Matrislerde çarpma işlemi

Matrislerde çapma işlemi yaparken, ilk matrisin sütun sayısı ile ikinci matrisin satır sayısı birbirine eşit olmalıdır. Çarpılacak iki matrisin sütun ve satır sayılarına dikkat ederek, çarpma işlemi sonucu oluşacak yeni matrisin elemanlarını hesaplamak için satır ve sütun elemanlarını çarparız, ardından sonuç matrisine bu çarpımları toplayarak yeni matrisi oluştururuz. Sonuç matrisinin boyutları, ilk matrisin satır sayısı ve ikinci matrisin sütun sayısı olacaktır.

İki matrisin çarpımı, yeni bir matris oluşturularak yapılır. Yeni matrisin her bir elemanı, ilk matrisin ilgili satırıyla ikinci matrisin ilgili sütununun elemanlarının çarpımının toplamıdır. Örneğin, A matrisi (m x n) boyutlu ve B matrisi (n x p) boyutlu ise, A ile B matrisi arasında çarpma işlemi tanımlanır ve bu çarpım sonucu elde edilen C matrisi (m x p) boyutlu yeni bir matris olacaktır. Son matrisin elemanları, bu oluşan toplam değerlere göre tek tek hesaplanır.

Matrislerde toplama ve çıkarma işlemi

Matrislerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken aynı boyutta olan matrislerin karşılıklı elemanları toplanır veya çıkarılır. Yani iki matrisin toplanabilmesi veya çıkarılabilmesi için kesinlikle satır ve sütunları (mxn) boyutları aynı olmalıdır. Satır ve sütunları aynı ise karşılıklı elemanlar birbirleriyle toplanır veya çıkarılır ve işlem sonucunda aynı boyutta yeni bir matris oluşur.

Matrislerde toplama ve çıkarma işlemleri, aynı boyuta sahip matrisler arasında gerçekleştirilir. İki matrisi toplamak için, aynı pozisyondaki (karşılıklı satır ve sütuna denk gelen aynı sıradaki) elemanları toplamanız yeterli olacaktır. Benzer şekilde iki matrisi çıkarmak için de aynı pozisyondaki elemanları çıkarmanız gerekmektedir.

Aşağıdaki örneklerde, iki matrisin toplamında veya fark işleminde aynı satır ve sütunda yer alan elemanları karşılıklı olarak topladık veya çıkardık.

Matrislerde toplama işleminde çıkan sonuç yukarıdaki gibi olacaktır. Benzer şekilde, matris çıkarma işlemi de aynı prensiple gerçekleştirilir.

Matris işlemlerinde dikkat etmeniz gereken nokta, işlem yapılacak matrislerin aynı boyuta sahip olmasıdır. Eğer matrislerin boyutları farklıysa toplama ve çıkarma işlemlerini gerçekleştiremezsiniz.

Matrislerde toplama işleminde değişme özelliği ve birleşme özelliği vardır. Toplama işleminde etkisiz eleman (birim eleman) 0 matrisidir. Toplam işlemine göre A matrisi ile -A matrisi toplandığında birim matrisi( etkisiz matris olan 0 matrisini) verir.

 

Matris çeşitleri

Matris, bir matematiksel kavram olup, sayıları düzenli olarak dörtgen şeklinde düzenlemek için kullanılan bir tablodur.Matris, matematikte genellikle tablo benzeri bir yapıda verilen verileri düzenlemek için kullanılır. Katsayıların ve bilinmeyen değişkenlerin düzenli bir şekilde temsil edilmesine olanak tanır. Matrisler genellikle boyutlarına ve içerdikleri öğelerin türüne göre sınıflandırılabilir. Temel matris türleri şunlardır:

1. Karesel Matris: satır ve sütun sayısının eşit olduğu, yani kare şeklinde olan matristir. Kare matris, boyutu nxn tipinde bir matristir. Kare matrislerde determinant hesaplanabilir ve tersi alınabilir. Ayrıca özdeğerler ve özvektörler gibi önemli matris özellikleri kare matrislerle ilgilidir. Özellikle fizik, matematik ve mühendislik gibi alanlarda sıkça karşımıza çıkarlar.

Matrisler ve kullanım yerleri

Matris, bir matematiksel kavram olup, sayıları düzenli olarak dörtgen şeklinde düzenlemek için kullanılan bir tablodur. Matris, matematikte genellikle tablo benzeri bir yapıda verilen verileri düzenlemek için kullanılır. Katsayıların ve bilinmeyen değişkenlerin düzenli bir şekilde temsil edilmesine olanak tanır. Bir matris, satır ve sütunlardan oluşan bir düzen içindeki sayıların oluşturduğu bir dizi veridir. Özellikle lineer cebirde sıkça kullanılır ve birçok matematiksel işlemde temel bir rol oynar. Matrisler, matematiksel denklemleri ve sistemleri etkili bir şekilde çözmek için yaygın olarak kullanılır.

Matris, matematikte, belirli bir düzen içinde sıralanmış sayıların oluşturduğu bir dizi olarak tanımlanır. Matrisler, satırlar ve sütunlar olmak üzere iki boyutlu matematiksel bir yapıya sahiptir. Bir matrisin boyutu, satır ve sütun sayılarının çarpımı olan bir tam sayı ile gösterilir. Matrisin boyutu, genellikle m satır, n sütun olmak üzere "m x n" seklinde gösterilir. (2x3 şeklinde verilen bir matris 2 satır ve 3 sütundan oluşan toplam 6 elemanlı bir matristir.) 

Örnek olarak 3x3 boyutunda bir matris örneği aşağıda verilmiştir. Bu matriste 3 satır ve 3 sütun bulunmaktadır. Matrisin elemanların indisleri soldan sağa ardışık olarak artmaktadır. Bu matris, toplamda 3x3=9 adet elemana sahiptir. 

 

Farklı bir yazım biçimine örnek olarak 4 satır ve 2 sütundan oluşan bir matris aşağıdaki şekilde yazılabilir. Satır ve sütunlardaki sayılar aynı sırayla yer değiştirildiğinde matrisin transpozu elde edilir. Matrisin satır ve sütunlarında her türlü reel sayı, karmaşık sayı, harf, kelime yapıları ve sembol kullanılabilir.

Matrisler, lineer cebir, istatistik ve mühendislik gibi çeşitli matematiksel konularda yaygın bir şekilde kullanılır. Matris, matematikte genellikle gelecekteki bir dizi işlemde işimize yarayan verileri düzenli bir şekilde saklayarak kolay erişim ve işlem yapmamızı sağlar. Matris, matematikte birçok sayısal veriyi düzenli bir şekilde gruplamak için kullanılan bir yapıdır. Her bir eleman pozisyonu belirli bir sayısal değeri temsil eder ve matris işlemleri kullanılarak çeşitli matematiksel hesaplamalar, şifre algoritmaları, denklem çözümleri yapılabilmektedir. Matrisler, lineer cebir, istatistik, grafik teorisi gibi birçok alanda kullanılır. Örneğin, bilgisayar grafiklerinde dönüşüm matrisleri kullanılır. Matrisler ayrıca katlı denklem sistemlerinin çözümünde, veri analizinde ve mühendislik problemlerinde de yaygın olarak kullanılır. Matrisler; edebi metinler, sanat ve estetik konularına da ilham olmuştur. Mesela Cihan devleti Osmanlı'nın büyük sultanı askeri dehasının yanında edebi niteliğini de ortaya çıkaran Yavuz Sultan Selim, matrislerdeki transpoz işlemine benzer nitelikte ünlü bir şiir örneği yazmıştır.(Bkz. Yavuz Sultan Selim Şiiri ve matris örneği)

Mühendislikte matrisler, birden fazla denklemi ve bilinmeyeni içeren sistemleri modellemek ve çözmek için kullanılır. Matrisler aynı zamanda mühendislik problemlerini analiz etmek, verileri işlemek, görselleştirmek ve dönüştürmek için de önemli bir araçtır. Matrisler, doğrusal cebirde ve sayısal analizde geniş bir uygulama alanına sahiptir ve mühendislerin karmaşık problemleri çözmelerine yardımcı olur. Bu nedenle, matrisler mühendislik alanında temel bir matematik aracı olarak kullanılır.

Kimya alanında matris kullanımı genellikle kimyasal denge, reaksiyon kinetiği, moleküler yapının analizi gibi konularda karşımıza çıkar. Matrisler, kimyasal denge denklemlerinin matematiksel olarak çözülmesi, reaksiyon hızlarının belirlenmesi ve kimyasal bileşenler arasındaki etkileşimlerin incelenmesi gibi birçok alanda kullanılabilir. Örneğin, kimyasal reaksiyonlarda matrisler, farklı reaksiyon hızlarını temsil eden denklemler halinde kullanılabilir. Bu denklemler matris formunda ifade edilip, reaksiyonların gidiş yönü ve hızı hakkında bilgi sağlayabilir. Ayrıca moleküler yapının analizi için matrisler kullanılarak, kimyasal bileşikler arasındaki bağların gücü, uzunluğu ve türü gibi özellikler incelenebilir. Matrisler, kimyanın matematiksel modellenmesinde ve analizinde önemli bir araçtır ve çeşitli kimya problemlerinin çözümünde başvurulan bir yöntemdir. Matrisler ayrıca spektroskopik verilerin işlenmesi ve kimyasal sistemlerin dinamik modellemesi için de kullanılır. Kimya alanındaki hesaplamalarda matrislerin etkin kullanımı, karmaşık sistemleri daha iyi anlamamıza ve tahmin etmemize olanak tanır. Matrisler, kimyanın analitik, deneysel ve teorik yönlerini bir araya getirerek kapsamlı bir analiz ve çözüm sağlar.

Fizikte matrisler, denklemleri ve sistemleri etkili bir şekilde modellemek için sıkça kullanılır. Örneğin, hareket denklemleri matris formunda yazılabilir ve bu şekilde karmaşık fizik problemleri çözülebilir. Matrisler aynı zamanda elektrik devre sistemleri, titreşim analizi, moment denge denklemleri, elektrik alan Maxwell denklemleri, manyetizma, ışığın kırılması, akışkan dinamiği, ısı transferi ve kuantum mekaniği gibi çeşitli fizik alanlarında da yaygın olarak kullanılır. Matrisler ayrıca vektörlerin dönüşümlerini temsil etmek, vektör ve tensor hesaplamaları yapmak ve veri analizinde kullanılmak gibi alanlarda da önemlidir.

Biyoistatistik ve genetik konularında matrisler sıkça kullanılır. Genetikte, gen ekspresyon verileri veya DNA dizileri matrisler şeklinde temsil edilebilir. Biyolojik organizmaların benzerliklerini veya farklılıklarını incelemek için matrisler kullanılır. Ayrıca filogenetik analizlerde, taksonomik ilişkileri göstermek için evrimsel ağaçlar matrislerle oluşturulur. Örneğin, genetik değişkenlikleri karşılaştırmak için amino asit dizileri matrislerde kıyaslama yapılabilir. Matrisler ayrıca protein-etkileşim ağları, hücresel sinyal iletimi ve metabolik yollar gibi biyolojik süreçlerin modellenmesinde de kullanılır. Genetik araştırmalarda ve epidemiyolojide matrisler sıkça kullanılır. Genetik araştırmalarda genetik benzerlikleri göstermek için genetik matrisler kullanılırken, epidemiyolojide hastalık yayılımını ve etkileşimleri analiz etmek için kullanılır. Matrisler, genetik verileri depolamak, analiz etmek ve genetik ilişkileri incelemek için etkili bir araçtır. Aynı zaman da protein-protein etkileşim ağlarını modellemek ve anlamak için sistem biyolojisi alanında da yaygın olarak kullanılırlar.

Şifreleme işlemlerinde de matrisler kullanılır. Şifrelemede veriyi daha karmaşık hale getirmek için matris biçimleri kullanılır. Örneğin, veriler matrislere yerleştirilir ve belirli bir algoritma kullanılarak şifrelenir. Şifre çözme işlemi ise aynı algoritmayı kullanarak matris üzerinde ters işlemler yaparak gerçek veriye ulaşmayı sağlar. Bu şekilde matrisler, şifreleme algoritmalarında verinin gizliliğini artırmak için kullanılır. Matrislerin boyutları, verinin nasıl parçalara ayrılacağı ve karmaşıklaştırılacağı konularında belirleyici bir rol oynar.

Matris kullanarak şifreleme yöntemleri arasında en yaygın olanları, Hill Cipher ve Playfair Cipher'dir. Hill Cipher'da, metin blokları matrisler olarak işlenir ve matrisler arasında modüler aritmetik işlemleri yapılır. Hill cipher, matris işlemlerini kullanarak metinleri şifrelemek veya çözmek için kullanılır. Matrislerle çalışarak her harfi sayıya çevirip matris çarpımıyla şifreleme işlemi gerçekleştirilir. Hill cipher, çoklu formların kullanıldığı bir blok şifreleme tekniğidir. Anahtar matrisleri kullanılarak metin blokları üzerinde matris çarpımı işlemi gerçekleştirilir. Bu işlemle metin bloğu şifrelenir ve ardından şifreli metin bloğu elde edilir. Hill cipher şifresini oluşturmak için şu adımları takip edebilirsiniz: 1. Anahtar şifre çözücü matrisini oluşturun: İlk adım, şifreleme için kullanılacak anahtar matrisini oluşturmaktır. Bu matris, metni şifrelemek ve ardından şifreyi çözmek için kullanılacaktır. Genellikle tüm matris elemanları mod 26'ya göre olan tam sayılar içeren bir matris olmalıdır. 2. Metin bloğunu oluşturun: Şifrelenecek metni bloklara bölme işlemi yapın. Bloklar genellikle belirli bir boyuta sahip olmalıdır. Burada boyut işlemine kullanıcı karar verir. 3. Her bloğu uygun biçimde şifreleyin: Her metin bloğunu anahtar matrisiyle çarpın. İşlem sonucunda şifreli metin bloğu elde edilecektir. 4. Şifreli metin bloklarını birleştirin: Her bloğu şifreledikten sonra şifreli metin bloklarını birleştirerek tam şifreli bir metin elde edebilirsiniz. Hill cipher, daha karmaşık şifreleme yöntemlerinden biri olduğu için doğru bir şekilde uygulamak ve anahtar matrisini düzgün bir şekilde oluşturmak önemlidir. Şifreleme ve şifreyi çözme işlemlerini doğru bir şekilde gerçekleştirmek için dikkatli olmak gerekir.

Playfair şifreleme tekniği, klasik bir matris şifreleme tekniğidir. Playfair şifrelemesi, iki harfli blokları kullanan bir şifreleme oluşturur. Metindeki harfleri dönüştürmek için bir anahtara dayanır ve genellikle bir 5x5 kare matrisi kullanılarak şifreleme işlemi gerçekleştirilir. Aynı kare matrisi içinde bulunmayan iki harf için kurallar belirlenir ve bu kurallara göre metin şifrelenir. Matriste harflerin yer değiştirmesiyle anahtar kelime oluşturulur. Metin, çift harfler halinde gruplandırılır ve değiştirilerek yönergeler doğrultusunda şifreleme işlemi gerçekleşir. Daha güçlü olabilmek için tekrarlanan harflerin arasına rastgele ekstra harfler konabilir. Güçlü ve basit bir yöntem olmasına rağmen, modern şifreleme yöntemleri tarafından güvenlik açısından önerilmemektedir. Playfair şifrelemesi, tarihsel olarak askeri ve diplomatik iletişimde kullanılmıştır, ancak günümüzde daha güvenilir şifreleme teknikleriyle yer değiştirmiştir.

Matris Çeşitleri

Matrislerde toplama ve çıkarma işlemi

Matrislerde çarpma işlemi

Kare matrisin kuvveti

Matrisin transpozu

Matrisin kofaktörü ve minörü

Doğrusal denklem sistemleri ve matris

Doğrusal denklem sistemlerinde matris çözümü

Çokgenden Pi Sayısına

Pi sayısı, matematikte ilginç bir sayıdır. Herhangi iki sayının birbirine bölümü olarak ifade edilemeyen yani Rasyonel olmayan iraasyonel bir matematik sabitidir. Kısaca tanımlamak gerekirse bir pi sayısı; çemberin çevre uzunluğunun çapına bölümü olarak ifade edebiliriz. 

Pi sayısı için çokgenlerden yola çıkılarak sezgisel olarak yaklaşık bir değere ulaşılabilir. Düzgün çokgenler kullanılarak çevre uzunlukları çap diyebileceğimiz ağırlık merkezlerini herhangi bir köşeye birleştiren doğru parçasına bölerek işlemi sonsuza kadar devam ettiğimizde pi sayısının bilinen 3.14159265359.... değerine yaklaştığını görebiliriz. Bu işlem defalarca çeşitli çokgenler için denendiğinde pi'nin değeri ortaya çıkar. 

Kologaritma

Kologaritma, gerçek sayılar kümesinde (R) tanımlı olan bir x sayısının çarpmaya göre tersinin logaritmasıdır. A sayısının kologaritması cologA ile gösterirlir. Buna göre bir sayının kologaritması şu şekilde tanımlanır.: cologx= - logx Kologaritmanın kullanıldığı yerlerden biri pH hesaplamalarıdır. 

pH, sulu çözeltilerde hidrojen iyonu aktivitesi için çok önemli bir rol oynar. Kimyada, çözünmüş hidrojen iyonu aktivitesinin ölçüsüne pH denir. pH bir çözeltinin asitlik veya bazlık derecesini tarif eden bir ölçü
birimidir. pH=7 iken çözelti nötr kabul edilir. pH>7 olduğu zaman çözelti bazik olur. pH<7 olduğu zaman da çözelti asidik olur. Suda iyonlaştığında "hidrojen" iyonu (H⁺) veren maddelere Latince ekşi anlamına gelen "asit" denir. Bazlar ise suda iyonlaştığında çözeltiye "hidroksil" (OH^-) iyonu verirler.

ÖRNEK:

log3= 0.477 ise colog3= -log3= -0.477= Bu ifade karakteristik ve mantis kullanılarak da yazılabilir. -0.477+1-1 =olur. -1+0,523 (Bkz. Karakteristik ve Mantis)

ÖRNEK: 0,055 M HNO3 çözeltisinin pH’ını hesaplayınız.

Çözüm: HNO3 kuvvetli asittir. 𝐻𝑁𝑂3 → 𝐻 + 𝑁𝑂3 denkleminde son çözeltide H+’nın konsantrasyonu 0,055 M olur. pH=-log[H+]=-log(0,055)=1,26<7 olduğundan asidiktir.

ÖRNEK: 0,10 M NaOH’un pH’ını hesaplayınız 

Çözüm: NaOH kuvvetli baz olduğundan pOH hesabı üzerinden gidilir. NaOH → Na + OH Çözünme denklemine göre son çözeltideki OH- konsantrasyonu 0,10 M’dır. pOH = -log[OH-] = -log(0,10) = 1,00 olur.  Bu durumda pH=14-pOH=14-1=13

ÖRNEK:Bir çözeltinin pH’ı 6,88’dir. H+ ve OH- konsantrasyonlarını ve pOH’ı bulunuz.

Çözüm: pH=-log[H+] olduğundan [H+]=(10^-pH)=(10^-6,88) =1,32 x 10^-7 M bulunur.  pOH=14-6,88=7,12 buradan da [OH^-]=(10^-pH)=10^-7,12 =7,59 x 10^-8 M olur.

Logaritma Mantisi ve Karakteristiği

Herhangi bir tam sayının logaritması, birisi tam sayı diğeri de kesirli kısımdan ibaret olmak üzere iki parçadan ibarettir. Yani herhangi bir tabanda logaritma alınırken sonuç ya tamsayı olarak çıkar ya da tam ve ondalıklı kısım olarak iki parçalı olarak çıkar. Logaritma hesaplandıktan sonra ortaya çıkan sonuçta tamsayı parçasına "logaritmanın karakteristiği" adı verilir. Onluk tabanda yazılan bir tam sayının logaritması alındığında, onun kuvvetleri şeklinde yazılabilen parçasının 10'un tam kuvvetlerine göre benzetilmesiyle karakteristik hesaplanır. 

Logaritma karakteristiği, bir sayının onluk tabandaki değerinin basamak rakamları sayısının bir eksiği kadar olur. Yani herhangi bir sayının basamak sayısı verildiğinde, bu sayının onluk tabandaki logaritmasının karakteristiği, o sayının basamak sayısının 1 eksiği kadar olacaktır. 

ÖRNEK:

576 sayısının karakteristiği sayı 3 basamaklı olduğundan karakteristik 2 olacaktır. Çünkü 576 sayısı 10'un kuvvetlerine göre yazıldığında 10'un 2. kuvveti ile 10'un 3 kuvveti arasında yer alacağından log576 değeri hesap makinesinden veya logaritma cetvellerinden log576=2.7604224 hesaplanır ki bu durumda tam kısım 2 olduğundan karakteristik de 2 olarak bulunur. 

 

ÖRNEK:

9326 sayısının karakteristiği sayı 4 basamaklı olduğundan karakteristik 3 olur. log9326 değeri hesap makinesi ile hesaplandığında log9326=3.9696954 olduğundan tam kısım 3 bulunduğu için karakteristik 3 olur. 

 

Logaritma hesaplandığında bulunan sonuçta ondalıklı kısma logaritmanın mantisi denir. Logaritma mantisleri hesaplanarak logaritma cetvelleri oluşturulur. Logaritma cetvellerinde sayıların yanlarında gösterilen logaritma değerleri yalnızca hesaplanan bu mantis değerlerinden ibarettir. Logaritma cetvellerinde tam kısımlar yer almaz. 1'den küçük sayıların onluk tabanda logaritmaları hesaplanırken onun negatif kuvvetleri olacağından tam sayıdan sonra sonuçlanan kesirli ifadelerde 0 tam sayısından sonra virgülden itibaren ondalıklı kısım yer alır. Mantis negatif olamaz. Negatif olamayacağı için logaritması bulunan sonuca ifadeye (+1) ve (–1) eklenir. 

 

Logaritma tabloları (logaritma cetvelleri) ondalıklı kısım olarak belli bir adede göre verilmiştir. Gerçekte ise logaritma cetvelleri hesap makinelerinden bulunan sonuçlara göre çok daha fazla ondalıklı basamağı içerir. Elektronik hesap makinaları yaygınlaşmadan önce, yani 20. yüzyılın ikinci yarısına kadar mühendislik kitaplarında logaritma cetvellerine yer verilmiştir.

 

ÖRNEK:

log9326=3.9696954 olduğundan tam kısım 3 bulunduğu için karakteristik 3 ve mantis değeri de 0,9696954 olur.  

 

ÖRNEK:

Bir sayının logaritması loga = 1,541 ise loga ifadesinde tam kısım(karakteristik) 1, ondalık kısım (mantis) 0,541 olarak görülür.

 

Karakteristik ve mantiste karıştırılan bir durum logaritmanın değerinin negatif olduğu durumdur. Mantis kullanım yararı açısından her zaman pozitif olarak gösterilmesi gerekir. Dolayısıyla logx=-1,4 ise burada karakteristik -1 ve mantis de -0,4 şeklinde yazılmaz. Mantisi düzgün olarak ifade etmek istediğimizde negatif bir tam sayıya, pozitif bir ondalık sayı eklediğimizde -1,4 sayısını bulmalıyız. Bunun için basit bir çıkarma işlemi yaparsak -1,4= -2+0,6 olarak yazılırsa Karakteristik -2 ve mantis de 0,6 olarak bulunur. Demek ki logaritma değeri negatif ise tam kısımdan 1 çıkarılır ve ondalık kısıma da 1 eklenmesi gerekir. (-1,4)= (-1)+(-0,4)= (-2)+(0,6) Karakteristiğin -2 ve mantisin 0,6 olduğu gösterilir. 

 

****1 den büyük bir sayının logaritmasının karakteristiği, bu sayının tam kısmının basamak sayısının 1 eksiğidir.

 

log83576= 4.9220815 olduğundan karakteristiği 4 ve mantisi de 0,9220815 olur.

****0 ile 1 arasındaki bir sayının logaritmasının karakteristiği, sayının ondalık yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki tüm sıfırların sayısının negatif işaretlisidir.

log0,03=-1.52287874528=-2+0.47712125 şeklinde yazılması ile mantis değeri 0.47712125 olur.

****Bir sayının logaritmasının karakteristiği negatif ise, karakteristik pozitif olarak yazılır ve tam kısım üzerine (–) işareti konulur.

 

Büyük bir sayının basamak sayısı bulunurken sayının verilen tabana göre logaritması alınır. Gerekli düzenlemeler yapıldıktan sonra logaritma cetvelinden bulunan değerle çarpma işlemleri yapılarak büyük sayının logaritma sonucu hesaplanmış olur. Hesaplanan logaritma sonucuna göre sayının basamak değeri, karakteristiğin bir fazlası alınarak bulunur.