Geometri biliminde düzlemdeki sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki sonsuz sayıdaki noktaların oluşturduğu kümeye (kapalı eğriye) "çember" denir. Çemberin üzerindeki noktalara eşit uzaklıkta bulunan, çemberin tam ortasında yer alan sabit noktaya "çemberin merkezi" denir ve genellikle M veya O harfi ile gösterilir. Merkezi (a,b) olan ve yarıçapı r olan bir çember; Ç(M,r) şeklinde yazılır. Çember merkezi ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklığa çemberin "yarıçapı" denir ve genellikle "r" harfi (radius) ile gösterilir. Çemberin merkezinden geçerek çemberin üzerinde bulunan herhangi iki noktayı birleştiren en uzun doğru parçasına "çap" (diameter) adı verilir ve 2r ile gösterilir.
Bir çemberin yay uzunluğunun tamamını veren ifadeye "çemberin çevresi" denir ve çemberin çevresi Çevre= 2πr formülüyle hesaplanır. Çemberin kendisi ve çemberin iç bölgesi de çembere dâhil edilirse bu plaka biçimine "daire" denir, daire bir yüzey (alan) belirtir. Yarıçapı r olan dairenin alanı: Alan=π.r2 formülüyle bulunur. Alan ve çevrede kullanılan π sayısı irrasyonel bir sayıdır. π=3.14159265359... devam eden irrasyonel sabit bir sayıdır.
Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çemberin genel denklemi şu şekildedir: (x−a)2+(y−b)2=r2 Bu çember denklemi, çember üzerindeki tüm noktaların merkez noktasına olan uzaklığının r olduğunu ifade eder. Esasında çember denklemi analitik geometride iki nokta arası uzaklık formülü ile oluşturulur.
(x−a)2+(y−b)2=r2 çember denklemine çemberin standart denklemi denir. Örneğin orijin merkezli ve yarıçapı 5 birim olan bir çemberi (x−0)2+(y−0)2=52 şeklinde yazabiliriz. Buradan orijin merkezli bu çember; x2+y2=25 olur. Merkez (3, -2) ve Yarıçapı r=4 olan bir çemberi, (x−3)2+(y+2)2=16 şeklinde yazabiliriz.
1) Merkezi x ekseni üzerinde olan bir çemberin merkezi noktası M(a, 0) şeklindedir. Yani, merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin y-koordinatı sıfırdır. Bu durumda Merkezi x ekseni üzerinde olan bir çemberin genel denklemi şöyle olur: (x−a)2+y2=r2 olur. Bu çember, x ekseni üzerinde bir noktayı merkez alır ve y ekseni boyunca yukarı ya da aşağıya doğru simetrik olarak uzanır. Örneğin merkezi (2, 0) ve yarıçapı 6 olan bir çemberin denklemini (x−2)2+y2=36 şeklinde yazabiliriz.
2) Merkezi y ekseni üzerinde olan bir çemberin merkezi M(0,b) şeklindedir. Yani, merkezi y ekseni üzerinde olan bir çemberin x-koordinatı sıfırdır. Bu durumda çemberin genel denklemi şöyle olur: x2+(y-b)2=r2 olur. Bu çember, y ekseni üzerinde bir noktada merkezlenmiştir ve x ekseni boyunca sağa ya da simetrik olarak uzanır. Örneğin; Merkezi (0,−3) ve yarıçapı 5 olan bir çemberin denklemi: x2+(y+3)2=25 olur.
3) Merkezi orijin M(0, 0) üzerinde olan bir çemberin denklemi çemberin en basit ve standart halidir. Merkezi orijin M(0, 0) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi: x2+y2=r2 olur. Bu çember, hem x hem de y eksenine göre simetriktir çünkü merkez orijin üzerindedir.
Örneğin Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 7 olan bir çemberin denklemi: x2+y2=49 şeklindedir. Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 9 olan bir çemberin denklemi: x2+y2=81 şeklindedir.
Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir trigonometrik fonksiyonları tanımlamada birim çember kullanılır. Birim çemberin denklemi: x2+y2=1 şeklindedir.
4) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember y eksenine teğet ise çemberin yarıçapı |a| olur ve çemberin merkezi a koordinatına bağlı olarak x ekseninin sağında ya da solundadır. M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çember, y eksenine teğet ise bu çemberin denklemi: (x−a)2+(y−b)2=a2 şeklinde olur. Aynı denklemi r'ye bağlı olarak (x−r)2+(y-b)2=r2 şeklinde yazarız.
5)
Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember, x eksenine teğet ise çemberin yarıçapı |b| olur ve çemberin merkezi, b koordinatına bağlı olarak y ekseninin aşağısında ya da yukarısında yer alır. M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çember x eksenine teğet ise denklemi: (x−a)2+(y−b)2=b2 şeklinde olur. Aynı denklemi r'ye bağlı olarak (x−a)2+(y-r)2=r2 şeklinde yazarız.
6) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember, her iki eksene de teğet ise (x ve y eksenine teğet ise) çemberin merkezi M(a,b)=(±r,±r) şeklinde olur ve bölgelere göre dört farklı çember çizilebilir. Çemberin merkezi ve yarıçapı verildiğinde denklemi (x−a)2+(y−b)2=r2 olduğundan; merkez koordinatlarının bölgelere göre a=±r ve b=±r ihtimali olduğundan dört farklı çember yazılabilir.
Buna göre birinci bölgedeki eksenlere teğet çember şöyle olur: (x−r)2+(y−r)2=r2
İkinci bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi: (x+r)2+(y-r)2=r2 olur.
Üçüncü bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi: (x+r)2+(y+r)2=r2 olur.
Dördüncü bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi de (x-r)2+(y+r)2=r2 olur.
Eksenlere teğet olan bu çemberlerin merkez koordinatları bölgelere göre şöyledir: Birinci bölgede A(r,r) ; ikinci bölgede B (−r,r) ; üçüncü bölgede C(-r,−r) ; dördüncü bölgede D(r,-r) olur.
Bir çemberin standart denklemi denklemi (x−a)2+(y−b)2=r2 ifadesi açıldığında x2+y2+Dx+Ey+F=0 şeklinde çemberin genel denklemi elde edilir. Bu denklemde katsayılar olan D, E, F gerçek sayılardır.
x2+y2+Dx+Ey+F=0 Denkleminin çember belirtmesi için x2 ve y2 terimlerinin denklemde kesinlikle olması ve x2 ve y2 terimlerin katsayılarının birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca x.y çarpanı şeklinde bir terim bulunmamalıdır. Ayrıca denklemde elde edilecek r yarıçapının tanımlı olması gerekir. (r>0)
Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çemberin standart denklemi: (x−a)2 + (y−b)2 = r2 çemberin standart denklemi binom özelliğinden yararlanarak azalan kuvvetlere göre açılırsa:
(x−a)2+(y−b)2=r2 ⮕ x2 − 2ax + a2 + y2−2by + b2 = r2
x2+y2−2ax−2by + (a2+b2−r2) = 0 bulunur.
Bu ifade kısa bir şekilde D, E ve F katsayılarıyla D=−2a, E=−2b ve F=a2+b2−r2 olacak biçimde en sade halde düzenlenirse; x2+y2+Dx+Ey+F=0 çemberin genel denklemi elde edilir. Bu genel çember denkleminde, çemberin merkezi M(-D/2, -E/2) olur.
x2+y2+Dx+Ey+F=0 tam kareye tamamlama işlemi ile yarıçap ve merkez koordinatları D, E ve F cinsinden yazılabilir. Yarıçap ifadesinde eğer karekök içi negatif çıkarsa, bu bir gerçek çember belirtmez. (bu denklemin reel sayılarda çözümü yoktur)
Çemberin genel denklemininde çemberin diskiriminantı denebilecek D2+E2-4F ifadesine göre üç farklı durum söz konusu olur.
1) D2+E2-4F>0 ise verilen denklem bir çember belirtir.
2) D2+E2-4F=0 ise verilen denklem bir çember belirtmez.Yarıçap r=0 olduğundan bu denklem bir nokta belirtir. Bu nokta çemberin merkez koordinatlarıdır.
3) D2+E2-4F<0 ise verilen denklem bir çember belirtmez. Yarıçap ifadesi karekök tanımlı olmadığından hesaplanamaz.
Herhangi üç noktadan geçen bir çemberin denklemini bulmak için, çemberin genel denklemini: x2+y2+Dx+Ey+F=0 şeklinde kabul ederiz ve verilen üç noktayı bu denkleme yerleştirerek bir denklem sistemi kurarız. Bu denklem sistemi ikişerli olarak çözülerek D,E,F katsayıları bulunur. Bu katsayılara göre çember denklemi yazılır.
Örneğin verilen 3 nokta:
A(1,2), B(2,3), C(1,0) ise bu noktalardan geçen çemberin denklemini bulmak için genel çember denklemi: x2+y2+Dx+Ey+F=0 olarak alınır ve her nokta x ve y yerine koyularak bir denklem sistemi kurulur.
A(1, 2) noktası için:
12+22+D(1)+E(2)+F=0⇒1+4+D+2E+F=0⇒D+2E+F=−5
B(2, 3) noktası için:
4+9+2D+3E+F=0⇒2D+3E+F=−13
C(1, 0) noktası için:
12+02+D(1)+E(0)+F=0⇒1+D+F=0⇒D+F=−1
Bu üç denklemi kendi arasında ikişerli olarak yoketme metodu ile çözersek sonuçta denklemin katsayılarını D=-6, E=-2 ve F=5 buluruz. Bu katsayılara göre çemberin genel denklemi: x2+y2−6x−2y+5=0 olur. Böylece bu çemberin merkezi M(3,1) ve yarıçapı da r=√5 olur.
