlerinden geçen doğrular yardımıyla kenarları parçalanarak doğru parçaları oluşuyorsa bunların arasında menelaus teoremi gereği bir oran mevcut olur. Menelaus teoremi üçgene uygulanıp eşitlikler taraf tarafa bölünür veya çarpılırsa (uygulandığı konuma göre) seva teoremi elde edilir.

Bu teoremin menelaus teoremi ile ispatı yapılırken içerideki noktaların bir noktada kesiştikleri varsayılarak menelaus teoremi uygulanmıştır. Teoremin ikinci bölümünün ispatı da yapılacak olursa (yani varsayım ispatlanırsa) teorem tam olarak ispatlanmış olur.Bunun için aşağıdaki ispatı inceleyiniz.

İkinci bölümde (şimdi de (5)i varsayalım diye başlayan kısım) köşelerde inilen doğruların bir noktada kesiştiklerini göstermiş olur. Bu teorem kullanılarak aynı şekilde üçgenin kenarortaylarının, açıortaylarının ve yüksekliklerinin bir noktada kesiştikleri gösterilebilir.