Çokgenden Pi Sayısına

Pi sayısı, matematikte ilginç bir sayıdır. Herhangi iki sayının birbirine bölümü olarak ifade edilemeyen yani Rasyonel olmayan iraasyonel bir matematik sabitidir. Kısaca tanımlamak gerekirse bir pi sayısı; çemberin çevre uzunluğunun çapına bölümü olarak ifade edebiliriz. 

Pi sayısı için çokgenlerden yola çıkılarak sezgisel olarak yaklaşık bir değere ulaşılabilir. Düzgün çokgenler kullanılarak çevre uzunlukları çap diyebileceğimiz ağırlık merkezlerini herhangi bir köşeye birleştiren doğru parçasına bölerek işlemi sonsuza kadar devam ettiğimizde pi sayısının bilinen 3.14159265359.... değerine yaklaştığını görebiliriz. Bu işlem defalarca çeşitli çokgenler için denendiğinde pi'nin değeri ortaya çıkar. 

Pek çok matematikçi, pi sayısının değerini yüksek bir doğruluk derecesine göre hesaplayarak, π hakkındaki anlayışlarını genişletmeye çalıştılar. Mısırlılar ve Babilliler de dahil olmak üzere eski uygarlıklar, pratik hesaplamalar için oldukça doğru π yaklaşımları buldular. MÖ 250 civarında, Yunan matematikçi Arşimet, π'ye yaklaşmak için bir algoritma oluşturdu ve bu algoritmaya dayanarak (π) sayısının ondalık açılım değerini kullandı. Arşimet, 223/71< π < 22/7 rasyonel sayıları arasında (yani 3.1408 < π < 3.1429) olduğunu hesaplamalarda kullanması sayının "Arşimet sabiti" olarak da anılmasını sağladı. MS 5. yüzyılda, geometrik teknikler kullanılarak, Çinli matematikçiler π'yi yedi ondalık basamağa yaklaştırırken, Hintli matematikçiler de beş ondalıklı bir sonuç buldular. π için sonsuz seri'ye dayanan bilinen ilk hesaplama formülü, bunlardan yaklaşık bin yıl sonra keşfedildi. Batlamyus, π değeri için (π ≈ 3,141666..) değerini hesaplamıştır. Gıyaseddin Cemşid Arşimed'in pi sayısının hesaplanması için önerdiği iç içe poligonlar yöntemini kullanarak virgülden sonra 14. basamağa kadar hesaplama yapmış ve pi sayısını kendi zamanının en iyi sonucunu bulmuştur. O güne kadar bilinen en iyi sonuç; Çinli Zu Chongzhi tarafından 6. ondalık basamağa kadar olan sonuçtu. Çinli matematikçi Zu Chongzhi, MS 480 civarında, 3.1415926 < π < 3.1415927 olduğunu belirleyerek, rasyonel bir kesir olarak pi sayısı için π≈355/113=3,14159292035... ve π≈22/7= 3.142857142857... hesaplamış  ve bulunan bu sonuçlar uzun yıllar bilim dünyasında kullanılmıştır. Gıyaseddin Cemşid tarafından kullanılan yöntem, döneminin en iyi sonucunu vermesi açısından büyük bir önem taşıyordu. 

Calculüs'ün ortaya çıkmasıyla kısa sürede π'nin yüzlerce basamağının hesaplanması da mümkün hale geldi. Bununla birlikte, 20. ve 21. yüzyıllarda matematikçiler ve bilgisayar bilimcileri, artan hesaplama gücüyle π'nin ondalıklı gösterimini trilyonlarca basamağa kadar genişleten yeni yaklaşım ve yazılımlar keşfettiler. Bu teknik hesaplamalar, yeni serileri hesaplamak için verimli algoritmaların geliştirilmesinin yanında, insanın rekor kırma arayışını da motive etti.  

Bir dairenin çevresinin çapına oranını temsil etmek için Yunanca π harfinin bilinen en eski kullanımı da 1706'da William Jones tarafından yapılmıştır. 16. ve 17. yy kadar geometrik  yöntemler kullanılarak (π) nin ondalık basamaklı sayılarının açılımı yapılırken sonraları sonsuz seriler kullanılmaya başlanmış ve (π) nin açılımı, 71 ondalıklı basamağa kadar ulaşmıştır. 1706'da John Machin, pi'nin odalık açılımı için çok daha hızlı yakınsayan bir algoritma üretmek için Gregory-Leibniz serisini kullanarak 100 basamaklı açılımını hesapladı. Gregory-Leibniz, John Machin, Nilakantha serisi, Chudnovsky serisi, Gauss–Legendre algoritması, Srinivasa Ramanujan, Franciscus Vieta, Isaac Newton, Ludolph Van Ceulen, Zacharias Dase yöntemi, Bailey-Borwein-Plouffe, William Shanks, Fabrice Bellard, Adamchick-Wagon formülü gibi yöntem ve seri açılım formülleri, bilgisayar çağına kadar π'yi hesaplamak için en iyi bilinen yöntem olarak kalmıştır. Bu tür yöntemler bilgisayar çağına kadar yaklaşık 250 yıl boyunca yeni rekorlar kırmak için kullanıldı. 1946'da Daniel Ferguson tarafından yeni bir yaklaşımla bilgisayar benzeri bir hesaplama aracı kullanmadan sadece elle yapılan bir hesaplama ile pi nin basamak sayısı 620 basamağa ulaşarak bu çağ sonuçlandı. 

Bilgisayar ve teknik çağında 1949 yılında John Wrench ve Levi Smith, bir masa hesap makinesi kullanarak 1.120 haneye kadar (π) ui gösterdiler. ENIAC bilgisayar üzerinde George Reitwiesner ve John von Neumann liderliğindeki bir ekip, (arctan) sonsuz serisini kullanarak 70 saatlik bilgisayar çalışmasıyla 2.037 basamaklı bir açılım elde etti. 1973'te bilgisayar çalışmaları ile bu açılım rekoru, 1 milyon haneye ulaşmıştır. Karatsuba algoritması, Toom-Cook çarpımı ve Fourier seri dönüşümleri ile (π) basamak hesaplama adımları çeşitlenerek hızlandı. Bill Gosper, 1985 yılında Srinivasa Ramanujan yöntemi ile 17 milyon basamaklı yeni bir açılım rekoru kırarak, π hesaplamasındaki Machin'in formülü benzeri çoğu arctan serisinden daha hızlı bir formül geliştirdi. 1989'da Chudnovsky kardeşler tarafından 1 milyar haneyi aşan ilk rakamlar, 2011'de Alexander Yee ve Shigeru Kondo tarafından 10 trilyon hane ve 2022'de Emma Haruka Iwao tarafından 100 trilyon haneli (π) ondalığı açılımları bu alanda bilinen yeni rekorlardandır.

İsviçreli bilim adamı Johann Heinrich Lambert, 1768'de π'nin irrasyonel olduğunu, yani herhangi iki tam sayının bölümüne eşit olmadığını kanıtladı. Lambert bu ispatını, tanjant fonksiyonunun sürekli kesir temsilinden yararlandı. Fransız matematikçi Adrien-Marie Legendre, 1794'te π²'nin de irrasyonel olduğunu kanıtladı. 1882'de Alman matematikçi Ferdinand von Lindemann, π'nin aşkın olduğunu gösterdi. (π) sembolü daha önceki yıllarda çeşitli şekil ve sembollerde ifade edilse de matematik literatüründe ilk defa Euler tarafından π≈3.14... olarak 1736 tarihli Mechanica adlı çalışmasında kullanılarak yaygınlık kazandı.

(π) nin tanımı, daire ile ilgili olduğu için π, trigonometri ve geometri'deki birçok formülde, özellikle daireler, elipsler ve kürelerle ilgilenen pek çok alanda kullanılır. Ayrıca kozmoloji, fraktal geometri, termodinamik, mekanik ve elektromanyetizma gibi çeşitli bilimlerdeki farklı formüllerde de (π) bulunur. Modern matematiksel analizde, (π) nin tanımında genellikle geometriye herhangi bir referans olmaksızın tanımlama yapılır. Bu nedenle, sayılar teorisi ve istatistik gibi geometri ile çok az ilgisi olan alanlarda da (π) sayısı kullanılır. π'nin her yerde bulunması, onu bilimin içinde ve dışında en çok bilinen matematiksel sabitlerden biri yapmıştır.

π irrasyonel olmasının yanı sıra bir aşkın sayıdır. π aşkınlığının iki önemli sonucu vardır: İlk olarak, π, rasyonel sayılar ve kareköklü sayılar (√3, √5, √37 gibi) veya n-inci derece köklerin (∛7 gibi) herhangi bir sonlu kombinasyonu kullanılarak ifade edilemez. İkincisi, hiçbir aşkın sayı pergel ve cetvel ile oluşturulamadığından, "daireyi kareleştirme" problemi mümkün gözükmez. Başka bir deyişle, yalnızca pergel ve cetvel kullanarak, alanı belirli bir dairenin alanına tam olarak eşit olan bir kare oluşturmak mevcut verilere göre mümkün değildir. π için rasyonel bir sayı bulmak ve kullanmak hesaplamalarda kolaylık sağlamıştır. Gündelik hesaplamalarda (π) yerine kolaylık olması açısından {3,  22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102} rasyonel sayıları ve π nin en sık kullanılan ilk 40 ondalık basamağa kadar açılımı olan 3.1415926535897932384626433832795028841971... değeri kullanım için sıklıkla tercih edilmiştir. Eski Ahit’ in bir bölümünde Pi sayısının değerinin 3 olduğu ima edildiğinden, Hristiyanlardan bazıları, (π) değerinin okullarda 3 olarak öğretilmesi gerektiğini savunurlar.

Pi sayısı, ilk çağlardan beri gündemde olan farklı ve özel bir sayıdır. Bazı bilim insanları tarafından pi sayısının, "tabiatı açıklamaya yarayan evrensel bir matematik dili" olduğu ifade edilir. Kainatta bir yaratıcıyı kabul etmeyen, bilime adeta tapan çeşitli insan grupları, pi sayısına da  büyük anlamlar yükleyerek, (π)'yi ilah yerine koymuşlardır. Bu kesimler, dünyadaki pek çok şeyin pi sayısıyla meydana geldiğini ileri sürmektedirler. Bu sapkın düşünce yapısı, son derece yanlış ve hatalıdır. Aslında pi sayısı ibret nazarıyla bakıldığında,  Allah’ın varlığını ve birliğini gayet açık bir şekilde ispat etmektedir. Çünkü bütün varlıklar, alemde var olan her şey, son derece ölçülü ve düzgün olarak yaratılmış, hiçbir eksiklik, işleyiş bozukluğu tespit edilmemiştir. Bu nizam,  (π) sayısının keşfedilen sonsuz uzunluktaki ondalıklı açılımlarında bile kusursuz bir düzen eşliğinde devam etmektedir. Sonsuz ilim, irade ve kudret gerektiren bütün yaratılışları, bir sayıya vermek, pi sayısına ilahlık derecesi vermek akıl dışıdır ve bu tip insanlarda sağlam bir akıl yoktur. Nitekim pi benzeri pek çok irrasyonel sayı sonsuz ondalık açılıma sahip olarak devam etmektedir. (π) sayısına bu kadar büyük anlam yükleyerek tapan kişiler, kainattaki yaratılışı ve yaratıcıyı hakkıyla anlayamamıştır. 

pi sayısı, sürekli yeni değerler üreten "canlı" bir sayıdır. Bu (π) sayısının yeni değerler üretmesini, evrenin sürekli olarak genişlemesine benzetebiliriz. Pi sayısının genişlemesi durduğunda, yani pi artık "rasyonel bir sabit sayı" olursa, bu durumda "sayının ölümü" gerçekleşecek ve "evrenin genişlemesi" de nihayet bulacaktır ki bu da kutsal metinlerdeki Kıyamet... 

π sayısının basamakları, mevcut tüm sayıların kombinasyon ve permutasyonlarını içerir. Öyle ki bu basamaklar içinde herhangi bir önemli tarih, doğum ve ölüm tarihine ait tarihler, çeşitli sayı kombinasyonları bulunabilir. Pi sayısı, farklı kitaplara ve sinemalara da konu olmuştur. 1988’de Darren Aronofsky tarafından "Pi: Faith in Chaos" adlı bir film çekilmiştir. Filmde, Pi ile ilgili çeşitli cevaplar bulmaya çalışan bir adamın macerasını ve sonunda delirmesini konu alır. Şiirde ya da yazıda art arda gelen her kelimedeki harf sayısının pi sayısındaki rakamların sıralanışına denk gelişi olarak açıklanan “pilish” tekniği, 1900’lü yılların başından beri çeşitli edebi metinlerde kullanılmaktadır. Pi sayısının ondalık açılımı notalara dönüştürülerek müzik besteleri yapılmıştır. 12 Mart 2009'da ABD Temsilciler Meclisi, 14 Mart 2009 tarihini Ulusal Pi Günü ilan etti. Pi Günü'nün bilinen ilk resmi ya da büyük ölçekli kutlanması 1988'de Fizikçi Larry Shaw ve diğer çalışanlar ile birlikte San Francisco Exploratorium'da gerçekleşmiştir. 

"İnsan, pi (π) sayısına benzer, o da bu alemde varlığı ile her gün yeni bir şeyler üretir, her gün kendisi için dünya yeniden yaratılır, yeni heyecanlar,  yeni olaylarla karşılaşır. Pi sayısı, adı gibi başlangıçta bir sayı gibi görünür ama aslında normal bilinen bir sayı gibi değildir. İnsan da et ve kemik yığınından oluşmuş, sadece zevk ve haz üzere yaşayacak bir varlık değildir. Ruh ve maneviyat taşır. Bir amacı ve gideceği bir yolu vardır. (π) sayısının, 3,1415... şeklinde başlayıp sonsuza doğru gittiğini varsayıyoruz. İnsan da kendini ilelebet yaşayacak zanneder. Ölümü kendisine hiç yakıştıramaz. Nasıl pi sayısının sonsuza gittiğini varsayıyorsak, insan olarak bizler de kendimize bir sonsuzluk atfediyoruz. Oysa baki olan sadece Allah'tır. Anlam veremediğimiz, çırpınarak cevabını bulamadığımız sorular eşliğinde bu ilmin içinde bocalayıp duruyoruz. Kendimizi tanıyana kadar, ne olduğumuzu, nereden gelip nereye varacağımızı görene kadar, tıpkı pi sayısı gibi bu kısır sayı döngüsü ve yaşam çizgisinin içinde debelenip duracağız. Bir yerde sabit kalabilmek ve belirsizlikten kurtulabilmek için ilahi mesajın içeriğine kulak vermek lazım. Ancak o zaman bizi "biz" yapanı bulabilir, "ben" kelimesinin sırrını keşfedebilir ve yaşadığımız şu fani hayatı anlamlandırabiliriz." Kadir PANCAR 

Son olarak şu fani alemde (π) ye çok daha farklı anlamlar yüklemek yerine, Kur’ân’ı Kerîm'de 3. Surenin 14. Ayetine bakıp konuyu noktalayalım.

Kuran-ı Kerim'de buyuruldu ki: "Nefsanî arzulara, kadınlara, oğullara, yığın yığın biriktirilmiş altın ve gümüşe, salma atlara, sağmal hayvanlara ve ekinlere karşı düşkünlük insanlara çekici kılındı. Bunlar, dünya hayatının geçici menfaatleridir. Hâlbuki varılacak en güzel yer, Allah katındadır." (Âl-i İmran Suresi, Sure 3, Ayet 14)

Kologaritma

Kologaritma, gerçek sayılar kümesinde (R) tanımlı olan bir x sayısının çarpmaya göre tersinin logaritmasıdır. A sayısının kologaritması cologA ile gösterirlir. Buna göre bir sayının kologaritması şu şekilde tanımlanır.: cologx= - logx Kologaritmanın kullanıldığı yerlerden biri pH hesaplamalarıdır. 

pH, sulu çözeltilerde hidrojen iyonu aktivitesi için çok önemli bir rol oynar. Kimyada, çözünmüş hidrojen iyonu aktivitesinin ölçüsüne pH denir. pH bir çözeltinin asitlik veya bazlık derecesini tarif eden bir ölçü
birimidir. pH=7 iken çözelti nötr kabul edilir. pH>7 olduğu zaman çözelti bazik olur. pH<7 olduğu zaman da çözelti asidik olur. Suda iyonlaştığında "hidrojen" iyonu (H⁺) veren maddelere Latince ekşi anlamına gelen "asit" denir. Bazlar ise suda iyonlaştığında çözeltiye "hidroksil" (OH^-) iyonu verirler.

ÖRNEK:

log3= 0.477 ise colog3= -log3= -0.477= Bu ifade karakteristik ve mantis kullanılarak da yazılabilir. -0.477+1-1 =olur. -1+0,523 (Bkz. Karakteristik ve Mantis)

ÖRNEK: 0,055 M HNO3 çözeltisinin pH’ını hesaplayınız.

Çözüm: HNO3 kuvvetli asittir. 𝐻𝑁𝑂3 → 𝐻 + 𝑁𝑂3 denkleminde son çözeltide H+’nın konsantrasyonu 0,055 M olur. pH=-log[H+]=-log(0,055)=1,26<7 olduğundan asidiktir.

ÖRNEK: 0,10 M NaOH’un pH’ını hesaplayınız 

Çözüm: NaOH kuvvetli baz olduğundan pOH hesabı üzerinden gidilir. NaOH → Na + OH Çözünme denklemine göre son çözeltideki OH- konsantrasyonu 0,10 M’dır. pOH = -log[OH-] = -log(0,10) = 1,00 olur.  Bu durumda pH=14-pOH=14-1=13

ÖRNEK:Bir çözeltinin pH’ı 6,88’dir. H+ ve OH- konsantrasyonlarını ve pOH’ı bulunuz.

Çözüm: pH=-log[H+] olduğundan [H+]=(10^-pH)=(10^-6,88) =1,32 x 10^-7 M bulunur.  pOH=14-6,88=7,12 buradan da [OH^-]=(10^-pH)=10^-7,12 =7,59 x 10^-8 M olur.

Logaritma Mantisi ve Karakteristiği

Herhangi bir tam sayının logaritması, birisi tam sayı diğeri de kesirli kısımdan ibaret olmak üzere iki parçadan ibarettir. Yani herhangi bir tabanda logaritma alınırken sonuç ya tamsayı olarak çıkar ya da tam ve ondalıklı kısım olarak iki parçalı olarak çıkar. Logaritma hesaplandıktan sonra ortaya çıkan sonuçta tamsayı parçasına "logaritmanın karakteristiği" adı verilir. Onluk tabanda yazılan bir tam sayının logaritması alındığında, onun kuvvetleri şeklinde yazılabilen parçasının 10'un tam kuvvetlerine göre benzetilmesiyle karakteristik hesaplanır. 

Logaritma karakteristiği, bir sayının onluk tabandaki değerinin basamak rakamları sayısının bir eksiği kadar olur. Yani herhangi bir sayının basamak sayısı verildiğinde, bu sayının onluk tabandaki logaritmasının karakteristiği, o sayının basamak sayısının 1 eksiği kadar olacaktır. 

ÖRNEK:

576 sayısının karakteristiği sayı 3 basamaklı olduğundan karakteristik 2 olacaktır. Çünkü 576 sayısı 10'un kuvvetlerine göre yazıldığında 10'un 2. kuvveti ile 10'un 3 kuvveti arasında yer alacağından log576 değeri hesap makinesinden veya logaritma cetvellerinden log576=2.7604224 hesaplanır ki bu durumda tam kısım 2 olduğundan karakteristik de 2 olarak bulunur. 

 

ÖRNEK:

9326 sayısının karakteristiği sayı 4 basamaklı olduğundan karakteristik 3 olur. log9326 değeri hesap makinesi ile hesaplandığında log9326=3.9696954 olduğundan tam kısım 3 bulunduğu için karakteristik 3 olur. 

 

Logaritma hesaplandığında bulunan sonuçta ondalıklı kısma logaritmanın mantisi denir. Logaritma mantisleri hesaplanarak logaritma cetvelleri oluşturulur. Logaritma cetvellerinde sayıların yanlarında gösterilen logaritma değerleri yalnızca hesaplanan bu mantis değerlerinden ibarettir. Logaritma cetvellerinde tam kısımlar yer almaz. 1'den küçük sayıların onluk tabanda logaritmaları hesaplanırken onun negatif kuvvetleri olacağından tam sayıdan sonra sonuçlanan kesirli ifadelerde 0 tam sayısından sonra virgülden itibaren ondalıklı kısım yer alır. Mantis negatif olamaz. Negatif olamayacağı için logaritması bulunan sonuca ifadeye (+1) ve (–1) eklenir. 

 

Logaritma tabloları (logaritma cetvelleri) ondalıklı kısım olarak belli bir adede göre verilmiştir. Gerçekte ise logaritma cetvelleri hesap makinelerinden bulunan sonuçlara göre çok daha fazla ondalıklı basamağı içerir. Elektronik hesap makinaları yaygınlaşmadan önce, yani 20. yüzyılın ikinci yarısına kadar mühendislik kitaplarında logaritma cetvellerine yer verilmiştir.

 

ÖRNEK:

log9326=3.9696954 olduğundan tam kısım 3 bulunduğu için karakteristik 3 ve mantis değeri de 0,9696954 olur.  

 

ÖRNEK:

Bir sayının logaritması loga = 1,541 ise loga ifadesinde tam kısım(karakteristik) 1, ondalık kısım (mantis) 0,541 olarak görülür.

 

Karakteristik ve mantiste karıştırılan bir durum logaritmanın değerinin negatif olduğu durumdur. Mantis kullanım yararı açısından her zaman pozitif olarak gösterilmesi gerekir. Dolayısıyla logx=-1,4 ise burada karakteristik -1 ve mantis de -0,4 şeklinde yazılmaz. Mantisi düzgün olarak ifade etmek istediğimizde negatif bir tam sayıya, pozitif bir ondalık sayı eklediğimizde -1,4 sayısını bulmalıyız. Bunun için basit bir çıkarma işlemi yaparsak -1,4= -2+0,6 olarak yazılırsa Karakteristik -2 ve mantis de 0,6 olarak bulunur. Demek ki logaritma değeri negatif ise tam kısımdan 1 çıkarılır ve ondalık kısıma da 1 eklenmesi gerekir. (-1,4)= (-1)+(-0,4)= (-2)+(0,6) Karakteristiğin -2 ve mantisin 0,6 olduğu gösterilir. 

 

****1 den büyük bir sayının logaritmasının karakteristiği, bu sayının tam kısmının basamak sayısının 1 eksiğidir.

 

log83576= 4.9220815 olduğundan karakteristiği 4 ve mantisi de 0,9220815 olur.

****0 ile 1 arasındaki bir sayının logaritmasının karakteristiği, sayının ondalık yazılışında, sıfırdan farklı ilk rakamın solundaki tüm sıfırların sayısının negatif işaretlisidir.

log0,03=-1.52287874528=-2+0.47712125 şeklinde yazılması ile mantis değeri 0.47712125 olur.

****Bir sayının logaritmasının karakteristiği negatif ise, karakteristik pozitif olarak yazılır ve tam kısım üzerine (–) işareti konulur.

 Büyük bir sayının basamak sayısı bulunurken sayının verilen tabana göre logaritması alınır. Gerekli düzenlemeler yapıldıktan sonra logaritma cetvelinden bulunan değerle çarpma işlemleri yapılarak büyük sayının logaritma sonucu hesaplanmış olur. Hesaplanan logaritma sonucuna göre sayının basamak değeri, karakteristiğin bir fazlası alınarak bulunur.

Guido Grandi ıraksak serisi

1–1+1–1+1–1+… İşleminin Sonucu Kaçtır? Grandi Serisi ile tanışma vakti... Serinin toplamındaki görünen basitliğine rağmen Grandi serisi, matematikteki oldukça ilgi çekici serilerden bir tanesidir. 1-1+1-1+1-1+… şeklinde sonsuza kadar devam eden bu seri, ismini İtalyan matematikçi Guido Grandi’den alır. Grandi serisi, ıraksak serilerin klasik bir örneğidir. Iraksak seriler, yakınsak serilerin aksine limit değeri olarak belli bir değere yaklaşmaz. Bu nedenle ıraksak seriler, matematiksel tartışma için harika bir zemin sunar. Ayrıca Grandi serisinin bu kadar ilgi çekmesinin bir nedeni de toplamanın tartışmalı doğasıdır. Çünkü uygulanan toplama yöntemine bağlı olarak seri farklı sonuçlar vermektedir. Bu serinin toplamı, kimilerine göre 1, kimilerine göre 0, kimilerine göre de 1/2 dir. Şimdi bu sonuçların nasıl bulunduğunu incelemeye çalışalım.

Luigi Guido Grandi (1671 – 1742) İtalyan papaz, filozof, teolog, matematikçi ve mühendistir. Grandi matematikte en çok, taç yapraklı bir çiçek şeklindeki gül eğrisini inceleyen "Flores Geometrici" (1728) adlı çalışması ve "Grandi serileri" ile tanınır. Guido Grandi, 1671 yılında İtalya’nın Cremona kentinde doğdu. Matematikçi olmasının yanı sıra bir keşiş olan Grandi, Camaldolese tarikatının bir üyesiydi. Dine olan bağlılığı, akademik çalışmalarının önünü açarak kolayca akademik kaynaklara, çeşitli eserlere ve bağlantılara ulaşmasına kolaylık sağlıyordu. Bu yüzden Grandi’nin çalışmaları, genellikle teolojik ve matematiksel ilgilerinin iç içe geçmesiyle oluşuyordu. Bu sayede Grandi, matematiksel kavramlara dinsel açıklamalar da yaparak dönwmine göre benzersiz sayılabilecek bir bakış açısı getirmiştir. Matematikte Grandi, en çok, "petaled çiçek" şeklindeki bir eğri olan gül eğrisini inceleyen "Flores geometrici" (1728) adlı çalışmasıyla ve Grandi serisiyle tanınır. Grandi, gül eğrisine "rhodonea" adını verdi. Gül ve çiçeklere benzeyen eğriler üzerinden uzun bir zaman dilim içerisinde çalışarak bugün birçok alanda kendi isminin duyulduğu "Grandi'nin gülleri" teorisini kabul ettirmeyi başardı. n pozitif bir doğal sayı olarak düşünülmek şartıyla, kutupsal koordinatların verdiği asıl koordinatlara göre denklemi  r=a.sin(nx) ve  r=a.cos(nx) olan eğriler, matematik literatüründe, "Grandi'nin gülleri" olarak bilinir. 

İtalyan matematikçi Grandi, kendi adını taşıyan Grandi serisini ilk kez 1703 yılında incelemiştir. 1-1+1-1+1-1+… serisinde toplamını hesaplarken sadece parantezlerin yerini değiştirerek serinin toplamını 0 ya da 1 şeklinde bulabileceğini gözlemlemiştir. Grandi bu gözlemini şu şekilde yapmıştır:

I. Çözüm yolu:

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …= 0 + 0 + 0 + …= 0

II. Çözüm yolu:

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …= 1 + 0 + 0 + 0 + …= 1

Guido Grandi’ye göre serinin toplamının hem 0 hem de 1 edebilmesi dini açıdan teolojik bir anlam barındırıyordu. Başlangıçta 0 olan toplam sadece bir parantezin kaymasıyla 1 oluyordu. Grandi’ye göre bu durum, yoktan yaratılışın nasıl mümkün olduğunu gösteren bir kanıttı. Grandi’nin bulguları matematik camiasında oldukça yankı uyandırdı. Bazı çağdaşları, Grandi’nin vardığı sonuçları paradoksal veya saçma olarak değerlendiriyordu. Bazıları ise Grandi’nin fikirlerinin daha fazla araştırılması gerektiğini düşünüyordu. Böylece ondan sonraki matematikçiler, matematikteki yakınsama ve ıraksama kavramları üzerine derinleşerek Grandi serisine bir çözüm bulmaya çalıştılar.

Bir serinin toplamının iki farklı sonucunun olması pek kabul edilebilir bir şey değildir. Bu nedenle Grandi de dahil olmak üzere birçok matematikçi benzer serilerin sonuçlarını tam olarak bulmaya ve çözüm için farklı yaklaşımlar geliştirmeye çabalamışlardır. Böylece Grandi serisinin sonucuna ilişkin birçok yorum ortaya atılmıştır.

Peki 1-1+1-1+1-1+… İşleminin Sonucu Kesirli Olabilir mi?

Burada gösterilen seri toplamı 1-1+1-1+1-1+…. işlemi için en kabul gören kesirli sonuçların başında 1/2 cevabı gelir. Grandi ve ondan sonra gelen birçok 18. yüzyıl matematikçisi bu serinin toplamının cevabının 1/2 olacağını savunmuştur. Ama tam sayıların toplamından oluşan bir serinin cevabı neden 1/2 olsun ki?

Grandi cevabın 1/2 olabileceğini şu şekilde özetliyor: "Eğer iki kardeşin babalarından tek bir adet mücevher aldığını ve bu mücevheri dönüşümlü olarak kendi müzelerinde saklamak istediğini hayal edin. Bu gelenek onların çocuğuna da geçerse her iki ailenin de toplamda 1/2 adet mücevheri olur." 

Ünlü matematikçi G. W. Leibniz ise Grandi’nin bu açıklamasına katılmış ve bunu olasılıksal akıl yürütmeyle doğrudan desteklemeye çalışmıştır. Bu noktada Leibniz, serileri rastgele bir noktada toplamayı bıraktığımızda o noktaya kadar olan toplamın eşit olasılıkla 0 ya da 1 olacağını, bu nedenle bunların ortalaması olan 1/2’yi cevap olarak almanın mantıklı olacağını savunmuştur. 

Topoloji ve analitik sayı teorisi, karmaşık analiz ve sonsuz küçük hesabı gibi matematiğin diğer birçok dalında öncü ve etkili keşifler yapan ünlü İsviçreli matematikçi, fizikçi, astronom, coğrafyacı, mantıkçı ve mühendis Leonhard Euler (1707 – 1783) serinin toplamının 1/2 cevabını savunmak için daha karmaşık yöntemler kullanmıştır. 1760 tarihli De Seriebus divergentibus (Farklı Seriler Üzerine) adlı makalesinde 1-1+1-1+1-1+… ile 1/2 kesrinin eşdeğer nicelikler olduğunu ve birini diğerinin yerine her daim koyabileceğimiz konusunda hiçbir şüpheye yer olmadığını iddia etmiştir. 

Dönemin matematikçilerin yaklaşımlarına göre 1−1+1−1+1−1+1−1+...… toplamını hesaplamanın en basit yolu, onu bir iç içe seri olarak algılamak ve toplama veya çıkarma işlemlerini doğrudan bu kısmi toplamlarda gerçekleştirmektir. Buna göre iki farklı çözüm yolu elde edilir. 1. Çözüm yolunda en baştan itibaren paranteze alınarak işlem yapılırsa;

(1 − 1) + (1 − 1) + (1 − 1) + … = 0 + 0 + 0 + … = 0 sonucu elde edilir. Öte yandan, ikinci çözüm yolunda, terimler farklı bir yolla öbeklendirildiğinde parantezin yeri değiştirilerek oluşturulan seri toplamı, yukarıda elde edilen 0 sonucuyla çelişir ve 1 sonucu elde edilir.

1 + (−1 + 1) + (−1 + 1) + (−1 + 1) + … = 1 + 0 + 0 + 0 + … = 1

Grandi serisini parantez yardımıyla öbeklere ayırma yoluyla ulaşılabilen "değerler" 0 ve 1'dir. Eilenberg–Mazur hilesi olarak adlandırılan benzer bir yöntem, sicim kuramı ve cebirinde zaman zaman kullanılmaktadır. Üçüncü bir yaklaşım olarak; Grandi serisi bir ıraksak geometrik seri olarak ele alındığında, yakınsak geometrik serilere uygulanan yöntemler bu seriye uyarlanarak farklı bir çözüm değeri bulunabilmektedir.

S = 1−1+1−1+1−1+1−1+...…, ve bu seriyi 1 den çıkarırsak

1 − S = 1 − (1−1+1−1+1−1+...…) = 1 − 1 + 1 − 1 + … = S bulunur. 

1 − S = S olduğundan

1 = 2S  olur ki bu durumda S= 1/2 olur. Yani S = 1 − 1 + 1 − 1 + …serisinin toplamı 1/2 olur.

Seri üzerinde yapılan bu oynamalar, bir serinin toplamının tam olarak ne ifade ettiği konusuna odaklanmaktadır. Serileri isteğe göre öbeklere ayırmak ve bunlar üzerinde dört işlem uygulaması yapmak her ne kadar önemliyse de kesin olarak şu sonuçlara ulaşılabilir:

Buna göre Grandi serisinin toplamı için sunulan çözümler özetlenirse;

(a) 1−1+1−1+1−1+...… serisinin bir toplamı yoktur.

(b) 1−1+1−1+1−1+...…serisinin bir toplamı, 0 dır.

(c) 1−1+1−1+1−1+...…serisinin bir toplamı, 1 dir.

(d) 1−1+1−1+1−1+...…serisinin bir toplamı 1/2 olur.

Böylece sıralanan çözümlerdeki ifadeler, doğrulanabilir ve kanıtlanabilir durumda olmuş olur.

Cesàro ve Abel Toplamlarına Göre Grandi Serisinin Toplamı Kaçtır?

Bunun için öncelikle matematikteki ıraksama ve yakınsama kavramlarına bakmamız gerekir. 1-1+1-1+1-1+… gibi bir seride kısmi toplamların dizisi sonlu bir limite yakınsamıyorsa, sonsuz serimiz ıraksak demektir. Grandi serisi de ıraksak serilere bir örnektir. Grandi serisinin kısmi toplamlarını incelediğimizde değişen bir model gözlemleriz. İlk kısmi toplam 1, ikincisi 0, üçüncüsü yine 1’dir ve bu böyle devam eder. Bir cevap hem 0 hem de 1 oluyorsa o zaman cevap, kısmi toplamlar dizisin ortalaması olan 1/2 olur.

Önce kısmi toplamlar nedir onu öğrenelim. Kısmi toplamlar serinin belirli bir adetteki teriminin toplamıdır. Örneğin: 1,2,3,4... diye giden bir seride;

S1=1

S2=1+2=3

S3=1+2+3=6

S4=1+2+3+4=10

olur. Bu toplamı aynı şekilde Grandi serisindeki değerlere uygulayalım. 

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +........serisi için kısmi toplamları yazalım:

S1=1

S2=1-1=0

S3=1−1+1=1

S4=1−1+1-1=0

......

Bu durum serinin tek bir sonlu değere yakınsamadığını gösterir. O nedenle bu seri ıraksak olarak sınıflandırılır. Iraksak olmasına rağmen matematikçiler, bu tür serilere sonlu değerler atamaya çalışmıştır. Bunu yaparken kullandıkları yöntemlerden biri de Cesàro toplamasıdır. Cesàro toplamasında ıraksak serilerin kısmi toplamlarının ortalamasını dikkate alarak sonuca ulaşırız. Grandi serisi için kısmi toplamları düşünecek olursak, Sn, n’inci kısmi toplamsa Cesàro toplamı n sonsuza yaklaştıkça bu kısmi toplamların ortalamasının limitidir. Bu durumda kısmi toplamlar dizisi 0 ile 1 arasında değişir. Ve n sayısı sonsuza kadar büyüdükçe, bu kısmi toplamların ortalaması alınarak 1/2’ye yaklaşan (0+1+0+1+…)/n ortalamasını verir. Böylece, Cesàro toplamı Grandi Serisine 1/2 değerini atar. Cesaro'nun Toplamı, bu kısmi toplamların ortalamasını bularak ıraksak serinin toplam sonucuna bir sonlu değer (1/2) bulmamızı sağlar. Grandi serisinde;

S1=1

S2=1-1=0

S3=1−1+1=1

S4=1−1+1-1=0

.....

İlk terim toplamı S1=1

İlk 2 terimin kısmi toplamının S1+S2 ortalaması, (1+0)/2= 0,5, 

ilk 3 terimin kısmi toplamının S1+S2+S3 ortalaması (1+0+1)/3 = 0,667 olur ve böyle devam ettiğinde sonuçların 1/2 daha da yaklaştığını ve sonunda sonsuza kadar işlemler devam ettirildiğinde limit değerinin 1/2 olduğu kabul edilir.

Diferansiyel geometri alanında çalışmış İtalyan bir matematikçi Ernesto Cesàro (1859 – 1906), Grandi serisinin sonucuna ilişkin bir kuvvet serisini dikkate almayı düşünmüş ve bunun için  Abel toplamında Grandi serisi için 1 – x + x² – x³+ x⁴-… kuvvet serisini ele almıştır. Bu kuvvet serisinde x soldan 1’e yaklaştıkça toplamına bakılır. Bu kuvvet serisi 1/(1+x) olarak ifade edilebileceğinden bu ifade limit değeri olarak 1/2’ye yakınsar. Bu yüzden Abel toplamı da Grandi serisinin toplamının 1/2 olacağını gösterir.

Grandi Serisinin Günlük Hayattaki Yeri ve Önemi

1-1+1-1+1-1+… ile ifade edilen Grandi serisi sadece matematiksel bir merak ürünü değildir. Bu serinin çeşitli disiplinlerde derin etkileri vardır. Grandi gibi ıraksak serilerin anlaşılması teorik fizik, sinyal işleme ve bilgisayar bilimi gibi alanlarda son derece önemlidir. Teorik fizik alanında bakacak olursak ıraksak seriler, kuantum alan teorisi ve sicim teorisinde karşımıza çıkar. Grandi serisi gibi seriler burada renormalizasyon sürecine yardımcı olur. Sinyal kontrolü ve işlemede Grandi serisi sinyallerin analizi ve manipülasyonu sırasında karşımıza çıkar. Iraksak serilerin anlaşılmasından türetilen teknikler gürültü azaltma ve sinyal iyileştirme algoritmalarında kullanılır. Bilgisayar bilimlerinde, özellikle algoritma tasarımı ve analizi alanında ıraksak serilerden yararlanılır. Bu serilerin davranışını anlamak büyük veri kümelerini daha etkili bir şekilde işleyen optimize edilmiş kodların oluşturulmasını sağlar. Kısacası Grandi serisinden türetilen kavramlarının birçok pratik uygulaması olduğunu söylemek mümkündür. Bu nedenle 1-1+1-1+1-1+… gibi basit görünümlü bir serinin geniş kapsamlı incelenmesi saf matematiğin ötesinde, geniş kapsamları olan etkilere sahiptir.

Thomson’s Lamp (Thomson'ın Lambası), filozof J.F.Thomson tarafından 1954 yılında görevlerin de paradoksal olabileceğini göstermek için tasarlanan, Grandi serisiyle ilişkilendirilmiş çok ilginç bir felsefi paradokstur. Elealı Zenon'un (MÖ 495–MÖ 430) paradoksları üzerine inşa edilen zamanın bir ilüzyon olduğunu gösteren Thomson deneyi, bir lambanın açılıp kapanma sürecini sonsuz bölünebilir adımlarla ele alır ve paradoksal sonuçlar doğurur. Her adımda lamba açıkken sonra kapalı olacak şekilde hareket edilirse, lambanın hem açık hem kapalı olduğu iddiası ortaya çıkar. Bu düşünce deneyi, zamanda sonsuzluk ve paradokslara dair bazı temel felsefi tartışmaları da beraberinde getirmiştir. Filozof Derek Parfit (1942-2017) kişisel kimlik ve benliğin sürekliliği çalışmaları bu paradoksla ilişkilendirilebilir. Derek Parfit, kişisel kimliğin özde bir sürekliliğe değil, hafızaya ve psikolojik sürekliliğe dayandığını savunmuştur. Bu nedenle, bir bireyin geçmiş ve gelecek versiyonlarının aslında aynı kişi olmadığını öne sürmüştür. Parfit'e göre, kişisel kimlik ve zaman algısı bir illüzyondur ve kişiler aslında birbiri ardına gelen deneyimler, düşünceler ve duygular silsilesinden ibarettir. Thomson'ın Lambası, zamansal paradokslara ve sonsuzluk kavramına ilişkin düşünmeye yönlendiren daha somut bir düşünce deneyidir. Bu paradoksta, bir lambayı açıp kapamak suretiyle sonsuz adımlı bir süreçte, lambanın hem açık hem de kapalı olma durumu incelenmiştir. 

Thomson lamba deneyinde zaman kavramı şu şekilde sorgulanır: Diyelim ki bir lamba var ve iki kişi bu lambayı belli bir kurala göre açıp kapatıyor. 1.kişi lambayı açıyor. 1 Dakika sonra diğer kişi lambayı kapatıyor. Tekrar birinci kişi 1/2 dk (30 sn) sonra lambayı açar. 1/4 dk (15 sn) sonra diğer kişi kapatır. Bu şekilde her seferinde birbiri ardına gelen bu kişiler süreyi yarıya indirerek devam ediyor. Bu döngüye sonsuza kadar devam ediliyor.

Burada lambayı +1 olarak açıp, 0 olarak kapatmayı düşünelim. Thomson’un deneyinin Grandi’s serisi ile aynı olduğu görülür.

AÇIK, KAPALI, AÇIK, KAPALI = 1, 0, 1, 0, 1 …

Zamanlamalara gelince, 1 dk için ON, 1/2 dk için OFF, 1/4 dk için ON .... 

Bu lamba deneyindeki toplam süreyi veren sonsuz seri toplamı; 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... 'dan başka bir şey değildir. Bu nedenle, adım sayısı sonsuz olsa da, seri toplamı bir sonlu zamanda (1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... =2 dakika) tamamlanabilir. Onu süper görev yapan şey de tam olarak budur. Lambanın AÇIK, KAPALI, AÇIK, KAPALI = 1, 0, 1, 0, 1 … şeklinde sonsuza döngüye sahip olarak devam etmesi Grandi serisi ile toplandığında 1/2 olur ki bu durum lambanın AÇIK veya KAPALI olduğu anlamlarına neyi ifade eder? Soruyu cevaplandırmanın  bir yolu olarak, lambanın eşit olasılıklarla ON veya OFF olabileceği söylenebilir.

Görüldüğü gibi, sonsuz sayıda terim içeren toplamlar, yani sonsuz seriler, toplama ve çıkarma gibi çok temel matematiksel kavramlara dair anlayışımızı zorlayabilir. Bu durumda sonsuz seriler çeşitli biçimleriyle gündelik yaşamımızda farklı yaklaşımlarla kullanılabilir.

Kaynakça:

https://en.wikipedia.org/wiki/Grandi%27s_series

https://thatsmaths.com/2018/07/12/grandis-series-divergent-but-summable/

https://themathophile.wordpress.com/2020/04/12/grandis-series/

https://infinitesimallysmall.com/2021/03/01/grandis-series/

https://www.academia.edu/31100989/Final_version_on_Grandis_series

https://plus.maths.org/content/when-things-get-weird-infinite-sums

Melike Üzücek, www.matematiksel.org