Kirişler Dörtgeni

Etiketler : çember dörtgenler geometri kiriş kirişler dörtgeni matematik

Bir çember üzerinde yer alan iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasına "kiriş" adı verilir. Çember üzerinde alınan dört farklı noktanın kirişler yardımıyla birleştirilmesiyle bir dörtgen meydana gelir. Köşe noktaları bir çember üzerinde buluna bu dörtgene "kirişler dörtgeni"  denir. 

Çemberin tüm ölçüsü derece cinsinden 360 derece olduğundan doğal olarak bir kirişler dörtgeninde, karşılıklı açıların ölçüleri toplamı 180° dir. 

TEOREM: Bir kirişler dörtgeninde, karşılıklı açıların ölçüleri toplamı 180° dir. 

İSPAT: Şekilde BCDE dörtgeni, çember üzerinde dört farklı noktanın kirişlerle birleştirilmesiyle oluştuğu için bir kirişler dörtgenidir. Bu dörtgende karşılıklı açılar olan B ve D açılarının ölçülerini inceleyelim. 

B açısının ölçüsüne x diyelim. Buna göre B açısının gördüğü yay olan CDE yayının ölçüsü; çevre açı özelliklerinden dolayı 2x ölçüsündedir. Aynı şekilde D açısının ölçüsüne y dersek, D açısının gördüğü yay olan CBE yayının ölçüsü; çevre açı özelliklerinden dolayı 2y ölçüsündedir. 

Çemberin tüm ölçüsü 360 derece olduğundan 2x+2y=360 ve buradan da x+y=180 derece olur. Yani B ve D açılarının ölçüleri toplamı 180 derece olur. Aynı şekilde C ve E açılarının da ölçüleri toplamı karşılıklı açılar olduğu için 180 derece olur.

TEOREM: Kirişler dörtgeninde kenar orta dikmeler çemberin merkezinde kesişir.  Kirişler dörtgenin bütün kenar orta dikmeleri çizildiğinde bunların kesişimi çemberin merkezini verir. Bu analitik düzlemde iki noktası verilen doğrunun eğimi ile diğer doğrunun eğimleri çarpımının -1'e eşit olmasından yararlanarak ispatlanabilir. Veya geometride eşlik ve benzerlik teoremleri yardımıyla da ispat gösterilebilir. Kirişler dörtgenin köşelerine doğru çizilen ikizkenar üçgenlerdeki yükseklik bağıntısından yararlanarak da ispatı gösterilir.

Karşılıklı açıları bütünler olan (biribirini 180 dereceye tamamlayan) dörtgenlerin, köşelerinden bir çember çizilebilir. Dikdörtgen, kare ve ikizkenar yamuk, karşılıklı açıları bütünler olduğu için kirişler dörtgenidir. Bu dörtgenlerin köşelerinden bir çember çizilebilir. 

KİRİŞLER DÖRTGENİN ALANI:

Kirişler dörtgeninde, alan hesaplamak için genellikle dörtgen iki üçgene ayrılarak, sinüs alan formülü kullanılır. Kirişler dörtgeninde herhangi bir köşegen çizilerek, dörtgen iki üçgene ayrılır. Sonra her iki üçgende de kirişlerin çarpımı (üçgenin kenarları) ve bu kenarların arasındaki açının sinüs değeriyle çarpılıp sonuç 2'ye bölünür. Bu bulunan sadece bir üçgenin alanıdır. Aynı işlem diğer parçadaki üçgen için de yapılır. Bu iki parça üçgenin alanları toplamı kirişler dörtgenin alanını verir.

Ancak kenarların arasındaki açıyı bilmiyorsak bu sinüs alan formülü kullanılmaz. Burada üçgendeki HERON alan formülü dörtgenler üzerinde genişletilerek alan hesaplamasında kullanılır. Dört kirişin uzunluğu bilinen bir kirişler dörtgeninin, kenar uzunlukları a, b, c, d olsun. Bu durumda çevre uzunluğu Ç=a + b + c + d olur. Çevrenin uzunluğunun yarısı; Ç/2 değeri u olsun. Yani u = (a + b + c + d)/2 olsun. Kirişler dörtgenin alanı Heron bağıntısı ile Alan = √[(u - a)(u - b)(u - c)(u - d)] şeklinde ifade edilir. Bu alan formülü trigonometrik oranlar kullanılarak ispat edilebilir. Bu formül, Öklid geometrisinde, Brahmagupta formülü olarak bilinir. Kenarların uzunlukları verilen herhangi bir kirişler dörtgeninin alanını bulmak için kullanımı kolaylık sağlar. (Bknz. Heron Alan Formülü İspatı)

TEOREM:

|DC|=|CE| olmak üzere DCE ikizkenar üçgeni alınsın. C köşesinden [DE] kenarını dik kesmeyen rastgele [AG ışını alalım. Bu ışın üzerinde, açıortay olacak biçimde mDFC=mCFE eşitliğini sağlayan bir tek F noktası vardır. Üstelik bu nokta, DCE ikizkenar üçgeninin çevrel çemberi üzerinde bulunur. Yani: DFEC dörtgeni kirişler dörtgenidir.  Teoremin ispatı yapılırken; DFC ve CFE üçgenlerinde ayrı ayrı sinüs teoremleri yazılıp bu eşitlikler birleştirilir. Aşağıdaki şekilde çizimi yapılmıştır.

Kirişler dörtgeni ile ilgili bazı sonuçlar şu şekildedir: Her ikizkenar yamuk aynı zamanda kirişler dörtgenidir. İkizkenar olmayan herhangi bir yamuk kirişler dörtgeni olamaz. Her dikdörtgen, aynı zamanda kirişler dörtgenidir. Her kare, aynı zamanda kirişler dörtgenidir. Dikdörtgen olmayan herhangi bir paralelkenar, kirişler dörtgeni olamaz.