Neyi kutluyorsunuz?

Yılbaşı nedir? Neyi kutluyorsunuz arkadaş? Ömrünüzden dökülen bir takvim yaprağı mı, bir daha asla geriye gelmeyecek günleri mi kutluyorsunuz? Neyi kutluyorsunuz? Ölüme adım adım yaklaşıyorsun, sana yazılan günler bir bir eksiliyor. Hesap vereceğin vakit yaklaşıyor. Bu pervasızca gösteriş ne diye? Dünyanın pek çok yerinde zulüm ve savaşlar varken,  nedir bu vurdumduymazlık? Binlerce insan evlerinden ve yurtlarından sürülmüş, barakalara, çadırlarlara mahkum edilmişken neyi kutluyorsunuz? Dünyanın pek çok yerinde açlık ve fakirlik içinde yaşayanlar, hayatlarının geri kalanlarında üzüntü ve endişe içindeyken, nedir sendeki bu kadar neşe? Havai fişekler havalarda süzülürken, yetimlerin üzerinde patlayan binlerce bomba hiç mi aklına gelmiyor?  Binlerce çocuk, açlık sınırında gezinirken, nedir bu şatafatlı sofraların hali? Bu nasıl inanmışlık, bu nasıl kardeşlik? 

Bugünün ne farkı var dünden veya yarından? Ne anlamsız bir saçmalık bu? Kapitalist dünya, ruhunu satın almış, görmüyorsun. Şeytan, bütün duygularını yok etmiş bilmiyorsun. Eğlencenin ve hazzın esiri olmuşsun farkında bile değilsin. İnsan, biraz durur ve düşünür, "bu yolun sonu nereye çıkıyor" diye muhasebe yapar. İnsan içinde olduğu durumun farkına vararak silkelenir, kendine çeki düzen verir. Başkalarına nispet edercesine pervasızca eğlenmez, eğlenemez. Cenazenin olduğu ortamda düğün yapılmaz. İslam inancında olmayan bu merasim ve kutlama geleneği, Müslümanların gözüne sokarcasına sokaklarda, meydanlarda yaşanmaz. Allah'ın haram kıldığı içkiler, fuhuş ve kumar gibi şeytan işi pislikler, büyük umusamazlıklar içinde yapılmaz. Müslüman mahallesinde, salyangoz satılmaz.

Neden başka milletlere benzemeye bu kadar hevesliyiz, bunu hiç anlamıyorum. Bu aşağılık kompleksi ne zaman son bulacak merak ediyorum. Esasında bizden gibi görünüp de bizden ayrı olan münafıklara, başka dinden olanlara ve hiç inanmayan kafirlere sözüm yok; onlar Allah'a verecekleri cevaplarını kendileri hazırlasınlar. Onlarla uğraşacak artık vaktimiz yok. Dünya hayatı kısa bir zaman, nasıl olsa sonunda dönüş Allah'a olacaktır. Benim derdim, müslümanlarda. Kendi aslını kaybetmiş müslümanlarda.

İnandığımız şeyleri yaşantımıza sokabilmek çok mu zor? "İnandık ve teslim olduk" dedikten sonra Allah'a yönelmek, onun emir ve yasaklarına boyun eğmek bu kadar mı ağır geliyor insana?  Neden bir özenti içindeyiz, Neden hep bir eziklik duygusu yaşıyoruz? Neden Allah'a savaş açmış olarak, Şeytan'ın bir oyuncağı olmak için çırpınıp duruyoruz? Yarın pişmanlık duyacağımız davranışlara girişirken, günahlara adım atarken neden çok cesuruz? 

Durup düşünelim. Özümüze dönelim. Yaratan Allah affedicidir, zararın neresinden dönülürse kardır. Hatada ısrarcı olmayalım. Tevbe edelim ve kurtuluşa erenlerden olalım. İslam ile tanışmamış çoğu milletlerde, bir İslami uyanış ve bakış açısı başlamışken, insanlar akın akın Müslüman olmaya devam ederken, Ey hali hazırda Müslüman dünyası! gözlerimiz Hakka kapanıyor ve batıla meylediyor farkında mısın? Kendimizi toplayalım. Bu çıkmaz yolun sonunda tehlike var. Maalesef gözümüz kapandı, uçurumdan aşağı hızla gidiyoruz  Allah, basiretimizi açsın ve bizi Hak yoluna tekrar kavuştursun ve bir an bile ayırmasın.(Amin)

Kadir PANCAR

31/12/2023

Allah, onlara "Yeryüzünde kaç yıl kaldınız?" diye sorar. Onlar da "Bir gün veya günün bir bölümü kadar kaldık; işte, saymakla görevli olanlara sor” derler. Allah buyurur: “Pek kısa bir süre kaldınız; keşke bunu dünyada iken bilmiş olsaydınız! Sizi sırf boş yere yarattığımızı ve sizin artık huzurumuza geri getirilmeyeceğinizi mi sandınız?" Gerçek hükümdar olan Allah, yücedir. O’ndan başka hiçbir ilâh yoktur. O, şerefli ve yüce Arş’ın Rabbidir. (Mü’minûn Suresi 112-116)

Hadis-i Şerifte Buyuruldu ki:

“Kim bir kavme benzemeye çalışırsa ondandır" (Ebû Dâvûd, Libâs, 4031) ;(Ahmed b. Hanbel, Müsned, 2-50) 

***

"Ebu Hureyre Radıyallahu Anh anlatıyor: "Resûlullah aleyhissalâtu vesselâm buyurdular ki: "Sizler, kendinizden önce gelen ümmetlerin hareket ve davranışlarına kulacı kulacına, arşını arşınına ve karışı karışına tıpa tıp muhakkak uyacaksınız. Hatta onlar, daracık bir keler deliğine girseler oraya siz de gireceksiniz. Orada bulunanlar; "Ey Allah'ın Resûlü! (O kimseler) Yahudiler, ve  Hıristiyanlar mı?" diye sordular. Resûlullah (ﷺ): "Bunlar değilse kimler olur?" buyurdular." [İbn Mace, Sünen, 3994]

Seri toplamı

Matematikte seri, bir dizinin terimlerinin ardışık olarak toplanmasıyla elde edilen ifade anlamına gelir. Yani, serilerde verilen bir dizideki terimler, tek tek değil tamamının veya belli bir sayıdaki teriminin toplamlarıyla ele alınır. Eğer a_n =(a₁ , a₂ , a₃ , a₄ , a₅ ,..... a_n...) bir dizi ise bu dizinin serisi:  S_n = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ +..... + a_n+....şeklinde yazılabilir. Seriler, sonlu veya sonsuz olabilir. Sonlu seri, belirli sayıda terimin toplamıdır.  Sonsuz seri, dizinin tüm terimlerinin toplamını ifade eder ve özellikle analizde dizilerin yakınsama özelliklerini incelemek için kullanılır. 

Bir dizinin terimlerinin ardışık toplamları, yani S₁=a₁  , ​S₂=a₁ + a₂  ve ​S₃=a₁ + a₂ + a₃ şeklinde ilerleyen bir seri için genel olarak  S_n=a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ +..... + a_n+....şeklinde ifade edilen toplamlar dizisine, dizinin kısmi toplamları dizisi denir. Eğer S_n bu kısmi toplamlar dizisinde n sonsuza yaklaşırsa, S_n kısmi toplamı sonlu ve belirli bir reel sayıya yaklaşırsa, bu durumda orijinal dizinin terimlerinden oluşan seri "yakınsak" olarak adlandırılır. Yaklaşılan reel sayı ise "L" (limit değeri) S_n serisinin toplamı olarak kabul edilir. Öte yandan, eğer n sonsuza giderken S_n kısmi toplamı herhangi bir reel sayıya yaklaşmıyor ya da sonsuza gidiyorsa, bu tür seriye de "ıraksak seri" denir. Ayrıca, S_n kısmi toplamı pozitif veya negatif sonsuza yaklaşıyorsa, seri "sonsuz" olarak adlandırılır ve toplamı da pozitif veya negatif sonsuz olarak ifade edilir. Bu şekilde, bir dizinin terimlerinin toplamı üzerinde yapılan analizler, serilerin yakınsaklık veya ıraksaklık durumlarını belirlemek için temel teşkil eder. 

Geometrik dizi ve özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Sabit orana ise ortak çarpan denir. Genellikle "r" harfi ile gösterilir. Geometrik diziler, matematikte temel ve yaygın olarak kullanılan dizilerden biridir. Bir geometrik dizide herhangi bir terim, kendisinden önceki terim ile ortak çarpanın çarpımı olarak elde edilir. Yani, dizinin n’inci terimi, bir önceki terimin (r) ortak çarpan ile çarpılmasıyla bulunur. Geometrik dizilerde ortak çarpan pozitifse tüm terimler aynı işaretle devam eder; ortak çarpan negatifse terimler işaret değiştirecek şekilde ilerler. Ortak çarpanın mutlak değeri 1’den büyükse dizinin terimleri giderek büyür, 1’den küçükse terimler giderek küçülür. Ortak çarpanın 1 veya −1 olması durumunda ise dizi sabit veya işaret değiştiren sabit değerler serisi oluşturur. Geometrik diziler, finansal hesaplamalar, faiz ve yatırım analizleri, fizik ve mühendislikte üstel büyüme ve azalma problemleri gibi birçok uygulamada sıkça kullanılır.

Aritmetik dizi ve özellikleri

Ardışık terimleri arasındaki fark eşit olan dizilere aritmetik dizi denir. Aritmetik dizilerde ardışık terimler arasındaki artış veya azalış miktarına ortak fark denir ve genellikle "d" harfi ile gösterilir. Aritmetik dizilerde, herhangi bir terim kendisinden önceki terim ile ortak farkın toplanması veya çıkarılmasıyla elde edilir. Yani, dizinin n’inci terimi, ilk terim ile (d) ortak farkın (n−1) kez eklenmesiyle bulunur. Ortak fark pozitif ise dizi monoton artan bir dizi olur; ortak fark negatif ise dizi monoton azalan bir dizidir. (Bkz. Monoton Diziler) Ortak fark sıfır olduğunda ise tüm terimler birbirine eşit olur ve dizi sabit bir dizi halini alır. Aritmetik diziler, matematiksel analiz, finansal hesaplamalar, istatistik ve mühendislik gibi birçok alanda kullanılır.

Aralarındaki artış miktarı 3 ve ilk terimi 7 olan bir aritmetik dizinin elemanları şu şekilde olur. {7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,.......,3n+4} Dizilerde genel teriminin kuralı bilinmediği zaman, bu dizi olarak kabul edilmez. Burada örnekte verilen aritmetik dizinin kuralı (genel terimi); 3n+4'tür. Aynı aritmetik dizi şu şekilde yazılırsa {7,10,13,16,19,22,25,28,31,34,37,.......} bu bir dizi olarak kabul edilmez. Çünkü buradaki terimlerden "37" teriminden sonra aynı şekilde dizinin devam edeceğine dair bir kanıt yoktur.

Dizilerde indirgeme bağıntısı

Bir dizinin herhangi bir terimi, kendinden önceki bir veya birkaç terimin cinsinden tanımlayabilmek için yazılan bağıntıya "indirgeme bağıntısı" denir. İndirgeme bağıntısı ile yazılan diziye de "indirgemeli dizi" denir. İndirgeme bağıntısı bulunurken, dizinin belli bir teriminden başlanarak sırayla dizinin terimleri hesaplanır. Daha sonra eşitliğin her iki tarafına göre taraf tarafa toplama veya bazen de çarpma yapılarak, dizinin genel terimine ulaşılır.

İndirgeme bağıntılarında indis yerine genellikle 1.terimden itibaren değerler verilirken, bazen farklı değerlerden başlanarak da değerler verilebilir. Sorudaki istenen duruma göre indise sırayla değer verilip taraf tarafa toplama ya da çarpma işlemi yapılır. İndirgeme bağıntısında, dizinin bir kaç terimi arasında toplam biçiminde bir bağıntı veriliyorsa o zaman eşitliğin her iki tarafı için taraf tarafa toplama işlemi yapılır. Eğer indirgeme bağıntısında, dizinin bir kaç terimi arasında çarpım şeklinde bir bağıntı veriliyorsa o zaman eşitliğin her iki tarafı için taraf tarafa çarpma işlemi yapılır.

Alt dizi kavramı

Alt dizi, bir dizinin terimlerinden seçilmiş ve orijinal dizideki sıralama korunarak oluşturulmuş yeni bir dizidir. Başka bir deyişle, bir dizinin bazı terimleri atlanarak kalan terimler aynı sıra ile bir araya getirildiğinde elde edilen diziye alt dizi denir. Alt dizinin terimlerinin indisi, orijinal dizideki terimlerin indislerine karşılık gelen doğal sayıların artan bir alt kümesidir. Alt diziler, özellikle dizilerin limit davranışlarını incelemede önemli bir kavramdır.

Monoton Diziler

Matematikte monoton, bir dizinin terimlerinin sürekli olarak artma veya sürekli olarak azalma eğiliminde olması anlamına gelir. Yani dizi boyunca yön değişmez; ya hep yukarı doğru gider ya da hep aşağı doğru gider. Bir dizi monoton artan ya da monoton azalan ise, genel olarak monoton dizi olarak adlandırılır.  

Bir a_n dizisinin her terimi bir sonrakinden daha küçük kalıyorsa, bu diziye monoton artan dizi denir. Bu durumda dizinin terimleri a₁ < a₂ < a₃ < a₄ < a₅ <.....biçiminde sıralanır. Benzer şekilde, bir dizinin her terimi bir sonrakinden daha büyükse, bu diziye monoton azalan dizi adı verilir. Böyle bir dizide a₁ > a₂ > a₃ > a₄ > a₅ >....eşitsizliği sağlanır. Böylece dizideki her eleman bir öncekinden daha küçük olacak şekilde devam eder. 

Örnek olarak; a_n=1/n dizisinin monotonluğu var mı yok mu inceleyelim.  Dizinin genel terimi a_n=1/n biçimindedir.  İlk terimler sırasıyla a₁=1, a₂ =1/2, a₃=1/3, a₄=1/4, a₅=1/5  dur. n artan sayma sayıları için daima a_n+1<a_n eşitsizliği sağlanır. Dolayısıyla dizinin her terimi bir önceki teriminden daha küçük olarak gelir ve böylece bu dizi monoton azalan olur. Aşağıda grafiği de çizilmiştir. Terimleri sıralı ikili biçimde yazılıp koordinat düzleminde yerleştirildiğinde dizinin moton azalan olduğu görülür: 

Dizi tanımı

 

Matematikte dizi, 0 hariç doğal sayılar (sayma sayılar kümesi) kümesinden bir A hedef kümesine (çoğunlukla bu A kümesi Reel sayılar kümesi olur) tanımlanan özel bir fonksiyondur. Burada dikkat edilmesi gereken en önemli ifade dizinin tanım elemanları {1,2,3,4,.....} şeklinde devam eden sayma sayılarıdır. Yani dizinin elemanları 1. 2. 3. gibi sıralanmalıdır. Buradaki bu sıralamalara "indis" denir. Matematikte indis, bir dizinin terimlerini belirlemek ve sıralamak için kullanılan, genellikle doğal sayılardan seçilen gösterge niteliğindeki değişkendir. Başka bir deyişle indis, bir dizide hangi terimin kastedildiğini belirleyen konum belirtecidir. 

Diziler genellikle a_n, b_n, c_n... gibi küçük harf ve indis yardımıyla gösterilir. Bir (a_n) dizisinde yer alan “n” ifadesi indisi temsil eder. Bu n değeri, dizinin tanım kümesindeki bir elemandır ve diziyi üreten fonksiyonun girdisi olarak görev yapar. Dolayısıyla indis, dizinin elemanlarını hem düzenli bir biçimde sıralamaya hem de her terimi diğerlerinden ayırt etmeye yarayan bir göstergedir. Buna göre bir dizi, her sayma sayısı indisine karşılık tek bir değer atayan özel bir fonksiyon kuralı olarak tanımlanabilir.  Bu çerçevede diziler, fonksiyon kavramının belirli bir türünü oluşturur; ancak matematiksel literatürde ardışıklık ve sıralanmışlık özellikleri vurgulanmak istendiğinde diziler ayrı bir terim olarak kullanılır. Dolayısıyla a_n dizisi, fonksiyonel gösterimde f(n) biçiminde okunabilir. Dizilerin fonksiyonla ilişkisi bu noktada açıkça ortaya çıkar: Dizi, tanım kümesi sayma sayılar olan bir fonksiyondur. 

Dizinin kuralına dizinin genel terimi denir. Genel terim, bir dizinin her bir terimini, indisin herhangi bir değeri için doğrudan veren ifadedir. Başka bir söyleyişle genel terim, diziyi tanımlayan, fonksiyon şeklinde yazıldığında bütün terimelrini oluşturacak olan dizinin açık kuralıdır ve dizinin n’inci terimini, önceki terimlere ihtiyaç duymadan belirler. Bir dizide an sembolü çoğu zaman dizinin genel terimini temsil eder. Bir dizinin genel terimi bilindiğinde dizinin tüm yapısı tek bir formülle özetlenmiş olur.. Eğer bir dizinin genel terimi biliniyorsa, dizi hakkında toplama, limit alma veya büyüme davranışını inceleme gibi işlemler çok daha kolay hâle gelir. 

Genel terimi bilinmeyen sayı grupları her ne kadar anlamlı olsa da bir dizi belirtmez. Örneğin herhangi bir küme olarak verilen A={1, 2, 3, 4, 5......} ; B={2, 4, 6, 8, 10, .....} veya C={4, 7, 10, 13, 16, 19,.....}  şeklindeki sayı grupları, kuralları belli olmadığından matematiksel dizi olmaz. Çünkü bu şekilde yazılışta bu terimlerden sonra gelen terimlerin aynı düzene göre geleceğinin garantisi yoktur. Bunların dizi olabilmesi için  a_n=(1, 2, 3, 4, 5.......n......), b_n=(2, 4, 6, 8, 10, ......2n.....), c_n =(4, 7, 10, 13, 16, 19,......3n+1........) şeklinde yazılmış olması gerekir.

David Acheson, Geometrinin Sihirli Kitabı

Geometri insan düşüncesinin en özgün üretimlerinden biridir. Bir yanıyla saf teoriye dayanırken bir yanıyla da gündelik hayatla iç içedir. Babil ve Mısır gibi medeniyetlerin tarlaların sınırlarını belirleme ve kadastro hesapları alanında geometriden yararlanmaları bu pratik kullanımın en eski örneklerindendir.
David Acheson da geometrinin pizza dilimlemekten uçaktan bomba atmaya ya da Sherlock Holmes’ün gizemleri çözmesine kadar uzanan sayısız alandaki kullanımlarını gösteriyor. Ayrıca salt teorik bilgi peşinde geçen binlerce yıllık serüvene ve geometri tarihinin sayısız büyük isminin çalışmalarına ve eserlerine de değiniyor.

Geometrinin Sihirli Kitabı - Bir Matematik Hikayesi (David Acheson) Çevirmen: Prof. Dr. Tuğrul İnal Baskı: 2023 Sayfa Sayısı: 28