Cauchy-Schwarz eşitsizliği

Cauchy-Schwarz eşitsizliği, bazı matematik kitaplarında sadece Schwarz eşitsizliği veya sadece Cauchy eşitsizliği veya Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği olarak da geçmektedir. Matematik bilimi teorisinde önemli bir eşitsizlik olup, çeşitli matematiksel uygulamalarda kullanılmaktadır. Cauchy-Schwarz eşitsizliği; analiz, lineer cebir, olasılık ve istatistik konuları  arasında sıklıkla kullanılmaktadır. Özellikle vektörler alanında, sonsuz seriler ve çarpım uygulamalarında, varyans ve kovaryans hesaplamalarında eşitsizlik çok kullanılmaktadır. Toplamlar için bu eşitsizlik ilk defa Augustin Louis Cauchy tarafından 1821'de ve integraller için ise bu eşitsizlik ilk defa Viktor Yakovlevich Bunyakovsky tarafından 1850'de ve sonra tekrar olarak Hermann Amandus Schwarz tarafından 1888'de ortaya atılmıştır. Bu nedenle eşitsizlik üç ismin adıyla matematik kitaplarda yer almıştır.

Sayılabilir Sonsuzluk Kavramı

Sonsuz kavramı, matematikte farklı bir tanımlamadır. "Lemniscate", “sonsuzluk” ya da “sekiz” şeklinde (∞) bir eğriyi ifade eden genel bir terimdir. Kelime, Latince lēmniscātus (“kurdeleli”) ve Yunanca λημνίσκος (lēmniskos) (“kurdele”) sözcüklerinden gelir. Genellikle matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan kavramları veya sayıları tanımlamak için kullanılır. Matematiksel denklemi: (x²+y²)²−cx²−dy²=0 şeklinde olup d<0 olduğunda eğri bir lemniskattır. Proclus, Johann ve Jakob Bernoulli, Gerono, Cassini gibi matematikçiler çeşitli lemniscate eğrileri tanımlamıştır.

Matematikte “sonsuz” kavramı bazen sayı gibi ele alınır; örneğin “sonsuz sayıda terim” ifadesinde olduğu gibi burada sayılamayacak kadar çoklukta bir sayı adedi olduğunu ifade eder. Ancak gerçek sayılar kümesinde sonsuzluk bir sayı olarak yer almaz. Bazı sayı sistemlerinde ise "sonsuz küçük" değerler tanımlanabilir. Sonsuz küçük değer, sıfırdan büyük ama her gerçek sayıdan daha küçük olan bir önemsenmeyecek kadar küçük olan bir niceliktir. Yani “çok çok küçük ama sıfır olmayan” bir sayı gibi düşünülebilir. Matematikte, limit kavramı içindeki ε (epsilon) genellikle böyle "Sonsuz küçük" değeri temsil eder. Sonsuz küçük değer olanın çarpmaya göre tersi alınırsa ε’nin tersi (1/ε gibi) çok büyük bir sayı olur ve bu bir sonsuz sayı olarak düşünülebilir. Buradaki sonusz kavramı, normal sayılarla ifade edilemez; sürekli artan bir niceliği temsil eden ve büyüklüğünün bir sınırı olmayan değerdir.

19. ve 20. yüzyıllarda yaşamış matematikçiler bu alanda çalışmalar yapmıştı. Özellikle Georg Cantor, sonsuz ve sonsuz kümeler üzerine önemli çalışmaları ile bilinir. (Bkz. Georg Cantor) G. Cantor’un kuramına göre farklı boyutlarda sonsuz kümeler vardır. Örneğin, tamsayıların oluşturduğu küme “sayılabilir sonsuz” olarak adlandırılırken, gerçek sayıların oluşturduğu küme “sayılamayan sonsuz” olarak tanımlanır. Bu kavramlar başlangıçta anlaşılması zor ve hatta kabul edilmesi güç olsa da, günümüzde küme teorisi, analiz ve matematiksel mantığın temel taşlarından biri hâline gelmiştir. Matematikte bir küme sonsuz ise, elemanlarını tek tek sayarak sona ulaşmak mümkün değildir. Örneğin doğal sayılar kümesi (1, 2, 3, …) sonsuzdur. Cantor, sonsuzun yalnızca bir sıfat olmadığını, aynı zamanda ölçülebilir bir büyüklük olabileceğini göstermiştir. Eğer bir küme, doğal sayılarla bire bir eşleştirilebiliyorsa sayılabilir sonsuzdur; bu yapılamıyorsa sayılamayan sonsuzdur. Örnek vermek gerekirse, tüm tam sayılar ve rasyonel sayılar sayılabilir sonsuz kümelerdir, ancak gerçek sayılar sayılamaz sonsuzluktadır; bu nedenle gerçek sayılar daha büyük bir sonsuzluk olarak kabul edilir. Tüm çift sayılar her doğal sayıya bir çift sayı atayarak doğal sayılarla eşlenebilir. Rasyonel sayılar da bir listeye dizilebilir; böylece rasyonel sayılar sayılabilir sonsuz olarak kabul edilir. Buna göre doğal sayıları listeleyebilirsiniz, ama gerçek sayıları listeleyemezsiniz. G. Cantor’dan önce matematikçiler, bazı sonsuz kümelerin doğal sayılarla bire bir eşlenebileceğini fark etmelerine rağmen bunu kuramsallaştıran Cantor olmuştur. 

Doğal sayılar N={0,1,2,3,4......} ile pozitif tamsayılar Z+={1,2,3,...} aynı kardinaliteye sahiptir. Eşleme fonksiyonu şöyle yazılabilir: $f(n) = n+1$ 

Doğal sayılar $\mathbb{N}$ ile çift sayılar $2\mathbb{N}$ aynı kardinaliteye sahiptir. Eşleme fonksiyonu şöyle yazılabilir: $f(n)=2n$ 

Tüm tamsayılar $\mathbb{Z}$ da doğal sayılar ile aynı kardinalitededir. Eşleme fonksiyonu şöyle yazılabilir: n çift ise f(n)=​n/2 ve n tek ise f(n)= - (n+1)/2 olarak yazılır.

G. Cantor, 1872’de rasyonel sayılar kümesi üzerinde çalıştı. Rasyonel sayılar, doğal sayıları da içerir çünkü her tam sayı n, n/1 olarak yazılabilir. Her iki rasyonel sayı arasında sonsuz başka rasyonel sayı vardır. Görünüşte rasyonel sayılar doğal sayılardan çok daha fazla gibi görünse de, Cantor bunların sayıca eşit olduğunu kanıtlamıştır. Bu, rasyonel sayıları bir matrise yerleştirip diyagonal bir şekilde listeleyerek yapılabilir; bu sayede rasyonel sayılar doğal sayılarla bire bir eşlenebilir. Bu tür kümelere sayılabilir sonsuz kümeler denir ve kardinalitesi ℵ₀ (alef sıfır) ile gösterilir.   

Her rasyonel sayı iki tam sayının a ve b aralarında asal tam sayılar olacak biçimde a/b şeklinde yazılmasıyla oluşturulabilir. Buna göre bu sayı çiftleri bir ızgara gibi spirale yerleştirilir ve doğal sayılara birebir eşlenir. Böylece $\mathbb{Q}$ yoğun olmasına rağmen sayılabilir olur. Bunu izah ederken tüm tam sayı çiftlerini (a,b) iki boyutlu bir koordinat düzleminde düşünebiliriz. Her nokta bir rasyonel sayıyı temsil eder (geçerli olması için b ≠ 0 ve a, b aralarında asal olmalı). Örneğin: (1,2) noktası →1/2 ve (−3,5) noktası →-3/5 ve (0, 0) noktası → 0 sayısını temsil edecek şekilde yerleştirelim. Bu şekilde devam ettiğimizde düzlemdeki tüm noktaları bir sprial (örneğin merkezden dışa dönen bir yol) boyunca tek tek sıralayabiliriz. Böylece her (a,b) çifti, spiraldeki bir sıraya (doğal sayıya) karşılık gelir. Bu spiral yöntemiyle her nokta (a,b) sadece bir tane doğal sayıya denk gelir. Yani iki farklı nokta (örneğin (1,2) ve (3,4)) aynı doğal sayıya karşılık gelmez. Bu yüzden birebir eşleme vardır. Spiral her noktaya gider ama her nokta bir rasyonel sayıyı temsil etmez (bazıları geçersizdir, örneğin b=0 noktası için bir karşılık bulunamaz.) Yani bazı doğal sayılar “boş” kalır ama bu problem değildir, çünkü bizim için önemli olan birebir eşlemenin olmasıdır tam kapsama gerekli değildir. Sonuç olarak |Q| ≤ |N| olduğunu görürüz. Bu eşleme sayesinde rasyonel sayıların kümesi, doğal sayılardan daha fazla değil (en fazla o kadar) eleman içerir. Ayrıca, her doğal sayı da bir rasyonel sayıdır (örneğin 3 = 3/1), dolayısıyla |N| ≤ |Q| de doğrudur. Cantor–Bernstein Teoremi’ne göre bu |Q| ≤ |N| ve  |N| ≤ |Q| iki koşulu varsa o zaman |Q| = |N| olduğunu söyleyebiliriz. Sonuç olarak Rasyonel sayılar sonsuzdur, ama “doğal sayılar kadar” sonsuzdur. Yani sayıca aynı büyüklüktedirler — her rasyonel sayı bir doğal sayıyla eşleştirilebilir.

G. Cantor’un bir sonraki sorusu, gerçek sayıların kardinalitesi olmuştur. Gerçek sayılar, sürekli sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları içerir, irrasyonel sayıları da kapsar. Cantor, gerçek sayıların doğal ve rasyonel sayılardan “daha büyük” olduğunu kanıtladı. Bunu, diyagonal argüman ile gösterdi: 0 ile 1 arasındaki gerçek sayılar bir listeye alınmış olsa bile, listedeki her sayının ondalık basamaklarından yeni bir sayı türetmek mümkündür. Bu yeni sayı, listedeki hiçbir sayı ile aynı olmayacağı için, gerçek sayılar sayılamayan sonsuzluktur. Gerçek sayıların kardinalitesi kümelerin sürekliliği (c) olarak adlandırılır.

G. Cantor’un en dikkat çekici sonucu gerçek sayılar kümesinin doğal sayılarla bire bir eşlenemeyeceğini göstermesidir. Yani doğal sayılardan daha büyük bir sonsuzluk kavramı vardır. Bu düşünceyi destekleyen en ünlü kanıt Cantor’un diyagonal argümanıdır. Diyagonal argümanın özeti şöyledir: Varsayalım ki 0 ile 1 arasındaki tüm gerçek sayılar bir liste halinde yazılmış olsun. Bu dizide yer almayan bir sayı oluşturmak için listedeki her sayının i’inci ondalık basamağından farklı bir rakam seçerek yeni bir ondalık sayı oluşturulur. Bu yeni sayı listedeki hiçbir sayı ile aynı olamaz. Sonuç olarak, [0,1] aralığındaki gerçek sayılar listeye alınamaz; yani gerçek sayılar kümesi eşleştirme yapılamadığından gerçek sayılar "sayılamayan" sonsuzdur.

 

1874’te Cantor, 1 uzunluğundaki bir doğru ile 1 kenar uzunluğundaki bir kare arasındaki noktaların bire bir eşlenip eşlenemeyeceğini araştırdı. Sonuç, doğru ve karedeki noktaların aynı kardinaliteye sahip olduğuydu. Bu düşünce, küp veya n-boyutlu hiper-küp için de geçerlidir. Cantor bu sonucu görünce şaşkınlığını gizleyememiş ve “Görüyorum ama inanamıyorum!” demiştir. Cantor çalışmalarında farklı kardinal sayıları tanımladı ve ilkini ℵ₀ diğerlerini ℵ_1, ℵ_2, ℵ_3..... olarak gösterdi.

  

G. Cantor, doğal sayılar ($\mathbb{N}$) ve gerçel sayılar ($\mathbb{R}$) kümesi arasında başka bir büyüklükte sonsuz küme olup olmadığını merak etti. Yani şöyle soruyordu: Doğal sayılar sayılabilir sonsuzdur ve kardinalitesi ℵ_0, ℵ_1, ℵ_2, ℵ_3.....ile gösterilir. Gerçel sayılar sayılamayan sonsuzdur ve kardinalitesi c (süreklilik kardinalitesi) ile gösterilir. ℵ₀ $<\; ?\; <\; c$ olacak şekilde bir kardinal sayı var mıdır? Yani doğal sayılar ve gerçel sayılar arasında “orta büyüklükte” bir sonsuzluk var mı? Bu soru, Cantor’un zamanında sürekli hipotez (continuum hypothesis) olarak adlandırıldı. Hipotez, şöyle özetlenebilir: “Her sonsuz küme ya sayılabilir sonsuzdur ℵ₀ ya da gerçel sayılarla aynı kardinaliteye sahiptir (c). Arada başka bir sonsuzluk yoktur.” Cantor’un matematiksel araçları bu hipotezi çözmek için yeterli değildi. 1940’ta Kurt Gödel, hipotezin çürütülemeyeceğini yani standard matematik (ZFC aksiyomları) ile yanlışlanamayacağını gösterdi. 1963’te Paul Cohen, hipotezin kanıtlanamayacağını yani standart matematikle doğrulanamayacağını gösterdi. Böylece sürekli hipotez, modern matematikte bağımsız bir problem hâline geldi.

 

Georg Cantor’un bu kuramı, küme teorisi ve matematiğin temelleri açısından bir dönüm noktasıdır. Sayılamayan sonsuzluk kavramı analizde, topolojide ve mantıkta merkezi bir rol oynar. Sonsuzlukların farklı katmanlarının olması, matematiksel gerçeklik anlayışını değiştirmiştir. Bilgisayar biliminde diyagonal yöntemleri, Kurt Gödel’in eksiklik teoremleri ve Alan Turing’in durdurma problemi gibi çalışmalara temel oluşturmuştur. Başlangıçta Cantor’un fikirleri bazı matematikçiler tarafından felsefi sebeplerle reddedilmiş olsa da, günümüzde kuantum mekaniğinden karmaşık sistemlerin analizine kadar “sonsuzluk” ve “küme büyüklüğü” kavramları kritik hâle gelmiştir. Veri bilimi ve algoritma teorisinde sayılabilir ve sayılamayan kümeler arasındaki fark analizlerde kullanılmaktadır. 

 

Sonuç olarak, sonsuzluk kavramı sadece “sınırı olmayan, sayılamayan, çok büyük” bir kavram değildir; farklı türleri vardır ve bu türler birbirinden ciddi biçimde ayrılır. Georg Cantor sayesinde biliyoruz ki sonsuzluk tek bir büyüklük değildir; bazı sonsuz kümeler diğerlerinden daha büyüktür. 19.–20. yüzyıl dönümünde matematikçiler “sonsuzluk” kavramını ciddiye almaya başladılar. Bu sonsuzluk kavramı keşfi, gerçek sayılar, fonksiyonlar ve kümeler teorisinde büyük ilerlemelere yol açmasına rağmen aynı zamanda çelişkiler ve paradokslara neden olmuştur. Ünlü sonsuzluk paradokslarından ikisini burada açıklayarak yazıyı bitirelim. 

 

Hilbert’in Oteli, sonsuzluk kavramının tuhaf sonuçlarını göstermek için geliştirilen ünlü bir düşünce deneyidir. Bu otelde sonsuz sayıda oda vardır ve her oda dolu durumdadır. Buna rağmen, yeni bir misafir geldiğinde yine de ona yer açmak mümkündür.Otelin yöneticisi, her misafirin bir sonraki odaya geçmesini ister:1 numaralı odadaki kişi 2 numaralı odaya,2 numaralı odadaki kişi 3 numaralı odaya,3 numaralı odadaki kişi 4 numaralı odaya geçer,ve bu düzen sonsuza kadar devam eder.Böylece 1 numaralı oda boşalır ve yeni gelen misafir rahatça yerleşebilir. Aynı mantıkla, eğer sonsuz sayıda yeni misafir gelirse, mevcut misafirler odalarını ikiyle çarparak (1→2, 2→4, 3→6 …) yeni odalara geçer; böylece tüm tek numaralı odalar yeni misafirlere ayrılır.Bu düşünce deneyi, sonsuzluk kavramının sezgilerimize ters düşen yönlerini ortaya koyar: Otel tamamen dolu olsa bile, hala yer açılabilir; çünkü sonsuz bir otelde son oda yoktur. Bu da, matematikteki “sonsuzun bitmeyen” ve “sınır tanımayan” doğasını çarpıcı bir şekilde gösterir.

 

Zeno’nun paradoksu, hızlı koşucu Aşil ile yavaş bir kaplumbağa arasındaki hayali bir yarışı anlatır. Aşil, kendine güvendiği için kaplumbağaya küçük bir başlangıç avantajı verir. Zeno’ya göre, bu durumda Aşil kaplumbağayı asla yakalayamaz. Çünkü Aşil önce, kaplumbağanın başladığı noktaya ulaşmak zorundadır. Ancak Aşil o noktaya geldiğinde, kaplumbağa biraz daha ilerlemiş olur. Aşil bu yeni mesafeyi kat ederken, kaplumbağa yine az da olsa daha ileriye gider. Bu süreç sonsuza kadar sürer: Aşil her seferinde aradaki mesafenin bir kısmını kapatır ama kaplumbağa hep biraz öndedir. Bu nedenle, Zeno’ya göre, Aşil kaplumbağayı yakalamak için sonsuz sayıda adım atmak zorunda kalır; bu da sanki asla yetişemeyecekmiş gibi görünür. Paradoks, sonsuz bölünme ve hareketin doğası üzerine düşünmeye yönelten klasik bir felsefi sorudur. 

 

Kaynakça:
*Macgregor, P. (2008, 1 Haziran). A glimpse of Cantor's paradise, https://plus.maths.org/content/glimpse-cantors-paradise
*Infinity and Countability, https://www.su18.eecs70.org/static/notes/n10.html
*A Foundational Crisis, Ted Sider Philosophy of Mathematics,https://tedsider.org/teaching/math/HO_crisis_in_foundations.pdf *A Discrete Solution for the Paradox of Achilles and the Tortoise, (2015), Vincent Ardourel, https://hal.science/hal-01929811/file/A_discrete_solution_for_the_paradox_of_A.pdf
*The True (?) Story of Hilbert’s Infinite Hotel, (2014), Helge Kragh, Centre for Science Studies, Department of Physics and Astronomy, Aarhus University, https://arxiv.org/pdf/1403.0059

Polinomlarda işlemler

Polinom, matematikte içinde değişken bulunan (genellikle x), bu değişkenin doğal sayı üsleri ve sayısal katsayılar bulunan cebirsel ifadelere denir. Yani matematiksel olarak; n ∈ ℕ ve a₀, a₁, a₂ …, a_n ∈ ℝ olmak üzere: P(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + … + a₁x¹ + a₀x⁰ ifadesine reel katsayılı polinom denir. Polinomlar özel bir fonksiyondur. Bir ifadenin polinom olabilmesi için çok net iki kuralı vardır: 1) Değişkenin üssü kesinlikle doğal sayı olmalıdır. Değişkenin kuvveti negatif olamaz, kesirli bir ifade olamaz, irrasyonel bir sayılı kuvvet olamaz. 2) Tüm değişkenlerin katsayıları Reel Sayı olmalıdır. Karmaşık sayı olamaz. 

Örneğin P(x) = 3x² + 5x − 7 ifadesi bir polinomdur, P(x) = x + 1 bir polinomdur, Q(x)=4 sayısı da polinomdur. Buna karşılık K(x) = 1/x + 2 polinom değildir çünkü değişken paydadadır, değişkenin kuvveti (-1)dir. T(x) = x⁻² + 3 polinom değildir çünkü değişkenin üssü negatiftir. S(x) = √x + 1 polinom değildir çünkü değişkenin kuvveti kesirlidir.

Polinomlar terimlerden oluşur. Toplama ya da çıkarma işaretleriyle ayrılan her parçaya terim denir. Örneğin P(x) = 2x³ − 5x + 4 ifadesinde 2x³, −5x ve 4 ifadelerinin herbiri birer terimdir. Bir polinomda değişkenin önündeki sayıya katsayı denir. En büyük dereceli terimin katsayısına da "başkatsayı" denir.. Örneğin P(x) = −3x² ifadesinde katsayı −3’tür.  Q(x) = −3x² + 4x +7 ifadesinde başkatsayı −3 olup, diğer katsayılar 4 ve 7 dir. Değişken içermeyen yani değişkenin kuvvetinin 0 olduğu  x⁰ terimine sabit terim denir. Örneğin P(x) = 5x² + 3x − 7 polinomunda sabit terim −7’dir. Bir polinomun derecesi ise terimlerdeki en büyük üssün değeridir. Örneğin P(x) = 4x⁵ + x² − 1 polinomunun derecesi 5’tir, R(x) = 7x − 3 polinomunun derecesi 1’dir, Q(x) =9 polinomunun derecesi 0’dır.

 

Polinom–fonksiyon ilişkisi şu şekilde açıklanabilir: Bir polinom, değişkenler ve bu değişkenlerin negatif olmayan tam sayı kuvvetlerinden oluşan cebirsel bir ifade iken bir fonksiyon ise, ifadedir. Bir polinom, bu kuralı sağladığı için aynı zamanda özel bir fonksiyon olarak da düşünülebilir. Yani her polinom, uygun bir tanım kümesi üzerinde tanımlandığında bir fonksiyon oluşturur. Örneğin p(x) = 2x² - 3x + 1 ifadesi bir polinomdur. Bu durumda polinom, fonksiyonun kuralını; x ise fonksiyonun bağımsız değişkenini temsil eder. Fonksiyonun çıktısı olan f(x) değeri, x yerine yazılan sayıya bağlı olarak değişir. 

 

Polinomların tanım kümesi gerçek sayılardır; çünkü polinomlarda kök, payda ya da mutlak değer gibi kısıtlayıcı ifadeler yoktur. Bu nedenle her gerçek sayı için polinom fonksiyonunun bir değeri vardır. Buna karşılık g(x)=1/x veya h(x)=√(x−2) gibi ifadeler tanım kümesi paydasına ve kök içine göre kısıtlandığında fonksiyon olurken polinom değildir; çünkü bu tür fonksiyonlarda tanım kümesi; g(x) için x≠0 şeklinde h(x) için de x≥2 şeklinde kısıtlanır. Bu karşılaştırma, polinom fonksiyonlarının neden tüm gerçek sayılarda tanımlı ve grafiklerinin neden kesintisiz olduğunu açıkça gösterir. Buna göre polinom fonksiyonları süreklidir ve grafikleri kesintisiz eğriler şeklinde olur. Polinomlarda x değerleri sürekli değişirken değerler de kopukluk veya ani sıçramalar olmaz. Bu yüzden polinom fonksiyonlarının grafikleri parçalılık, boşluk, kopukluk ya da delik içermez. Fonksiyonlarda ise kesikli şekiller, boşluklar veya parçalı grafikler de görülebilir. Sonuç olarak, Her polinom, bir fonksiyon tanımlar; ancak her fonksiyon polinom değildir.  

Bir Gezi Rotası: Perge-Kekova (Likya Yolu)

Din öğretimi genel müdürlüğünün yaz etkinlikleri kapsamında Antalya'nın Kumluca ilçesine yolumuz düştü. Likya yolu diye tabir edilen, Roma ve Likya Medeniyetinden kalma Antik Şehirleri bu vesileyle gezme isteği bir anda hasıl oldu. Bunun için güzergah olarak Aksu Perge'yi başlangıç olarak seçtik. Buradan hareketle Antalya'nın batı ilçeleri yolundaki antik şehirleri hem gezip hem ibret almak için güzel bir gezi planladık. İlk önce Antalya merkeze uzaklığı 18 km olan en yakın ilçesi Aksu sınırlarında bulunan Perge'ye uğradık. Buralara şahsi vasıta ile geldiğimiz için ulaşım konusunda sıkıntı çekmedik. Toplu ulaşımla da Aksu'ya daima Antalya merkezden otobüs bulmak mümkün. Aksu'ya geldikten sonra Perge'ye ulaşmak da sanıldığı kadar zor değil. Perge bu haliyle bile ihtişamını koruyan antik bir Roma şehri. Tiyatrosu, stadyumu, su kanalı ve şehrin cazibesini yansıttığını düşündüğümüz dükkan ve ev kalıntıları ile gezilip görülmesi gereken bir şehir.

Trigonometrik Değerler Tablosu

Dar açıların trigonometrik değerleri hesap makinesi yardımıyla bulunabileceği gibi trigonometrik değerler cetvelinden de bulunabilir. Bunun için cetvelde öncelikle açı değeri bulunu ve sin, cos, tan ve cot sütunu le kesiştirilerek ifadenin karşılığı bulunmuş olur. Hesap makineleri ile trigonometrik fonksiyonların kolayca bulunabilir. Excel tablosundan da trigonometrik değerleri, açıyı radyan cinsinden girecek şekilde komut yazarak [Mesela B2 hücresindeki bir sayısal değerin sinüsünü bulmak için excel'de =SİN(RADYAN(B2)) şeklinde bir komut kullanarak değeri hesaplayabilirsiniz.

Tanjant ve Kotanjant değişim cetveli için tıklayınız. 

Konya Gezi Rehberi

Bir tatil günü vesilesiyle, Kadim Selçuklu Başkenti Konya'yı gezelim ve gezi tecrübelerimizi, gezi hatıralarımızı nakledelim istedik. Sevgili peygamberimiz Hz. Muhammed (s.a.v)'in "Seyahat edin, sıhhat bulun. Yola çıkın sıhhat bulun." (Ahmet b. Hanbel, 3/280; Aclunî, 1/445, Mecmau’z-Zevaid, 5/210) Şeklindeki hitaba mazhar olabilmek, "tebdili mekanda ferahlık vardır" sözün hikmetine vakıf olabilmek gayesiyle yol hazırlığımızı yaptık ve sabahın nuruyla  erkenden yola koyulduk. İlk önce Konya'nın merkezde medfun manevi önderleri, Sadreddin Konevi, Şemsi Tebrizi, Mevlana Celaleddin Rumi,  türbe ziyaretlerini gerçekleştirdik. Sadreddin Konevi ziyaretgahı, diğerlerinden farklı olarak Meram ilçesinde, diğer iki türbe de Karatay ilçesinde yer alır. Planlamanızı buna göre yaparsanız karışıklık yaşamazsınız.

2018 TYT-AYT Matematik Soru Dağılımı

2018 TYT sınavında toplam 120 soru soruldu ve 120 soru için, 135 dakikada süre verildi. TYT’de Türkçe testi için 40 soru, Sosyal Bilimler testi; Tarih (5), Coğrafya (5), Din Kültürü ve Ahlak Bilgisi (5), Felsefe (5) derslerinden olmak üzere toplamda 20 soru soruluyor. Temel Matematik Testi için 40 soru sorulmuştur. Fen Bilimleri testinde ise (Biyoloji, Fizik ve Kimya) Fizik 7 soru, Kimya 7 soru, Biyoloji 6 soru olmak üzere 20 soru soruldu.