Lineer Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Lineer Trigonometrik Denklemler: sin ve cos fonksiyonlarına bağlı olarak verilen birinci dereceden tek değişkenli a, b ve c sıfırdan farklı reel katsayılar olmak üzere aynı dereceden a.sinx+b.cosx=c şeklindeki denklemlere lineer(doğrusal) trigonometrik denklem adı verilir. Bu tip denklemlerin çözümünde eşitliğin her iki tarafı sinx (veya cosx) katsayısı olan a (veya b) ile bölünür, buna göre tekrar yazılan trigonometrik denklem gerekli özdeşlikler kullanılarak temel denklemlere dönüştürülür. (Bknz: Trigonometrik denklemlerin çözüm kümesi)

Homojen Trigonometrik Denklemler

sin ve cos fonksiyonlarına bağlı olarak verilen birinci veya ikinci dereceden tek değişkenli a ve b reel katsayılar olmak üzere aynı dereceden a.sinx+bcosx=0 şeklindeki denklemlere homojen denklem denir. Bu denklemlerin çözüm kümeleri bulunurken denklemler, tanjant veya cotanjant denklemlerine dönüştürülmeye çalışılır. Bunun için denklemin her iki tarafı sinx veya cosx ile taraf tarafa bölünür. (Bknz: Trigonometrik Denklemlerin Çözüm Kümesi)

Temel Trigonometrik Denklemlerin Çözümü

Trigonometrik fonksiyonlarla birlikte verilen denklemlerin çözüm kümelerinin bulunmasında trigonometrik fonksiyonların genel özelliklerinden ve birim çemberden yararlanılır. (Bknz. Trigonometrik Fonksiyonlar) Verilen açı ölçülerinin birim çember üzerinde gösterilmesi ve bu açı değerine esas ölçü olarak eşit olan diğer açıların da varlığının kabul edilmesi ile trigonometrik denklemlerin genel çözümleri yazılır. (Bknz: Birim Çember)

Tanjant Teoremi ve İspatı

Bir ABC üçgeninde iç açılar; A, B, ve C olmak üzere bunlardan B ve C açıları ve bunlara ait kenar uzunlukları verildiğinde b>c olmak üzere kenar uzunlukları ve açılar arasında taanjant teoremi uygulanır. Buna göre kenarların farkının kenarların toplamına oranı, bu kenarların ait olduğu açıların farkının yarısının tanjant değeri ile bu açıların toplamlarının yarısının tanjant değerine bölümü aynı oranı verir. 

Teoremin ispatı yapılırken çemberde açıların özelliklerinden yararlanılabilir. Buna göre bir ABC üçgeni için A köşesini merkez kabul eden [AB] kenarını da yarıçap kabul eden bir çember çizilir. Buna göre uygun açılardan yararlanılarak teorem ispatlanır. (Bknz: Çemberde Açılar)

Üçgende Trigonometrik Dönüşüm Formülleri

Daha önceki yazılarımızda trigonometrik fonksiyonlarda dönüşüm ve ters dönüşüm formüllerini verip bunların ispatlarını da açıklamıştık. Bu formüllere bağlı olarak çeşitli teoremler üretilmiştir. Bunlara örnek olarak; üçgen uygulamalarından iki güzel örnek verilebilir.  (Bknz. Dönüşüm Formülleri)

**Bir ABC üçgeninde üçgenin iç açıları arasında trigonometrik dönüşüm formüllerinin uygulaması görülebilir. Aşağıda buna bağlı iki farklı teorem verilmiştir, ispatlarını inceleyebilirsiniz. 

Aynı teoremi verilen ABC üçgeninin iç açılarının cosinüs değerlerine de uygularsak farklı bir sonuçla karşılaşırız. Aşağıda teorem ve ispatı birlikte verilmiştir.

Benzer biçimde aynı formül kullanılarak bir üçgende çeşitli açı bağıntıları bulunabilir. Aşağıdaki örneği inceleyebilirsiniz.