Açı ölçü Birimleri

Etiketler : açılar birim çember çember matematik trigonometri

Açı ölçü birimi olarak genellikle günlük hayatta derece birimi kullanılır. Dereceden başka açı ölçü birimi olarak özellikle trigonometri alanında sıklıkla radyan birimi kullanılır. Grad da bir başka ölçü birimidir. Haritacılık ve askeri alanlar gibi daha hassas ölçüm gerektiren yerlerde sıklıkla grad birimine ihtiyaç duyulur. Küre yüzeyinde de açıları ifade edebilmek için, steradyan (katı açı) birimi tanımlanmıştır.

Derece; bir çemberin çevre yay uzunluğu, 360 eş parçaya ayrıldığında bu parçalardan her birinin merkezle oluşturduğu açının ölçüsü, 1 derece olarak ifade edilir.

1° derece 60' dakikadır. 1' dakika da 60'' saniyedir. 1° derece=60 ''dakika ve 1° derece=3600'' saniye olur. Derece için ° sembolü, dakika için ' (tek tırnak)  sembolü ve saniye için de '' (çift Tırnak) sembolü kullanılır.

Radyan: Radyan, bir dairede yarıçap uzunluğundaki yay parçasını gören merkez açıya eşit açı ölçme birimidir. 1 radyan 180°/π ya da yaklaşık 57,2958° derecedir (57°17′45″). Örneğin, yarıçap değeri 1 m, olan bir çemberde 1 m uzunlukta yayı gören merkez açı 1 radyan'dır. Radyan, açısal ölçünün standart birimidir ve matematiğin birçok alanında kullanılır. 

Bir radyan, bir dairenin yarıçapına eşit uzunlukta olan bir yayın, bu dairenin merkezinde oluşturduğu açıdır. Bir açının radyan olarak ölçümü, sayısal olarak bir birim dairenin karşılık gelen bir yayının uzunluğuna eşittir. Daha genel olarak, böyle bir açının radyan cinsinden büyüklüğü, yay uzunluğunun dairenin yarıçapına olan oranına eşittir. Radyan ölçü birimini ifade etmek için, genelde herhangi bir kısaltma kullanılmamasına rağmen, bazı kitaplarda kısaltma olarak  "Rad" kelimesi kullanıldığı da gözlenmiştir. Hiçbir sembol olmadığında bir açının biriminin radyan olduğu varsayılır. Eğer açıyı derece olarak ifade etmek istiyorsak derece birimi için ° sembolü kullanmamız gerekir. Bu nedenle Matematiğin birçok dalında açılar için, evrensel olarak derece yerine radyan cinsinden ölçülerin kullanılması tercih edilir.   

Matematik, fizik, ve elektrik mühendisliği gibi birçok bilim dalında açı ölçme birimi olarak, sıklıkla radyan birimi kullanılır. Bir çemberin tam bir devri (360° derecelik tam bir tur) 2π radyan’dır. Radyan, açısal ölçümler gerektiğinde, fizikte de yaygın olarak kullanılır. Örneğin açısal hız, tipik olarak 1 saniyedeki radyan birimi (rad/s) cinsinden ölçülür. Bir açının derecesine karşı radyan ölçü kavramının kullanımına, literatürde 1714 yılında Roger Cotes ve 1873 yılında James Thomson tarafından yazılan makalelerde rastlanılmıştır. 

Matematiksel teoremlerin daha zarif bir şekilde formüle edilebilmesi için radyan ölçü birimi, dereceye göre daha doğal bir yapıya sahiptir. Radyan ölçü birimi kullanıldığında trigonometrik fonksiyonların kuralları, trigonometrik fonksiyonların türevi ve trigonometrik fonksiyonların integrali daha doğal hale gelmiş olur. Radyan (radian) Uluslararası ölçü birimleri standartlarına (SI: Système International (d'unités)) göre açı ölçmek için kullanılan standart bir ölçü birimidir. Bu standarda göre, açı ölçü birimi radyan türetilmiş bir birimdir.  Radyan, uzunluğun uzunluğa oranı olduğu için boyutsuz bir birimdir.

Grad, derece ve radyan gibi bir açı ölçü birimidir. Bir çemberin 400 ei parçaya bölünmesi ile elde edilen parçalardan her birine 1 Grad adı verilir. Grad ölçüsünde, tam açı 400 grad olarak tanımlanır. Grad açı ölçü birimi, derece birimi gibi dakika ve saniye alt birimlerine sahiptir. Derece ölçü biriminde 60 saniye 1 dakika ederken, grad ölçü biriminde 100 "grad saniyesi (cc)", bir grad dakikasına (c) karşılık gelir. Aynı şekilde, 100 "grad dakikası" da bir "grad açısına" karşılık gelir. 

1g=100 grad dakikası (c) ve 1 grad dakikası (c)= 100 grad saniyesi olur. (cc) [1g = 100c ve 1c = 100cc] şeklinde kısaltma birimi olarak küçük c harfi ile g harfi kullanılır. 

Haritacılıkta ve askeri alanlarda ölçü birimi olarak grad kullanılır. Grad ölçü birimi, derece ölçü birimine göre bir çemberi daha fazla parçaya ayırdığı için daha detaylı ölçüm işlerinde kullanılır.Haritaların oluşturulmasında ve topografya çizimlerinde yüksek hassasiyet gerekli olduğundan grad açı ölçü biriminin kullanılması tercih edilmiştir. 

Ölçü birimleri kendi aralarında birbirine dönüştürülebilir. 360 derecelik tam açının, grad olarak değeri 400 graddır. Derece ile Grad arasında G/D=10/9 ilişkisi vardır.Radyan ve derece arasında çember çevresinden kaynaklı aşağıdaki bağıntı yazılabilir.

Saat Problemleri: Bir analog saat üzerinde, 360 dereceyi 12 parçaya böldüğümüzde, her iki sayı arası için, 30 derece düşer. Dolayısıyla akrep bir saatte 30 derecelik yol alır. Yelkovan ise, bir saatte 360 derecelik yol alır. Yani 60 dakikada 360 derecelik yol alırsa, yelkovan 1 dakikada 6 derecelik yol alır. Saat problemleri ile ilgili aşağıda iki örnek soru çözümü verilmiştir. (Bkz. Saat Problemleri)

Steradyan: kürenin merkezini tepe olarak alan ve küre yüzeyinde bu kürenin yarıçapına eşit bir kare kadar alan ayıran uzay açısına eşittir. Boyutsuz bir büyüklük olup, 1995 yılından itibaren türetilmiş steradyan (sr) birim olarak tanımlanmıştır. Steradyen eskiden bir SI tamamlayıcı birimi iken bu kategori, 1995 yılında Uluslararası ölçü birimleri standartlarına (SI: Système International (d'unités)) içeriğinden kaldırılarak, steradian SI türetilmiş bir birim olarak kabul edilmiştir. Steradyan (Katı açı), genelde Omega (Ω) sembolü ile gösterilir. Standart kısaltması "sr" olarak verilmiştir. 

Tek boyutlu bir uzayda sadece çizgilerden bahsedilir. İki boyutlu uzayda ise bir yüzey ve alan meydana gelir. Açıyı bu nedenle iki boyutlu bir düzlemde tanımlayabiliriz. Üç boyutta ise artık yüzeyin yanında hacimden de söz edilebilir. Üç boyutlu bir uzayda, herhangi bir açı tanımlanırken, "Steradyan" (katı açı-solid angle) şeklinde bir türetilmiş bir birim kullanılır. "Birim kürenin üzerinde 1 birim kare alanın oluşturduğu açı bir steradyan'dır" şeklinde kabaca bir tanımı yapılabilir. Kısaca küre merkezinden görünen konik açıya "steradyan" denir.  

Bir kürenin alanı, 4.π.r² iken bu alanı steradyan birimi ile ifade etmek gerekirse yarıçaptan bağımsız olarak sadece 4π (sr) olarak söyleyebiliriz. Bu durumda bütün kürelerde 1 steradyanlık katı açının küre yüzeyine olan ilişkisi; 1 sr= Kürenin yüzey alanı (4.π.r²) / 4.π olur ki bu da küre yüzeyinin alanının yaklaşık %8'ine karşılık gelir.  A küre yüzeyinin alanı olmak üzere, 1sr=A/4.π = %7,9577.A olur. (İki boyutta bir açı maksimum 360° derece veya 2π radyan olurken, üç boyutta maximum 4π steradyan olur. Güncel hayatta çok kullanılmayan bir kavram olan steradyan (katı açı) için söylenen bu rakamlar, bizlere alışık olduğumuz bir his vermeyebilir. Mesela dümdüz bir arazide bulunduğumuz noktaya göre gökyüzü, yarım küre biçiminde olduğu için 2π steradyandır. İçinde bulunduğumuz dikdörtgenler prizması şeklindeki bir odanın tavanı ile duvarlarının birleştiği bir köşe noktasına göre, odanın diğer duvarlarının toplam katı açısı; π/2 steradyandır. Yani bu katı açı, köşe merkezli hayali kürenin sekizde birini örter, bu nedenle bu katı açının ölçüsü 4π/8  bölümünden π/2 steradyan bulunur. 

Düzlem üzerindeki açılar ile küre yüzeyindeki katı açılar (steradyan) arasında da alan hesaplamalarıyla bağıntılar bulunabilir. Geometrik şekillerin katı açıları bu bağıntılar yardımıyla kolayca hesaplanabilir. Mesela kürede bir noktadan küre merkezinin tam karşısındaki bir daireye baktığımızı varsayalım. Bu problem bir koninin tepe noktasına göre, tabanının katı açısının sorulaması ile eş değer anlamdadır.  Buna göre merkeze göre katı açısını hesaplamak istediğimiz dairenin küre üzerine izdüşümü olan "küre kapağının" alanını hesaplayıp, yarıçap olan R'nin karesine bölerek katı açının ölçüsünü bulabiliriz. Bu küre kapağın alanı, kürenin ekvator çemberinin çevresinin (R-h) ile çarpımıdır. (Bkz. Kürede Alan ve Hacim Bağıntıları)

Steradyan ölçü birimi, özellikle fizikte yaygın olarak kullanılır. Işık hesaplamalarında bu katı açı (steradyan) birimi kullanılır. Mesela bir gökcisminden gelen ışığın şiddetini ölçmek için watt/sr kullanılabilir. Anten mühendisleri antenin ışımasını ölçmek için bu steradyan kavramı kullanır.