Üçgenin çevrel çemberi ve alanı

Etiketler :

Herhangi bir üçgenin köşe noktalarından çizilen çembere üçgenin çevrel çemberi denir. Esasında çember üzerinde alınan üç farklı noktayı birleştiren doğru parçaları (kirişler) yardımıyla çember içinde bir üçgen oluşturulur. Çevrel çemberin merkezi üçgenin iç bölgesinde veya dış bölgesinde yer alabilir. Meydana gelen bu üçgenin alanını, çevrel çemberin yarıçapını kullanarak bulabiliriz. Çevrel çember yardımıyla üçgenin alanı hesaplanırken, üçgenin bütün kenar uzunlukları çarpılır ve çarpım sonucu çevrel çemberin yarıçapının dört katına bölünür. Bu şekilde üçgenin alanı bulunmuş olur. 

TEOREM: Bir üçgenin alanı, tüm kenar uzunluklarının çarpımının, çevrel çemberin yarıçapının dört katına bölümüne eşittir. 

İSPAT-1:İspatını yaparken üçgenin sinüs alan formülü kullanılarak ispat yapılabileceği gibi çember özellikleri ve benzerlik kullanılarak da ispatlama yapılabilir. Bunun için bir çember çizelim. Ve çember üzerinde üç farklı nokta alarak bir üçgen oluşturalım. 

Şekilde ABC üçgeni çizilmiştir. Üçgende B noktasından indirdiğimiz yüksekliğe h diyelim. Aynı zamanda, BO doğrultusunu uzattığımızda, O merkezli çemberde |BD| çapını elde etmiş oluruz. ABD üçgeninde A açısı çapı gördüğünden, çapı gören çevre açının ölçüsü 90 derece olur. Aynı yayı gören çevre açılar birbirine eşit olduğu için D açısı ile C açısı birbirine eşittir. (Çünkü D açısı da C açısı da AB yayını görüyor.) Bu açıların ölçülerini y olarak adlandıralım. Üçgenin iç açıları toplamı 180 derece olduğu için, BEC üçgenindeki B açısıyla, ABD üçgenindeki B açısı birbirine eşittir. Bu açılara da x diyelim. x+y=90 derece olur. Şekilden de görüldüğü gibi BEC ve BAD üçgenlerinin iç açıların ölçüleri birbirine eşittir. Yani bu iki üçgen arasında açı açı açı benzerliği (AAA Benzerliği) vardır. 

Benzelik teoremi gereğince bu iki üçgende, açıların gördükleri kenarların oranları birbirine eşit olduğundan, 90 derecenin gördüğü kenarların oranı ile, y açılarının gördükleri kenarların oranı birbirine eşit olur. Buradan, a/(2.R) oranının h/c oranına eşit olduğu görülür. Bu eşitlik düzenlenip h tek başına bırakıldığında; yüksekliği h=(a.c)/(2.R) olarak buluruz. ABC üçgeninde alan formülü olan taban uzunluğu ile yüksekliğin çarpımının yarısı formülü uygulandığında, taban uzunluğu b, tabana ait yükseklik h olmak üzere, Alan(ABC)= (h.b)/2 olur. h yerine yukarıda bulduğumuz eşitliği yazıp düzenlediğimizde, Alan(ABC)=(a.b.c)/(4.R) elde ederiz. 

İSPAT-2:Sinüs alan bağıntısı kullanılarak da aynı formül ispatlanabilir. Bunun için üçgenin sinüs alan formülü yazılır ve buradan sinüs teoreminden elde edilen eşitlik yerine yazılarak, çevrel çember alan ispatı yapılmış olur.


0 yorum:

Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."

İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!

  • İlitam 2.sınıf 2.Yarıyıl Final Soruları 201402.06.2014 - 0 YorumANKARA ÜNİVERSİTESİ (YARIYILLIK)  İLAHİYAT LİSANS TAMAMLAMA UZAKTAN EĞİTİM  PROGRAMI 2013-2014 EĞİTİM- ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI FİNAL SINAVI  SORULARI    31.05.2014-01.06.2014 soruları  İndirmek için…
  • Doğal Sayılar Tarama Testi28.05.2013 - 0 YorumDoğal Sayılar Tarama Testi 25 Soru, A-B grupları ve Cevap Anahtarından oluşmuştur. Sorular, çeşitli soru tiplerinden derlenerek kolaylık derecelerine göre hazırlanmıştır. Resim formatında olan soruları, istediğiniz şekilde paint ile…
  • İyi bir Çalışma Ortamı Nasıl Olmalıdır?07.02.2009 - 0 Yorum Kişinin başarıyı yakalaması, gerekli şartların oluşturulmasıyla mümkündür. Bu gerek şartlardan biri de “çalışma ortamı”dır. Okul dışında çalışma için kullanılacak ortamlar da eğitim öğretime uygun olmalıdır. Çalışmada kullanılacak mekânlar bazı…
  • Teravih Namazı20.08.2009 - 0 Yorum 229- Teravih namazı, Ramazan ayına mahsus yirmi rekattan ibaret bir müekked sünnettir. Bu namaza Peygamber Efendimiz (sallallahu aleyhi ve sellem) ile dört halife (Hulefa-i Raşidîn) devam etmişlerdir. Bu namazın cemaatla kılınması da, bir…
  • Çile30.07.2015 - 0 Yorum Gâiblerden bir ses geldi: Bu adam, Gezdirsin boşluğu ense kökünde! Ve uçtu tepemden birdenbire dam; Gök devrildi, künde üstüne künde... Pencereye koştum: Kızıl kıyamet! Dediklerin çıktı, ihtiyar bacı! …
  • Çarpanlara ayırma özdeşlik Modellemeleri31.01.2022 - 0 YorumÇarpanlara ayırma sorularında sıklıkla karşılaşılan bazı özdeşlikler vardır. Matematikte özdeşlik, bilinmeyenin her değeri için doğru olan (açık önermeler) eşitliklerdir. Bir özdeşlik ifadesi, içerisinde bulunan değişkenlerin (bilinmeyenlerin)…
  • KPSS ve Öğretmenlik13.08.2008 - 0 YorumKPSS başta bütün öğretmenlerin ve diğer memur adaylarının korkulu rüyası olan koskoca bir sınav. Öncelikle neden ve nasıl çıkmış ve kimlere eziyet olmuş, kimlere menfaat sağlamış bunun üzerinde durmak istiyorum. Çok önceleri öğretmenliğe…
  • Belirli ve Belirsiz Adaklar18.06.2010 - 0 Yorum   Belirli ve Belirsiz, Mutlak ve Muallak Adaklar     236- "Nezrim olsun, yarın oruç tutayım" gibi bir adak, muayyen (belirlenmiş) bir adaktır. "Nezrim olsun, bir gün oruç tutayım" denilmesi de gayrimuayyen (belirlenmemiş)…