Vektörün Normu (Uzunluğu)

Başlangıç noktası orijin olan vektörlere konum(yer) vektörü denir. Eğer vektör orjinde değilse vektörün uzunluğu ve yönünü değiştirmemek kaydıyla orjine taşıyabiliriz. A vektörünün uzunluğu (normu), ||A|| sembolü ile gösterilir."i", "j" ve "k" temel birim vektörleri cinsinden yazılan bir vektörün uzunluk formülü, Pisagor teoreminin bir sonucudur. 

O halde: (i, j, k) standart birim vektörler olmak üzere; A(a,b,c) vektörünün normu temel birimleri ile birlikte üç boyutlu uzayda yazılırsa; A(a,b,c)=a.i+b.j+c.k şeklinde yazılır ve bu A vektörün normu; ||A|| ile gösterilir. Bir A vektörünün normu hesaplanırken, temel standart birim vektörü katsayıları olan (a,b,c) sayılarının karelerinin toplamının karekökü ile bulunur. 

İki boyutlu uzayda, B(x,y) vektörünün normu temel birimleri ile birlikte yazılırsa; B(x,y)=x.i+y.j şeklinde yazılır. ve bu vektörün normu temel birim katsayıları (x,y) karelerinin toplamının karekökü ile bulunur. 

Teorem: Bir V iç çarpım uzayında, vektör normu için aşağıdaki özellikler sağlanır.

Vektörün normu ile ilgili verilen özelliklerden iv) maddenin ispatı için Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden yararlanmak gerekecektir. Cauchy Schwarz Eşitsizliği ile ilgili ayrıntılı yazıya ulaşmak için aşağıdaki bağlantıya tıklayınız. (Bkz. Cauchy-Schwarz Eşitsizliği)

Vektörlerde İç Çarpım (Öklid İç Çarpım)

Uzayda iki vektörün iç çarpımı bir reel (skaler) sayıdır. Öklid iç çarpımı ile birlikte R^3 uzayına Öklid uzayı denir. İki vektörün iç çarpımı yapılırken birinci vektörün her bileşeni ikinci vektörün aynı sıradaki bileşenleriyle tek tek çarpılır ve bütün çarpım sonuçları toplanır. Unutulmamalıdır ki iç çarpımın sonucu kesinlikle bir reel sayıdır.

Uzayda iki vektörün başlangıç noktalarının herhangi bir P noktasına taşınması ile oluşan açıya bu iki vektör arasındaki açı denir.Merkezi  P  olan  birim  çemberin,  bu  açının  kenarları  arasında kalan yayının uzunluğuna iki vektör arasındaki açının ölçüsü denir. İki vektörün arasındaki açı bulunurken vektörlerin normundan uzunluğundan faydalanarak cosinüs değeri bulunur. Daha sonra bu cosinüs değerini veren açı trigonometri cetvelinden yararlanarak veya bilinen açıların trigonometrik değerlerinden yola çıkarak açı hesaplanır.

 

İç çarpımın özelliklerini iki boyutta rahatlıkla ispatlayabiliriz. Aynı ispat üç boyutlu uzay için de geçerlidir. İç çarpımın geometrik yorumu vektörlerde izdüşüm vektörünü göstermek için kullanılır.