Üçgenin çevrel çemberi ve alanı

Etiketler :

Herhangi bir üçgenin köşe noktalarından çizilen çembere üçgenin çevrel çemberi denir. Esasında çember üzerinde alınan üç farklı noktayı birleştiren doğru parçaları (kirişler) yardımıyla çember içinde bir üçgen oluşturulur. Çevrel çemberin merkezi üçgenin iç bölgesinde veya dış bölgesinde yer alabilir. Meydana gelen bu üçgenin alanını, çevrel çemberin yarıçapını kullanarak bulabiliriz. Çevrel çember yardımıyla üçgenin alanı hesaplanırken, üçgenin bütün kenar uzunlukları çarpılır ve çarpım sonucu çevrel çemberin yarıçapının dört katına bölünür. Bu şekilde üçgenin alanı bulunmuş olur. 

TEOREM: Bir üçgenin alanı, tüm kenar uzunluklarının çarpımının, çevrel çemberin yarıçapının dört katına bölümüne eşittir. 

İSPAT-1:İspatını yaparken üçgenin sinüs alan formülü kullanılarak ispat yapılabileceği gibi çember özellikleri ve benzerlik kullanılarak da ispatlama yapılabilir. Bunun için bir çember çizelim. Ve çember üzerinde üç farklı nokta alarak bir üçgen oluşturalım. 

Şekilde ABC üçgeni çizilmiştir. Üçgende B noktasından indirdiğimiz yüksekliğe h diyelim. Aynı zamanda, BO doğrultusunu uzattığımızda, O merkezli çemberde |BD| çapını elde etmiş oluruz. ABD üçgeninde A açısı çapı gördüğünden, çapı gören çevre açının ölçüsü 90 derece olur. Aynı yayı gören çevre açılar birbirine eşit olduğu için D açısı ile C açısı birbirine eşittir. (Çünkü D açısı da C açısı da AB yayını görüyor.) Bu açıların ölçülerini y olarak adlandıralım. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için, BEC üçgenindeki B açısıyla, ABD üçgenindeki B açısı birbirine eşittir. Bu açılara da x diyelim. x+y=90 derece olur. Şekilden de görüldüğü gibi BEC ve BAD üçgenlerinin iç açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani bu iki üçgen arasında açı açı açı benzerliği (AAA Benzerliği) vardır. 

Benzelik teoremi gereğince bu iki üçgende, açıların gördükleri kenarların oranları birbirine eşit olduğundan, 90 derecenin gördüğü kenarların oranı ile, y açılarının gördükleri kenarların oranı birbirine eşit olur. Buradan, a/(2.R) oranının h/c oranına eşit olduğu görülür. Bu eşitlik düzenlenip h tek başına bırakıldığında; yüksekliği h=(a.c)/(2.R) olarak buluruz. ABC üçgeninde alan formülü olan taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımının yarısı formülü uygulandığında, taban uzunluğu b, tabana ait yükseklik h olmak üzere, Alan(ABC)= (h.b)/2 olur. h yerine yukarıda bulduğumuz eşitliği yazıp düzenlediğimizde, Alan(ABC)=(a.b.c)/(4.R) elde ederiz. 

İSPAT-2:Sinüs alan bağıntısı kullanılarak da aynı formül ispatlanabilir. Bunun için üçgenin sinüs alan formülü yazılır ve buradan sinüs teoreminden elde edilen eşitlik yerine yazılarak, çevrel çember alan ispatı yapılmış olur.


0 yorum:

Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."

İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!

  • Hacet ve İstihare Namazları23.11.2010 - 0 Yorum   Hacet Namazı: Âhirete veya dünyaya ait bir dileği bulunan kimse, güzelce abdest alır ve bir rivayete göre dört, diğer bir rivayete göre on iki rekât namazı yatsıdan sonra kılar. Sonra Yüce Allah'a hamd eder, Peygamber Efendimize de…
  •  İtikâfın Mahiyeti ve Çeşitleri24.03.2010 - 0 Yorum   İtikâfın Mahiyeti, Nevileri ve Teşriî Hikmeti     257- İtikâf lûgat deyiminde bir şeye devam etmek manasındadır. Bir şeye devam eden kimseye de mutekif (itikâf yapan) denir. Şeriatta ise itikâf: Bir mescidde veya o…
  • Kaza Edilmesi Gereken ve Gerekmeyen Oruçlar15.03.2010 - 0 Yorum 127- Yolculuk veya hastalık özrü ile Ramazan orucunu tutmamış olan kimse, bunları kaza etmeye elverişli bir vakit bulamadan önce ölse, üzerine kaza gerekmediği gibi, fidye vermesi de lazım gelmez. Ancak oruçları için fidye verilmesini vasiyet…
  • Bir Anektod: Balonlar 12.04.2015 - 0 Yorum Mutlu olmak konusunda kendini yetersiz hisseden 500 kişi, hem mutluluğu bulmak hem de mutluluğun  ne olduğunu anlamak konusunda bir kişilik gelişim seminerine katılmıştı. Konuşmacı hararetli bir şekilde mutluluğun tarfini yaptıktan sonra…
  • Köklü Sayılar Tarama Testi28.05.2013 - 0 YorumKöklü Sayılar Tarama Testi; 25 Soru, A-B grupları ve Cevap Anahtarından oluşmuştur. Sorular, çeşitli soru tiplerinden derlenerek kolaylık derecelerine göre hazırlanmıştır. Resim formatında olan soruları, istediğiniz şekilde paint ile…
  • G.Friedrich Bernhard Riemann03.02.2010 - 0 Yorum(17 Eylül 1826 - 20 Temmuz 1866), analiz ve diferansiyel geometri dalında çok önemli katkıları olan Alman matematikçidir. Söz konusu katkılar daha sonra izafiyet teorisinin geliştirilmesinde önemli rol oynamıştır. Bu matematikçinin ismi aynı zamanda…
  • LYS-2016 Geometri Sınavı Çözümleri21.06.2016 - 0 Yorum LYS-2016 Geometri sınavı; son yıllarla kıyaslandığında önceki yılların sorularına benzemekle birlikte biraz daha düşünmeye ve uygulama becerisine yönelik tarzdaydı. Sınav soruları, sistemli ve planlı çalışan öğrencilerin yapabileceği sorulardan…
  • Platon Katı Cisimleri18.04.2013 - 0 Yorum Platon Cisimleri: Bütün kenarları eşit ve yüzeyleri düzgün çokgen olan katı cisimlere Düzgün Katı Cisim denir.Beş Katı cisim olarak bilinen bu geometrik cisimlere, Platonik Cisimler de denir.Şimdiye kadar bilinen düzgün katılar 5…