sin²x+cos²x=1 özdeşliği ispatı

Birim çember üzerinden gösterilen en temel trigonometrik özdeşlik sin²x+cos²x=1 farklı bir bakış açısıyla çemberdeki açılar yardımıyla da gösterilebilinir. Aynı yayı gören çevre açıların ölçüleri birbirine eşittir. Buna göre Şekildeki sarı renkle gösterilen yayı gören açıların ölçüleri birbirine eşittir. Bu eşit ölçülü açıların tanjant değerleri yazılıp birbirine eşitlendiğinde trigonometrinin en temel özdeşliği olan sin²x+cos²x=1 özdeşliği elde edilmiş olur.

Normalde bu trigonometrik özdeşlik çember üzerindeki herhangi bir noktanın apsis ve ordinatları açı cinsinden yazıldıktan sonra pisagor teoremi yardımıyla gösteriliyordu. Burada sadece aynı açıların eğimleri (tanjant oranları) gösterilerek pisagor teoremine gerek kalmadan ispatlama yapılmıştır.

Dikdörtgen ve Özellikleri

Tüm açılarının ölçüsü, 90 derece olan paralelkenara dikdörtgen (mustatil) adı verilir. Paralelkenarın bütün özelliklerini taşır. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. Her dikdörtgen, aynı zamanda bir paralelkenardır. Bu ifadenin tersi doğru olmaz. Yani her paralelkenar, her zaman bir dikdörtgen olmaz. Kare şekli de özel bir dikdörtgen formatıdır.

Üçgende açı soruları ve çözümleri

Üçgende açı ölçüsü ile ilgili özellikler ve bunların ispatlarını içeren yazımızı daha önce paylaşmıştık. (Bkz. Üçgende Açı Özellikleri) Bu yazıda, üçgende açı ile ilgili örnek sorular ve çözümleri paylaşılacaktır.

Katlama soruları genel özellikleri

Katlama sorularının çözümü yapılırken simetri ve açıortay kavramlarının iyi bilinmesi gerekmektedir. Katlama yapılan yöne bağlı olarak farklı durumlar ortaya çıkar. Bir üçgende bir köşeden başka bir köşeye doğru kaplama yapıldığında ortaya çıkan katlama izi bir kenarın orta dikmesi üzerinde olacaktır. 

Üçgende Açılar

Üçgen: aynı düzlem üzerinde bulunan ve doğrusal olmayan üç farklı noktayı, ardışık olarak birleştiren doğru parçalarının oluşturduğu kapalı, geometrik şekle üçgen (müselles) adı verilir.

Doğruda Açılar ve özellikleri

Açı; Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşimini ifade eden geometrik yere açı denir. Başlangıç noktaları ortak olan iki ışının birleşimi açıyı oluşturur Çevremizde açı örneklerini kolaylıkla görebiliriz. Bir açının oluşması için iki "açı kenarı" (ışın) ve bir (başlangıç) köşesi gereklidir. Bir açıyı oluşturan kenarları, "açının kolları" da olarak isimlendirebiliriz.Açıların ölçüsü; derece, radyan, grad gibi ölçü birimleri ile ölçülür.

Geometride temel kavramlar

Nokta, geometride boyutsuz olarak ifade edilen; eni, boyu ve derinliği olmayan bir terimdir. Bir noktadan sonsuz sayıda doğru geçer. Bu, doğru demeti olarak adlandırılır. İki noktadan yalnızca bir doğru geçer.

Euclid geometrisinde nokta tanımsız kavramlardan birisidir. Euclid noktayı; "a point is that which has no part" (T. L. Heath Euclid's Elements) tercumesinde nokta; eni, boyu, uzunluğu olmayan en küçük şey olarak tercüme edilebilir. Nokta; matematikte büyük harflerle gösterilir.

Kenarortay ve Özellikleri

Kenarortay, bir üçgende herhangi bir kenarın orta noktasını, o kenara ait karşı köşeye birleştiren doğru parçasıdır.

Açıortay ve Özellikleri

Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş açıya bölen ışınlara açıortay denir. Eğer üçgenin iç açısını iki eşit ölçülü açıya bölen bir ışın varsa buna "iç açıortay" denir. Aynı durum üçgenin dış açısı için geçerli ise o zaman bu ışına "dış açıortay" adı verilir.

Küre yüzeyinde katı açı kavramı

Steradyan: kürenin merkezini tepe olarak alan ve küre yüzeyinde bu kürenin yarıçapına eşit bir kare kadar alan ayıran uzay açısına eşittir. Boyutsuz bir büyüklük olup, 1995 yılından itibaren türetilmiş steradyan (sr) birim olarak tanımlanmıştır. Steradyen eskiden bir SI tamamlayıcı birimi iken bu kategori, 1995 yılında Uluslararası ölçü birimleri standartlarına (SI: Système International (d'unités)) içeriğinden kaldırılarak, steradian SI türetilmiş bir birim olarak kabul edilmiştir. Steradyan (Katı açı), genelde Omega (Ω) sembolü ile gösterilir. Standart kısaltması "sr" olarak verilmiştir. 

Saat problemlerinde açı özellikleri

Saat, zamanı ölçmeye yarayan alettir. İki farklı zaman arasındaki farkı insanlar tarafından oluşturulan ölçüler dahilinde ölçmeyi sağlar. Mısırlılar, Güneş'in her gün belirli bir düzende doğup battığını keşfetmişti. Bundan yararlanarak güneş saatini icat etmeyi başardılar. Bu saat çeşidinde dik duran bir cismin güneşin geliş açısına göre oluşturduğu gölge boyuna bakılarak saat hesaplanıyordu. Ancak güneş saati, geceleri güneş olmadığından çalışamıyordu. Bunun üzerine Antik Mısırlılar kum saati ve su saatini icat ettiler. Su saatinin temel prensibi, suyun düzenli bir şekilde bir kaba veya bir kaptan dışarı akması üzerine kuruludur. Güneş saatinden sonra, muhtemelen MÖ 16. yüzyılda yine Mısırlılar veya Babilliler tarafından kullanılmaya başlandığı kabul edilir. (Bkz. Saatlerin Tarihsel Gelişim Süreci)

Saat Problemleri:Bir analog saat üzerinde, 360 dereceyi 12 parçaya böldüğümüzde, her iki sayı arası için, 30 derece düşer. Dolayısıyla akrep bir saatte 30 derecelik yol alır. Yelkovan ise, bir saatte 360 derecelik yol alır. Yani 60 dakikada 360 derecelik yol alırsa, yelkovan 1 dakikada 6 derecelik yol alır. Saat problemleri ile ilgili aşağıda iki örnek soru çözümü verilmiştir.

Açı ölçü Birimleri

Açı ölçü birimi olarak genellikle günlük hayatta derece birimi kullanılır. Dereceden başka açı ölçü birimi olarak özellikle trigonometri alanında sıklıkla radyan birimi kullanılır. Grad da bir başka ölçü birimidir. Haritacılık ve askeri alanlar gibi daha hassas ölçüm gerektiren yerlerde sıklıkla grad birimine ihtiyaç duyulur. Küre yüzeyinde de açıları ifade edebilmek için, steradyan (katı açı) birimi tanımlanmıştır.

Derece; bir çemberin çevre yay uzunluğu, 360 eş parçaya ayrıldığında bu parçalardan her birinin merkezle oluşturduğu açının ölçüsü, 1 derece olarak ifade edilir.

Çokgenler ve genel özellikleri

Tanım: n ≥ 3 ve n bir doğal sayı (N) olmak üzere, düzlemde sadece A 1 , A2, A3, ... , An noktalarında kesişen ve ardışık herhangi üç noktası doğrusal olmayan [A1 , A2], [A2, A3], ... , [An – 1 , An], [An, A1 ] doğru parçalarının birleşim kümesinin oluşturduğu kapalı geometrik şekle "çokgen" denir. [A1 , A2], [A2, A3], ... , [An – 1 , An], [An, A1 ] doğru parçalarına çokgenin kenarları; A1 , A2, A3, ... , An noktalarına da çokgenin köşeleri denir.

Bir çokgenin iç bölgesinde bulunan herhangi iki nokta birleştirildiğinde oluşan doğru parçası, çokgenin iç bölgesinde kalıyor ise bu tip çokgenlere "dışbükey çokgen" (konveks) denir. Bir çokgenin iç bölgesinde bulunan herhangi iki nokta birleştirildiğinde oluşan doğru parçası, çokgenin iç bölgesinde tamamıyla kalmıyorsa bu tip çokgenlere de "içbükey çokgen" (konkav) denir. 

Birim Çember

Birim çember: 1 birim yarıçaplı ve merkezi orijin olan çembere birim çember denir. Özellikle trigonometride çok sıklıkla kullanılan birim çember, Öklid düzlemine göre Kartezyen koordinat sisteminde,merkezi orijin üzerinde (0,0) olan ve yarıçapı bir birim olarak tanımlanan ve denklemi: x²+y²=1 olan çemberdir. 

Dörtgende Açı Özellikleri ve ispatı

Dörtgenler bir çokgen çeşididir. Çokgenler kenar sayılarına göre isimlendirilmesi nedeniyle dört kenarı bulunan çokgene "dörtgen" ismi verilir. Dörtgenin açı özelliklerini bilebilmek için üçgen üzerindeki açı özelliklerini iyice kavramış olmak gerekmektedir.
TEOREM: Herhangi bir konveks dörtgenin iç açıları ölçüleri toplamı düzlem üzerinde 360 derecedir. Aynı şekilde dış açıları ölçüleri toplamı da 360 derecedir. Dörtgenin iç açılarının ölçüsünün toplamının 360 derece olduğunu göstermek için dörtgeni iki parçaya ayıracak şekilde bir tane köşegen çizilir oluşan üçgenlerde iç açılar tek tek yazılarak üçgenin açıları toplamı 180 derece olduğundan çizilen bu iki adet üçgenin iç açıları toplamı 2.180°=360° olarak bulunur. Altta bir çokgenin genel iç açıları toplamı formülünden dörtgenin iç açısı ölçüsü toplamı ispatı verilmiştir. Yukarıda anlattığımız ispat şeklinin matematik dilindeki gösterimidir. 

İSPAT: Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, (n–2).180° olup  n = 4 kenar için, (4–2).180° = 360° bulunur. Konu ile ilgili aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

Üçgenler Ünitesi Konu Başlıkları

Üçgenler ünitesinde yer alan aşağıdaki konu başlıkları ile ilgili olarak hazırlanmış konu anlatımı ve önemli teoremlerin ispatlarına, örnek soru çözümlerine ilgili bağlantının/yazının üzerine tıklayarak ulaşabilirsiniz. 

Geometride temel kavramlar

**Açı Ölçü Birimleri

Doğruda Açılar ve Özellikleri

Doğruların birbirine göre durumları

Düzlemlerin Birbirine göre Durumu

Üçgende Açılar

Üçgende açı soruları ve çözümleri

Katlama soruları genel özellikleri

Üçgende Kenar Bağıntıları

Üçgen eşitsizliği ve ispatı

**Üçgen eşitsizliği cebirsel ispatı

Eşkenar üçgen ve özellikleri

Ders Anlatım Föyleri-Eşkenar Üçgen

ikizkenar üçgen ve özellikleri

İkizkenar üçgende yardımcı elemanlar

Ders Anlatım Föyleri-İkizkenar Üçgen

Açıortay ve Özellikleri

Üçgende Açıortay Dikmeleri

Açıortay Teoremleri ve İspatı

Üçgende açıortay soruları ve çözümleri

Kenarortay ve Özellikleri

Üçgende Ağırlık Merkezi İspatı

**Kenarortay Teoremi İspatı

Ders Anlatım Föyleri-Üçgende Kenarortay

Üçgenin Kenarorta Dikmeleri

Bir Üçgenin Yükseklikleri ve Kesim Noktası

Üçgenin İç ve Dış Merkezi

Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

Thales Teoremleri ve İspatı

Eş üçgenlerde Yardımcı Elemanlar

**Seva (Ceva) Teoremi ve İspatı

**Menelaus Teoreminin İspatı

**Karnot Teoremi ve İspatı

**Stewart Teoremi ve İspatı

**Steiner - Lehmus Teoremi

Sinüs teoremi ve ispatı

Dik Üçgen ve temel özellikleri

Açılarına göre özel dik üçgenler

Kenarlarına göre özel dik üçgenler

Öklid Teoremleri ve ispatı

Pisagor Teoremi ve sonuçları

**Pisagor Teoremi ve İspatı

**Pisagor Teoremi Vektörel İspatı

Ders Anlatım Föyleri-Dik Üçgen

Üçgende Alan Bağıntıları

Üçgenin Heron alan Bağıntısı ( U Formülü)

Üçgenin çevrel çember/sinüs alan formülü

İçteğet çemberi çizilen üçgenin alan formülü

Üçgenin Çevrel Çemberi ve alan hesabı

Koordinatları bilinen üçgenin alanı

(**) İşaretli olanlar Fen Liseleri, Yeterlilik Sınavları, Olimpiyat/Matematik yarışmaları ve matematik meraklısı her seviye ilim aşığı için hazırlanmış olup, biraz daha ileri matematik konularını ihtiva eden matematik müfredatının daha kapsamlı olduğu alanlar için önceliklidir. 

Konu ile ilgili olarak, ÜÇGENLER (Esen Yay) örnek fasikülünü de ayrıca inceleyebilirsiniz. İNDİRMEK İÇİN TIKLAYINIZ:::

Çemberde Açı Özellikleri

Çemberde Açı Özellikleri anlatılırken, merkez açı, çevre açı, teğet kiriş açı, iç açı ve dış açının her birine ait özellikler madde madde verilmiş ardından ilgili maddenin açıklamaları ve şekilleri çizilmiştir.

1. Bir çemberde iki küçük yayın eş  olması içi gerekli ve yeterli koşul, bu yayların merkez açılarının eş olmasıdır. 
2. İki teğet arasında kalan yayın ölçüsü ile açının ölçüsü bütünlerdir .Yani ölçüleri toplamı 180 derecedir.
3. Köşesi çemberin dış bölgesinde ve kenarları çemberin keseni veya teğeti olan açıya, çemberin  dış açısı denir. Bir çemberde bir dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısına eşittir. 
4. Bir çemberin iç bölgesinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açıların her birine, çemberin iç açısı denir. Bir çemberde bir iç açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçülerinin  toplamının yarısına eşittir.
5. Paralel kirişler arasındaki yayların ölçüleri birbirine eşittir.
6. Köşesi çemberin merkezinde olan ve ışınları çemberi iki noktada kesen bir açıya  merkez açı denir. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın uzunluğunun yarıçapının uzunluğuna oranına eşittir. 
7. Köşesi çember üzerinde olan ışınları çemberi diğer iki noktada kesen bir açıya çevre açı denir. Bir çevre açının ölçüsü, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir. 
8. Çapı gören çevre açısının ölçüsü 90° dir. 
9. Köşesi çember üzerinde olan ve bir kiriş ile bir teğetin belirlediği açıya   teğet – kiriş açısı  denir. Bir teğet – kiriş açısının ölçüsü, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir.
10. Bir çemberde, aynı yayı gören teğet – kiriş açıları ile çevre açılarının ölçüleri birbirine eşittir. 
11. Bir çemberde, aynı yayı gören teğet – kiriş açıların ölçüleri eşittir.