Cauchy-Schwarz eşitsizliği

Cauchy-Schwarz eşitsizliği, bazı matematik kitaplarında sadece Schwarz eşitsizliği veya sadece Cauchy eşitsizliği veya Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği olarak da geçmektedir. Matematik bilimi teorisinde önemli bir eşitsizlik olup, çeşitli matematiksel uygulamalarda kullanılmaktadır. Cauchy-Schwarz eşitsizliği; analiz, lineer cebir, olasılık ve istatistik konuları  arasında sıklıkla kullanılmaktadır. Özellikle vektörler alanında, sonsuz seriler ve çarpım uygulamalarında, varyans ve kovaryans hesaplamalarında eşitsizlik çok kullanılmaktadır. Toplamlar için bu eşitsizlik ilk defa Augustin Louis Cauchy tarafından 1821'de ve integraller için ise bu eşitsizlik ilk defa Viktor Yakovlevich Bunyakovsky tarafından 1850'de ve sonra tekrar olarak Hermann Amandus Schwarz tarafından 1888'de ortaya atılmıştır. Bu nedenle eşitsizlik üç ismin adıyla matematik kitaplarda yer almıştır.

Cauchy – Schwarz eşitsizliği farklı bir yazılışla kreköklü biçimde de ifade edilebilir. Aşağıda bu yazılış biçimi x ve y değişkenlerine bağlı olarak yeniden yazılmıştır.

Matematikteki ünlü eşitsizliklerden biri olan Cauchy – Schwarz eşitsizliği, matematik olimpiyatlarında da önemli bir yere sahiptir. Cauchy – Schwarz eşitsizliği, klasik eşitsizlik ispatlarından başka, maksimum-minimum problemlerinin çözümünde ve farklı denklem çözümlerinde de kullanılabilmektedir.

Klasik matematik problemlerinde kullanılan formülleri Cauchy – Schwarz eşitsizliği kullanarak çözmeye çalışalım. Aşağıda problem çeşitlerine örnekler verilmiştir. 

Kaynakça: 

Olimpiyatlara Hazırlık Cauchy – Schwarz eşitsizliği problemleri ve çözümleri, Lokman Gökçe