Bileşke Fonksiyonun Türevi ve İspatı

Bileşke fonksiyonların türevi bulunurken eğer fonksiyonun bileşkesi bulunabiliyorsa öncelikle fonksiyonun bileşkesi alınır daha sonra istenen türev bulunur. Bileşke fonksiyonun bulanmayacağı veya daha zor olarak hesaplanacağı durumlarda ise öncelikle birinci fonksiyonun türevinde ikinci fonksiyon bilinmeyen yerine yazılır daha sonra ikinci fonksiyonun da ayrı olarak tekrar türevi alınarak çarpım halinde yanına yazılarak bileşke fonksiyonun türevi bulunur.

Aşağıda yer alan sorular bileşke fonksiyonun türevinin nasıl alınabileceğini gösteren farklı tipteki sorulardır. Buralarda birden fazla fonksiyonun bileşkesi şeklinde yeni fonksiyonlar verildiğinde bunların türevi yine aynı bileşke fonksiyonun türevi kuralı yardımıyla bulunur.

Bölüm Türevi ve İspatı

Bazı durumlarda bölüm fonksiyonunu bulmak verilen fonksiyonlar açısından kolay olmayabileceği gibi bölme işlemi ile uğraşmak zaman bakımından da sıkıntılı olacaktır. İki fonksiyonun birbirine bölümünün türevi alınırken çarpım türevine benzer biçimde bölüm türevi kuralı yardımıyla hesaplama yapılabilir. Bölüm türevi alınırken çarpım türevindeki gibi 

(birinci fonksiyonun (pay fonksiyonun) türevi . ikinci fonksiyonun (payda fonksiyonun) aynısı - birinci fonksiyonun aynısı . ikinci fonksiyonun türevi pay kısmına yazılır daha sonra payda olarak da ikinci fonksiyonun [payda fonksiyonun] karesi yazılır. ) bölüm türev kuralı yazılabilir. Bölüm türevinin ispatı da türevin limit tanımından yararlanarak yapılabilir.

Çarpım Türevi ve İspatı

Çarpım türevi alınırken fonksiyonları öncelikle çarpıp daha sonra türev almak daha zor olacağından çarpım türevini bilmek işlemlerde bizlere kolaylık sağlayacaktır. Kolayca formüle edilebilen çarpım türevine göre iki fonksiyon verildiğinde çarpım türevi;

(birinci fonksiyonun türevi . ikinci fonksiyonun aynısı + birinci fonksiyonun aynısı . ikinci fonksiyonun türevi ) şeklinde yazılabilir.Bu kuralın ispatı yapılırken de türevin limit tanımından yararlanarak çarpımın türevini bulabiliriz.

İkiden fazla fonksiyon verilirse kural aynı şekilde geçerli olur. Örneğin üç fonksiyon verilirse sırasıyla aynı kuralı yazabiliriz.

Toplam-Fark Türevi İspatı

Toplam veya fark durumunda bulunan fonksiyonların türevi alınırken fonksiyonların ayrı ayrı türevi alınıp, daha sonra bulunan türev değerleri toplanır veya çıkarılır.

İSPAT: İspatı yaparken; türevin limit tanımından yararlanarak yapalım.

Polinom Fonksiyonların Türevi ve İspatı

Polinom fonksiyonların türevi alınırken bilinmeyenin kuvveti katsayı olarak bilinmeyenin başına geçer ve kuvvet bir sayı azalarak yeniden yazılır. Köklü ifadelerde polinom fonksiyonlara benzetilerek üslü biçime çevrildikten sonra aynı kural yardımıyla türevi alınabilir. Türevin limitle olan tanımından yola çıkarak bu kuralın ispatı yapılabilir. Aşağıdaki ispatı ve örnekleri inceleyiniz.

f(x+h) ifadesini açarken yukarıdaki özdeşlik kullanımı yerine, binom katsayıları kullanırsak farklı bir yoldan da ispatı gösterebiliriz.

Doğrunun Eğiminde Türev

Verilen bir y=mx+n şeklindeki doğrunun eğimi bulunurken türevden yararlanılabilir. Denklemi verilen doğrunun birinci türevi alınırsa doğrunun eğimine ulaşılmış olur. İspatı yapılırken genel türev tanımından yararlanılarak sonuca ulaşılır. Altta doğrusal fonksiyonun eğimini bulurken kullanacağımız türev kuralının ispatı verilmiştir.

Konu ile ilgili aşağıdaki örnekleri inceleyebilirsiniz. Örneklerin çözümünde doğrunun eğiminin analitik olarak bulunmasından yararlanarak türev alma kuralını kullanmanız yararlı olacaktır. İki noktası verilen doğrunun eğimi, verilen noktaların ordinatları farkının apisisleri farkına bölümü ile bulunur. Doğrunun denklemi verildiği zaman, eğim bulunurken doğru denklemi y=mx+n şekline dönüştürüldükten sonra -yani y çekilerek denklem yazıldıktan sonra- x-in katsayısı doğrunun eğimini verir.