Çokgenden Pi Sayısına

Etiketler : çember irrasyonel sayılar matematik pi sayısı

Pi sayısı, matematikte ilginç bir sayıdır. Herhangi iki sayının birbirine bölümü olarak ifade edilemeyen yani Rasyonel olmayan iraasyonel bir matematik sabitidir. Kısaca tanımlamak gerekirse bir pi sayısı; çemberin çevre uzunluğunun çapına bölümü olarak ifade edebiliriz. 

Pi sayısı için çokgenlerden yola çıkılarak sezgisel olarak yaklaşık bir değere ulaşılabilir. Düzgün çokgenler kullanılarak çevre uzunlukları çap diyebileceğimiz ağırlık merkezlerini herhangi bir köşeye birleştiren doğru parçasına bölerek işlemi sonsuza kadar devam ettiğimizde pi sayısının bilinen 3.14159265359.... değerine yaklaştığını görebiliriz. Bu işlem defalarca çeşitli çokgenler için denendiğinde pi'nin değeri ortaya çıkar. 

Pek çok matematikçi, pi sayısının değerini yüksek bir doğruluk derecesine göre hesaplayarak, π hakkındaki anlayışlarını genişletmeye çalıştılar. Mısırlılar ve Babilliler de dahil olmak üzere eski uygarlıklar, pratik hesaplamalar için oldukça doğru π yaklaşımları buldular. MÖ 250 civarında, Yunan matematikçi Arşimet, π'ye yaklaşmak için bir algoritma oluşturdu ve bu algoritmaya dayanarak (π) sayısının ondalık açılım değerini kullandı. Arşimet, 223/71< π < 22/7 rasyonel sayıları arasında (yani 3.1408 < π < 3.1429) olduğunu hesaplamalarda kullanması sayının "Arşimet sabiti" olarak da anılmasını sağladı. MS 5. yüzyılda, geometrik teknikler kullanılarak, Çinli matematikçiler π'yi yedi ondalık basamağa yaklaştırırken, Hintli matematikçiler de beş ondalıklı bir sonuç buldular. π için sonsuz seri'ye dayanan bilinen ilk hesaplama formülü, bunlardan yaklaşık bin yıl sonra keşfedildi. Batlamyus, π değeri için (π ≈ 3,141666..) değerini hesaplamıştır. Gıyaseddin Cemşid Arşimed'in pi sayısının hesaplanması için önerdiği iç içe poligonlar yöntemini kullanarak virgülden sonra 14. basamağa kadar hesaplama yapmış ve pi sayısını kendi zamanının en iyi sonucunu bulmuştur. O güne kadar bilinen en iyi sonuç; Çinli Zu Chongzhi tarafından 6. ondalık basamağa kadar olan sonuçtu. Çinli matematikçi Zu Chongzhi, MS 480 civarında, 3.1415926 < π < 3.1415927 olduğunu belirleyerek, rasyonel bir kesir olarak pi sayısı için π≈355/113=3,14159292035... ve π≈22/7= 3.142857142857... hesaplamış  ve bulunan bu sonuçlar uzun yıllar bilim dünyasında kullanılmıştır. Gıyaseddin Cemşid tarafından kullanılan yöntem, döneminin en iyi sonucunu vermesi açısından büyük bir önem taşıyordu. 

Calculüs'ün ortaya çıkmasıyla kısa sürede π'nin yüzlerce basamağının hesaplanması da mümkün hale geldi. Bununla birlikte, 20. ve 21. yüzyıllarda matematikçiler ve bilgisayar bilimcileri, artan hesaplama gücüyle π'nin ondalıklı gösterimini trilyonlarca basamağa kadar genişleten yeni yaklaşım ve yazılımlar keşfettiler. Bu teknik hesaplamalar, yeni serileri hesaplamak için verimli algoritmaların geliştirilmesinin yanında, insanın rekor kırma arayışını da motive etti.  

Bir dairenin çevresinin çapına oranını temsil etmek için Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı da 1706'da William Jones tarafından yapılmıştır. 16. ve 17. yy kadar geometrik  yöntemler kullanılarak (π) nin ondalık basamaklı sayılarının açılımı yapılırken sonraları sonsuz seriler kullanılmaya başlanmış ve (π) nin açılımı, 71 ondalıklı basamağa kadar ulaşmıştır. 1706'da John Machin, pi'nin odalık açılımı için çok daha hızlı yakınsayan bir algoritma üretmek için Gregory-Leibniz serisini kullanarak 100 basamaklı açılımını hesapladı. Gregory-Leibniz, John Machin, Nilakantha serisi, Chudnovsky serisi, Gauss–Legendre algoritması, Srinivasa Ramanujan, Franciscus Vieta, Isaac Newton, Ludolph Van Ceulen, Zacharias Dase yöntemi, Bailey-Borwein-Plouffe, William Shanks, Fabrice Bellard, Adamchick-Wagon formülü gibi yöntem ve seri açılım formülleri, bilgisayar çağına kadar π'yi hesaplamak için en iyi bilinen yöntem olarak kalmıştır. Bu tür yöntemler bilgisayar çağına kadar yaklaşık 250 yıl boyunca yeni rekorlar kırmak için kullanıldı. 1946'da Daniel Ferguson tarafından yeni bir yaklaşımla bilgisayar benzeri bir hesaplama aracı kullanmadan sadece elle yapılan bir hesaplama ile pi nin basamak sayısı 620 basamağa ulaşarak bu çağ sonuçlandı. 

Bilgisayar ve teknik çağında 1949 yılında John Wrench ve Levi Smith, bir masa hesap makinesi kullanarak 1.120 haneye kadar (π) ui gösterdiler. ENIAC bilgisayar üzerinde George Reitwiesner ve John von Neumann liderliğindeki bir ekip, (arctan) sonsuz serisini kullanarak 70 saatlik bilgisayar çalışmasıyla 2.037 basamaklı bir açılım elde etti. 1973'te bilgisayar çalışmaları ile bu açılım rekoru, 1 milyon haneye ulaşmıştır. Karatsuba algoritması, Toom-Cook çarpımı ve Fourier seri dönüşümleri ile (π) basamak hesaplama adımları çeşitlenerek hızlandı. Bill Gosper, 1985 yılında Srinivasa Ramanujan yöntemi ile 17 milyon basamaklı yeni bir açılım rekoru kırarak, π hesaplamasındaki Machin'in formülü benzeri çoğu arctan serisinden daha hızlı bir formül geliştirdi. 1989'da Chudnovsky kardeşler tarafından 1 milyar haneyi aşan ilk rakamlar, 2011'de Alexander Yee ve Shigeru Kondo tarafından 10 trilyon hane ve 2022'de Emma Haruka Iwao tarafından 100 trilyon haneli (π) ondalığı açılımları bu alanda bilinen yeni rekorlardandır.

İsviçreli bilim adamı Johann Heinrich Lambert, 1768'de π'nin irrasyonel olduğunu, yani herhangi iki tam sayının bölümüne eşit olmadığını kanıtladı. Lambert bu ispatını, tanjant fonksiyonunun sürekli kesir temsilinden yararlandı. Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre, 1794'te π²'nin de irrasyonel olduğunu kanıtladı. 1882'de Alman matematikçi Ferdinand von Lindemann, π'nin aşkın olduğunu gösterdi. (π) sembolü daha önceki yıllarda çeşitli şekil ve sembollerde ifade edilse de matematik literatüründe ilk defa Euler tarafından π≈3.14... olarak 1736 tarihli Mechanica adlı çalışmasında kullanılarak yaygınlık kazandı.

(π) nin tanımı, daire ile ilgili olduğu için π, trigonometri ve geometri'deki birçok formülde, özellikle daireler, elipsler ve kürelerle ilgilenen pek çok alanda kullanılır. Ayrıca kozmoloji, fraktal geometri, termodinamik, mekanik ve elektromanyetizma gibi çeşitli bilimlerdeki farklı formüllerde de (π) bulunur. Modern matematiksel analizde, (π) nin tanımında genellikle geometriye herhangi bir referans olmaksızın tanımlama yapılır. Bu nedenle, sayılar teorisi ve istatistik gibi geometri ile çok az ilgisi olan alanlarda da (π) sayısı kullanılır. π'nin her yerde bulunması, onu bilimin içinde ve dışında en çok bilinen matematiksel sabitlerden biri yapmıştır.

π irrasyonel olmasının yanı sıra bir aşkın sayıdır. π aşkınlığının iki önemli sonucu vardır: İlk olarak, π, rasyonel sayılar ve kareköklü sayılar (√3, √5, √37 gibi) veya n-inci derece köklerin (∛7 gibi) herhangi bir sonlu kombinasyonu kullanılarak ifade edilemez. İkincisi, hiçbir aşkın sayı pergel ve cetvel ile oluşturulamadığından, "daireyi kareleştirme" problemi mümkün gözükmez. Başka bir deyişle, yalnızca pergel ve cetvel kullanarak, alanı belirli bir dairenin alanına tam olarak eşit olan bir kare oluşturmak mevcut verilere göre mümkün değildir. π için rasyonel bir sayı bulmak ve kullanmak hesaplamalarda kolaylık sağlamıştır. Gündelik hesaplamalarda (π) yerine kolaylık olması açısından {3,  22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102} rasyonel sayıları ve π nin en sık kullanılan ilk 40 ondalık basamağa kadar açılımı olan 3.1415926535897932384626433832795028841971... değeri kullanım için sıklıkla tercih edilmiştir. Eski Ahit’ in bir bölümünde Pi sayısının değerinin 3 olduğu ima edildiğinden, Hristiyanlardan bazıları, (π) değerinin okullarda 3 olarak öğretilmesi gerektiğini savunurlar.

Pi sayısı, ilk çağlardan beri gündemde olan farklı ve özel bir sayıdır. Bazı bilim insanları tarafından pi sayısının, "tabiatı açıklamaya yarayan evrensel bir matematik dili" olduğu ifade edilir. Kainatta bir yaratıcıyı kabul etmeyen, bilime adeta tapan çeşitli insan grupları, pi sayısına da  büyük anlamlar yükleyerek, (π)'yi ilah yerine koymuşlardır. Bu kesimler, dünyadaki pek çok şeyin pi sayısıyla meydana geldiğini ileri sürmektedirler. Bu sapkın düşünce yapısı, son derece yanlış ve hatalıdır. Aslında pi sayısı ibret nazarıyla bakıldığında,  Allah’ın varlığını ve birliğini gayet açık bir şekilde ispat etmektedir. Çünkü bütün varlıklar, alemde var olan her şey, son derece ölçülü ve düzgün olarak yaratılmış, hiçbir eksiklik, işleyiş bozukluğu tespit edilmemiştir. Bu nizam,  (π) sayısının keşfedilen sonsuz uzunluktaki ondalıklı açılımlarında bile kusursuz bir düzen eşliğinde devam etmektedir. Sonsuz ilim, irade ve kudret gerektiren bütün yaratılışları, bir sayıya vermek, pi sayısına ilahlık derecesi vermek akıl dışıdır ve bu tip insanlarda sağlam bir akıl yoktur. Nitekim pi benzeri pek çok irrasyonel sayı sonsuz ondalık açılıma sahip olarak devam etmektedir. (π) sayısına bu kadar büyük anlam yükleyerek tapan kişiler, kainattaki yaratılışı ve yaratıcıyı hakkıyla anlayamamıştır. 

pi sayısı, sürekli yeni değerler üreten "canlı" bir sayıdır. Bu (π) sayısının yeni değerler üretmesini, evrenin sürekli olarak genişlemesine benzetebiliriz. Pi sayısının genişlemesi durduğunda, yani pi artık "rasyonel bir sabit sayı" olursa, bu durumda "sayının ölümü" gerçekleşecek ve "evrenin genişlemesi" de nihayet bulacaktır ki bu da kutsal metinlerdeki Kıyamet... 

π sayısının basamakları, mevcut tüm sayıların kombinasyon ve permutasyonlarını içerir. Öyle ki bu basamaklar içinde herhangi bir önemli tarih, doğum ve ölüm tarihine ait tarihler, çeşitli sayı kombinasyonları bulunabilir. Pi sayısı, farklı kitaplara ve sinemalara da konu olmuştur. 1988’de Darren Aronofsky tarafından "Pi: Faith in Chaos" adlı bir film çekilmiştir. Filmde, Pi ile ilgili çeşitli cevaplar bulmaya çalışan bir adamın macerasını ve sonunda delirmesini konu alır. Şiirde ya da yazıda art arda gelen her kelimedeki harf sayısının pi sayısındaki rakamların sıralanışına denk gelişi olarak açıklanan “pilish” tekniği, 1900’lü yılların başından beri çeşitli edebi metinlerde kullanılmaktadır. Pi sayısının ondalık açılımı notalara dönüştürülerek müzik besteleri yapılmıştır. 12 Mart 2009'da ABD Temsilciler Meclisi, 14 Mart 2009 tarihini Ulusal Pi Günü ilan etti. Pi Günü'nün bilinen ilk resmi ya da büyük ölçekli kutlanması 1988'de Fizikçi Larry Shaw ve diğer çalışanlar ile birlikte San Francisco Exploratorium'da gerçekleşmiştir. 

"İnsan, pi (π) sayısına benzer, o da bu alemde varlığı ile her gün yeni bir şeyler üretir, her gün kendisi için dünya yeniden yaratılır, yeni heyecanlar,  yeni olaylarla karşılaşır. Pi sayısı, adı gibi başlangıçta bir sayı gibi görünür ama aslında normal bilinen bir sayı gibi değildir. İnsan da et ve kemik yığınından oluşmuş, sadece zevk ve haz üzere yaşayacak bir varlık değildir. Ruh ve maneviyat taşır. Bir amacı ve gideceği bir yolu vardır. (π) sayısının, 3,1415... şeklinde başlayıp sonsuza doğru gittiğini varsayıyoruz. İnsan da kendini ilelebet yaşayacak zanneder. Ölümü kendisine hiç yakıştıramaz. Nasıl pi sayısının sonsuza gittiğini varsayıyorsak, insan olarak bizler de kendimize bir sonsuzluk atfediyoruz. Oysa baki olan sadece Allah'tır. Anlam veremediğimiz, çırpınarak cevabını bulamadığımız sorular eşliğinde bu ilmin içinde bocalayıp duruyoruz. Kendimizi tanıyana kadar, ne olduğumuzu, nereden gelip nereye varacağımızı görene kadar, tıpkı pi sayısı gibi bu kısır sayı döngüsü ve yaşam çizgisinin içinde debelenip duracağız. Bir yerde sabit kalabilmek ve belirsizlikten kurtulabilmek için ilahi mesajın içeriğine kulak vermek lazım. Ancak o zaman bizi "biz" yapanı bulabilir, "ben" kelimesinin sırrını keşfedebilir ve yaşadığımız şu fani hayatı anlamlandırabiliriz." Kadir PANCAR 

Son olarak şu fani alemde (π) ye çok daha farklı anlamlar yüklemek yerine, Kur’ân’ı Kerîm'de 3. Surenin 14. Ayetine bakıp konuyu noktalayalım.

Kuran-ı Kerim'de buyuruldu ki: "Nefsanî arzulara, kadınlara, oğullara, yığın yığın biriktirilmiş altın ve gümüşe, salma atlara, sağmal hayvanlara ve ekinlere karşı düşkünlük insanlara çekici kılındı. Bunlar, dünya hayatının geçici menfaatleridir. Hâlbuki varılacak en güzel yer, Allah katındadır." (Âl-i İmran Suresi, Sure 3, Ayet 14)

******************************

(π) nin yaklaşık değerinin tahmin edilmesi için kullanılan geometrik yöntemi, çokgenlerden yararlanarak aşağıda göstermeye çalıştım. İnceleyebilirsiniz...

 

Şekillerden de görülebileceği gibi çokgenin kenar sayısı ne kadar çok artarsa, çokgen gittikçe çember şekline benzer ve çokgenin çevresinin çokgenin çap uzunluğuna oranı pi sayısına (3,14..) yaklaşır. Kenar sayısı sonsuz çoklukta çizildiğinde yani genişleme sonsuza ulaştığında pi sayısı da gerçek değerine ulaşmış olur.