Çarpanlara ayırma özdeşlik Modellemeleri

Çarpanlara ayırma sorularında sıklıkla karşılaşılan bazı özdeşlikler vardır. Matematikte özdeşlik, bilinmeyenin her değeri için doğru olan (açık önermeler) eşitliklerdir. Bir özdeşlik ifadesi, içerisinde bulunan değişkenlerin (bilinmeyenlerin) aldığı tüm gerçek sayı değerleri için doğru olur. Özdeşlik ile denklem ifadesi birbirinden farklıdır. Bir özdeşlikte, değişken yerine yazılabilecek tüm gerçek sayılar için özdeşlik  ifadesi sağlanmakta iken denklemlerde sadece bazı gerçek sayı veya sayılar için denklem doğru olur. Bazı denklemlerin de doğruluğunu sağlayacak herhangi bir reel sayı bulunamaz. Yani bir denklemin çözüm kümesi, ya vardır ya da yoktur. Özdeşlikte ise bilinmeyenin yerine hangi sayı yazılırsa yazılsın hep sağlanır, sonuç doğrulanır.  

Tam kare özdeşliği, iki kare farkı özdeşliği ve küp açılımı gibi özdeşlikler, matematikte en sık kullanılan özdeşliklerden bazılarıdır. Bu özdeşliklerin doğruluğu, bazı matematiksel modellemeler ile elde edilebilir. Aşağıda tam kare özdeşliği, iki kare farkı özdeşliği ve küp açılımı gibi özdeşliklerin matematiksel modellemeleri verilmiştir.

Küp açılımı özdeşlikleri ve modellemesi

Küp açılımları ifade edilirken binom açılımı ve üç boyutlu cisimlerin hacim özelliklerinden yararlanılır. Küp; bütün kenarları birbirine eşit olan taban ve yan yüzeyleri kare olan üç boyutlu, kapalı bir geometrik cisimdir. Bir küpün hacmi, taban alanı ile yüksekliğin çapımı ile bulunur. 

(x - y)³ = x³ - 3.x².y +3.x.y²-y³ 

veya 

(x +y)³ = x³ +3.x².y +3.x.y²+y³ 

Binom katsayıları belli olan (x - y)³ ve (x + y)³ parantez içindeki x ve y değişkenlerinin azalan kuvvetlerine göre açılmış ifadelere "küp açılımı" adı verilir. 

Küp açılımı ifadesi, binom açılımının özel kuvvete göre 3.dereceden açılımıdır. Küpler farkı ve küpler toplamı gibi özdeşliklerin modellemeleri gösterilirken; herhangi bir küp üzerinde uygun matematiksel modelleme yapılır. Aşağıda küp özdeşliklerinin matematiksel modellemeleri verilmiştir.

Tam kare özdeşliği ve modellemesi

Özdeşlikler, içerdikleri değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için doğru olur. Özdeşlik ile denklem ifadesi birbirinden farklıdır. Bir özdeşlikte, değişken (bilinmeyen) yerine yazılabilecek tüm gerçek sayılar için özdeşlik ifadesi doğru olurken, denklemlerde sadece bazı gerçek sayı veya sayılar için denklem doğru olur. 

Tam kare özdeşliği, iki farklı değişkenin (terimin) toplamı veya farkının karesi olarak tanımlanabilir. İki terim toplanıp, bu toplamın karesi alınarak elde edilen sonuç ile bu açılımdaki terimlerin ayrı ayrı karelerinin alınarak toplanması ve bu toplama iki teriminin çarpımının iki katının ilave edilmesi ile elde edilecek olan sonuç, birbirine eşit olmaktadır.

(x + y)² = x² + 2.x.y + y²   ve  

(x - y)² = x² - 2.x.y + y² ifadelerine tamkare özdeşliği denir. Bu özdeşliğin doğruluğu, bazı matematiksel modellemeler ve cebirsel işlemlerle gösterilebilir. Aşağıda tam kare özdeşliğinin bir matematiksel modellemesi verilmiştir.

İki kare farkı özdeşliği ve modellemesi

Özdeşlikler, içerdikleri değişkenlere verilecek bütün gerçek sayılar için doğru olur. Özdeşlik ile denklem ifadesi birbirinden farklıdır. Bir özdeşlikte, değişken yerine yazılabilecek tüm gerçek sayılar için özdeşlik ifadesi doğru olurken, denklemlerde sadece bazı gerçek sayı veya sayılar için denklem doğru olur. 

İki kare farkı özdeşliği: iki terimin karelerinin farkı olarak ifade edilir. Bu özdeşlikteki terimlerin ayrı ayrı kareleri alınıp farkı bulunursa; bu sonuç, terimlerin birbiriyle toplamı ile terimlerin farkının beraber çarpımının sonucuna eşit olur. Yani a²- b ²= (a-b).(a+b) olarak ifade edilen bu özdeşliğe, "iki kare farkı özdeşliği" denir.  İki kare farkı özdeşliği, a ve b sayılarına verilebilecek her gerçek sayı için doğrulanır.

Bu özdeşliğin doğruluğu, bazı matematiksel modellemeler ve cebirsel işlemlerle elde edilebilir. Aşağıda iki kare farkı özdeşliğinin bir matematiksel modellemesi verilmiştir.

Matematiksel Modelleme ve Problem Çözme

Modelleme ile ilgili önemli sorulardan birisi, modelleme ile problem çözme arasında bir fark olup olmadığı; eğer varsa bu farkın ne olduğudur. Matematiksel modelleme en çok geleneksel sözel problemlerle karıştırılabilmektedir. Reusser ve Stebler’e (1997) göre geleneksel sözel problemler, öğrencilerde kitapta olan veya öğretmen tarafından sorulan her problemin çözülebilir ve çözülmesi gereken bir problem olarak düşünme; problem anlaşılmadı ise doğru matematiksel işlemleri seçmek için anahtar kelimelere veya daha önce çözülen benzer problemlere bakma gibi bazı didaktik kabullerin gelişmesine sebep olmaktadır. Ayrıca, sözel problemlerde gerçek hayat durumu gibi yansıtılan durumlar genellikle bir gerçek hayat durumu da değildir (Niss ve ark., 2007). Bu problemlerde bütün değişkenler belli, idealleştirilmiş ve gerçeklikten uzak, yapay bir durum söz konusudur.

Sözel problemleri çözerken öğrenciler sıklıkla gerçek hayat durumlarını ve deneyimlerini göz önünde bulundurmadan sadece işlemlere odaklanmaktadırlar (ör. Greer, 1997; Nunes, Schliemann ve Carraher, 1993). Sözel problemlerdeki gerçekçi durumu öğrencilerin nasıl algıladıklarını matematiksel modelleme bağlamında inceleyen birçok çalışma vardır (Greer 1997; Verschaffel ve De Cor - te, 1997; Verschaffel, De Corte ve Borghart, 1997; Verschaffel ve ark., 2002). Bu çalışmalarda öğrencilerin sözel problemleri çözerken gerçek hayat durumlarını da göz önünde bulundurma becerilerini geliştirmek hedeflenmiştir. Kullanılan soru türleri aşağıdaki örnekte de görüldüğü gibi geleneksel sözel problemlere çok benzemekle birlikte, göz önünde bulundurulması gereken bir gerçek hayat durumu söz konusudur.

 “228 kişilik bir turist kafilesi yüksek bir binanın tepesinden şehri izlemek istemektedir. Binada kapasitesi 24 kişilik tek bir asansör bulunmaktadır. Asansör bütün kafileyi binanın tepesine çıkarabilmek için kaç sefer yapmalıdır?” (Vers - chaffel ve De Corte, 1997, s. 584)

Bu problemde, geleneksel sözel problemlerden farklı olarak (ondalık) kesir olarak çıkan bir sonucun öğrenciler tarafından nasıl yorumlandığını sorgulamaktadır. Burada öğrencilerin sözel problemlere verdikleri cevapları gerçek hayat bağlamında da test etme becerilerini geliştirme amaçlanmıştır. Yani 228’in 24’e bölümü sonucu kalan 12 kişi için asansörün bir sefer daha yapması gerektiği fikri öğ - rencilere kazandırılmaya çalışılmaktadır. Böylece bu tür sözel problemler matematiksel modelleme için başlangıç uygulamaları olabilir (Verschaffel ve De Corte, 1997). Ancak yine de, bu tür problemlerde idealleştirilmiş bir gerçek hayat durumunun bütün bilinenleri, bilinmeyenleri ve sonucu bulmak için yapılacak işlemler anahtar kelimelerle sorunun içerisinde gizlenmiştir. Lingefjard (2002b), modelleme sürecinde öğrencilerin yaşadıkları birçok alt sürecin problem çözme olduğunu ve matematiksel modelleme ile problem çözme arasında bir karşılaştırma yapmanın çok anlamlı olmadığını ifade eder. Fakat yine de, matematiksel modelleme ve geleneksel problem çözme arasındaki farklar ve benzerlikler birçok araştırmacı tarafından incelenmiştir (ör. Lesh ve Doerr, 2003a; Lesh ve Zawojewski, 2007; Mousoulides, Sriraman ve Christou, 2007; Zawojewski ve Lesh, 2003). Bu çalışmalarda geleneksel problemlerle kıyaslandığında matematiksel modelleme problemlerinin daha açık uçlu, öğrencilere farklı düşünme fırsatları sunan, daha gerçekçi ve anlamlı öğrenmeyi destekleyen özelliklere sahip olduğu ifade edilmektedir.
Lesh ve Zawojewski (2007), Polya geleneğini devam ettiren problem çözme çalışmalarının betimsel düzeyde kalmakta olduğu ve öğrencilerin gerçek hayatta problem çözme becerilerini geliştirme sorununa bir çözüm sunmadığı için eleştirmektedir. Bu araştırmacılara göre problem çözme alan yazınında bahsedilen problemi anlama, bir strateji belirleme, uygulama ve test etme gibi aşamalar çalışmaların çoğunda ortaya çıkan ve farklı terimlerle adlandırılan sıralı yapıyı ifade etmektedir. Bununla birlikte, yine alan yazında belli başlı problem çözme stratejileri tanımlanmaktadır. Gerçek hayatta bireylerin ileriki yaşamlarında karşılaşabilecekleri problem durumları daha karmaşık olacaktır. Lesh ve Doerr (2003a) ve Lesh ve Zawojewski (2007) gibi araştırmacılar tarafından tartışılan fikirler doğrultusunda hazırlanan matematiksel modelleme ve problem çözmenin bir karşılaştırması aşağıda verilmiştir.

Üçgende Açıortay Dikmeleri

Açıortay, geometride herhangi bir açıyı iki eşit açı şeklinde bölen doğru parçasıdır. Özel olarak herhangi bir üçgende iç veya dış açılardan herhangi birisini iki eşit ölçüde ayıracak şekilde çizilen doğru parçasına o açının açıortayı denir. Eğer bu açı dış açı ise bu doğru parçası dış açıortay, bölünen bu açı iç açı ise o zaman da bu doğru parçası iç açıortay olarak isimlendirilir. Bir açıya teğet tüm çemberler çizilerek merkezleri birleştirilirse, o açının açıortayı elde edilir. Bu nedenle açıortaylardan açının kollarına indirilen dikmeler, o çemberlerden birinin merkezinden teğetlere inilen yarıçap dikmeleri olacağından, dikmeler birbirine eşit olur. Her iki kolda oluşan üçgenler de birbirine eşit olacağından, dikmelerin açıortay kollarını kestiği noktalar ile açının bulunduğu köşeye olan uzaklıklar eşit olur.

Bir üçgende iç açıortaylar bir noktada kesişir. Bu nokta üçgenin iç teğet çemberinin merkezidir. Bu noktanın iç teğet çemberi olmasının sebebi ise, iç açıortayların kesişim noktasından kenarlara inilen dikmelerin birbirine eşit olmasıdır (çember merkezden teğetlere çizilen doğru parçaları teğete diktir ve hepsi yarıçaptır). Bir üçgende açıortayla ilgili iki önemli bağıntı vardır. Bunlardan birisi (Bkz. Açıortay teoremi) Bu teorem bir tür kenar ve açıortay parçaları oranıdır.

 

Bu teoreme göre üçgenin bir kenar uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranı, diğer kenarın uzunluğu ve o kenar tarafındaki köşe ile açıortayın kenarı kestiği nokta arasındaki uzaklığın oranına eşittir.

 

Açıortayın kollarına inilen dikme uzunlukları birbirine eşittir. Ayrıca bu dikmelerin ayırdığı parçaların da uzunlukları eşittir. Alan problemlerinde bu özellik dikkate alınmalıdır.

Alan problemlerinde  açıortay oranı ile birlikte yükseklikleri aynı olan üçgenlerin tabanlarının oranından da yaralanılarak sorular çözülür.

Açıortay dikmelerini daha iyi anlamak için aşağıdaki materyal geliştirme ve modelleme çalışmasını izleyebilirsiniz.

Matematiksel model oluşturma ve materyal geliştirme ile ilgili Gazi Üniversitesi Öğretim üyesi Prof.Dr Ahmet Arıkan yönetiminde öğrenciler tarafından hazırlanmış somut bir model. Bu model üzerinde açıortayın bazı özelliklerini rahatlıkla somut bir şekilde görebiliyorsunuz.

Video izlenmiyor veya görüntülenmiyor ise aşağıdaki link üzerinden picasa web albümünden tüm materyal geliştirme ve modelleme videolarına ulaşabilir buradan bilgisayarınıza indirerek izleyebilirsiniz. video url: Materyal Geliştirme-Youtube Muallim

Matematiksel Modelleme Çeşitleri

Matematiksel modelleme çeşitleri: dört kısma ayrılır.1.Deneysel modelleme,2.Teorik modelleme,3.Simülasyon modelleme, 4.Boyutsal analiz modelleme

1.Gözlenebilen verilere dayalı olarak oluşturulan grafikleri matematiksel olarak ifade edilmesine deneysel modelleme denir. Örneğin; dünyadaki sicaklık artışının grafik ile gösterimi bir deneysel modellemedir.

2.Matematiksel modelin formüle edilmesinde, verilerden çok teoriye dayanan farklı problem çözme süreci gerektiren modellemeye teorik modelleme denir. Caddelerdeki yaya geçidi ihtiyaçlarının belirlenmesi bir teorik modelleme örneğidir.

3.Genellikle matematiksel modeller ifade edilirken cebirsel semboller kullanılır. Bazı problemlerde çözümler, analitik olarak modellenemezler. Bu tür modellemelere simülasyon modeli adı verilir. Örneğin; türev kavramının bilgisayarda fizik sel anlamını verecek bir animasyon bir simülasyon modelidir.

4.Fiziğin temel özelliklerine dayalı oluşturulan modellere boyutsal analiz modeli denir. Bu tür modelleme, bilim ve teknolojide ilişkiyi biçimlendirmede kullanılır. Örneğin; boyutu kullanarak hız ve alan arasındaki ilişkiyi temsil eden matematiksel ifadeyi bulma bir boyutsal analiz modelidir.

Modelleme terimi, bütün modelleme süreçlerini açıklamasına karşın başlangıçta bir problemin matematiksel formülünü elde etme şeklinde daha sınırlı bir süreci açıklamak için kullanılabilir. Matematiksel modelleme aşağıdaki süreçlerden oluşur.

• Modelleme süreci,
• Problemin analizi,
• Problem belirleme ve matematiksel ifade,
• Model analizi ve teknikleri.

Kaynak: MEB Lise Matematik Programı-2005

Matematik Öğretiminde Modelleme Nedir?

Matematik ve gerçek hayat problemlerinin arasındaki ilişkilerin oluşturulmasında matematiksel modelleme önemli rol oynar.Matematiksel modelleme; gerçek hayat problemlerinin matematiksel terimlerle çözümünü bulmayı temsil eden bir yöntemdir. Matematiksel modelleme; aslında gerçek hayat problemlerinin sadeleştirilmesi, soyutlanması ya da bir matematiksel forma dönüştürülmesidir. Matematiksel problem, bilinen tekniklerle matematiksel çözümü bulmak için kullanılabilir. Daha sonra bu çözüm yorumlanarak gerçek terimlere dönüştürülür.

Matematik öğrenimindeki modelleme etkinlikleri; kavramların doğrulanmasında, tanımlanmasında, genelleştirilmesindeki zorlukların ve stratejilerin gözlem ve analizinde, öğrenme ve iletişim kurma becerileri kazanma sürecinde etkin rol oynamaktadır. Matematik, kültürümüzün bir parçası ve bir sosyal fenomen olarak toplumda, doğada ve diğer disiplinlerde, uygulamalarıyla yer alır.

Matematiksel modelleme, hayatın her alanındaki problemlerin doğasındaki ilişkileri çok daha kolay görebilmemizi, onları keşfedip aralarındaki ilişkileri, matematik terimleriyle ifade edebilmemizi, sınıflandırabilmemizi, genelleyebilmemizi ve sonuç çıkarabilmemizi kolaylaştıran dinamik bir yöntemdir. Diğer bir şekli ile matematiksel modellemeler, matematiksel düşünme becerileri kazanılmasına ve bu becerilerin geliştirilmesine katkı sağlar.

Bilgisayar ortamında geliştirilen matematiksel modeller, matematikle iletişim kurulmasında olağanüstü öneme sahiptir. Özellikle, interaktif matematiksel modeller farklı disiplinlerin doğasındaki olgusal gözlemlerin mantıksal ilişkilerinin kurulabilmesinde ve soyut düşünmeye dayalı becerilerin kazınılmasında mükemmel fırsatlar sunar.

Matematiksel modellemeler ve uygulamaların öğrenimi ve öğretimi karmaşık ve zor bir alandır. Ancak, gerçek hayat problemlerinin matematiksel modelleri kavramsallaştırıldığı zaman, problemin karmaşıklığının sadeleştiğini ve anlamlandırmanın kolaylaştığını görürüz. Böylece matematiksel modeller, öğrenme sürecinde bilişsel yapıların oluşmasını kolaylaştırıp, öğrencilerin gerekli matematiksel bilgi ve becerilerini gerçek hayat problemlerine uygulayabilme davranışını kazanmalarını hızlandırır.

Kaynak: MEB Lise Matematik Programı-2005