Çokgenlerle Fraktal Oluşturma

Fraktal da amaç herhangi bir yerinden alınan parça ile büyük parçanın birbirine benzerlik göstermesidir. Fraktal oluşturma basamaklarına bu şekilde istediğiniz gibidevam ediniz. Çizdiğiniz fraktal sonsuza kadar aynı biçimde devam edecek bir yapıya bürünmüş olursa fraktal özelliği kazanmış olur.

Kareli kâğıda yukarıdaki fraktal görüntülerini çiziniz. (Büyük karenin  bir kenarının uzunluğunu istediğiniz kadar birim alınız.Örneğin 12 cm)
1. şekil için kareleri şekildeki gibi bir kenarın tam orta nokta sına gelecek biçimde birleştiriniz. Her seferinde karelerin küçüldüğünü göreceksiniz.
Her bir karenin köşelerine iki kare gelecek şekilde fraktal oluşturmaya devam ediniz.Karelerin bir kenarının her seferinde küçüldüğünü göreceksiniz. Karenin kenar uzunluklarını hesaplayınız. Bunun için özel üçgenden yararlanın. 12 cm kareden sonraki karenin bir kenarı için önce tam orta noktası 6 cm sonra burada oluşacak ikizkenar dik üçgen yardımıyla da diğer karenin bir kenar uzunluğu pisagor bağıntısından bulunur. (45-45-90 özel üçgeni) Bu şekilde sonsuza kadar devam edebilecek bir fraktal oluşturmuş olursunuz. İsterseniz araları boyayarak farklı bir desen oluşturabilirsiniz.
2. ve 3 şekillerde kareyi tam orta noktasından eşit karelere bölme ve diğerinde de karenin içine her seferinde bir önceki karenin kernar uzunluğunun yarısı kadar uzunlukta bir karenin tam merkeze gelecek şekilde çizilmesi ile fraktal oluşturulur.

Çokgenlerle Desen-Kaplama Oluşturma

Gündelik hayatta sıklıkla karşımıza çıkan motif örneklerinde çokgenler yardımıyla oluşturulmuş kaplama modelleri kullanılmaktadır. Kaplama modelleri yapılırken belli bir çokgenden yararlanılabileceği gibi farklı çokgenlerin bir uyumu içerisinde de kaplama yapılabilir. burada dikkat edilecek husus kaplama modeli yapılırken motifin içerisinde alınan herhangi bir köşedeki açıların ölçüleri toplamı 360 derece olmalıdır. yani bir noktada yer alan çokgenlerin iç açıları ölçüleri toplamına göre motifler düzgün bir sıralamayla sıralanmalıdır.

Örneğin bir motifte düzgün altıgen, kare ve eşkenar üçgen kullanılacaksa bunların iç açıları sırasıyla 120,90 ve 60 derece olduğuna göre sadece düzgün altıgenler yardımıyla 3 tane altıgeni bir köşede birleştirerek arı peteği gibi veya karelerden oluşmak üzere bir köşede dört kareyi birleştirerek veya bir köşede 6 adet eşkenar üçgeni birleştirerek veya bir köşede iki altıgen (120*2=240) ve 2 eşkenar üçgen (60*2=120) gibi buna benzer farklı şekilleri uygun biçimde birleştirerek kaplama yapılmalıdır. Kaplamada önemli olan bir husus da motifte hiçbir şekilde boşluk kalmamasıdır.

Bir diğer kaplama oluşturma yöntemi de eksenler yardımıyla doğru parçalarının arasında kalan kısımların kaplanarak oluşturulmasıdır. bu şekilde yapılan kaplamada öncelikle eksenler çizilir daha sonra bu eksenlerde eşit aralıklı noktalar belirlenir ve bu noktalar birbiriyle eşlenecek biçimde doğru parçaları ile birleştirilir sonra bu doğru parçalarının aralarında kalan parçalar boyanır veya uygun parçalarla kaplanır. Bu şekilde oluşturulan yöntemde dikkat edilecek husus nokta eşlemelerinin azami dikkatle yapılmasıdır.

Aşağıda farklı çokgen tipleriyle oluşturulmuş çeşitli kaplama ve desen modelleri gösterilmiştir. Dikkatle inceleyip sizlerde kendinize göre yeni motifleri öteleme ve yansıma dönüşümleri ile oluşturabilirsiniz.

İlitam 1.sınıf 2.Yarıyıl Arasınav Soruları 2013

ANKARA ÜNİVERSİTESİ
2012- 201 3   EĞİTİM- ÖĞRETİM YILI   BAHAR   YARIYILI  (YARIYILLIK) ARA   SINAVI
İLAHİYAT LİSANS TAMAMLAMA UZAKTAN EĞİTİM  PROGRAMI

13-14 Nisan 2013  1.Sınıf Soruları  soruları indirmek için tıklayınız

Osmanlı Türkçesi Hikaye Örneği

Nasreddin Hoca

Bir gün pazarda Nasreddin Hoca'nın çuvalını hırsız çalmış. Hoca çuvalını aramayıp doğruca kabristana giderek hırsızı beklemeye başlamış, bunu gören efrad hocam hırsızı aramayıp kabristanda ne yaparsın diye sual etmişler. 

Hoca; arayıp da niye zahmet edeceğim. Ne kadar usta hırsız olursa olsun sonunda o da buraya gelecek

 

نصرالدين حواجه

بر گون بازارده نصرالدين حواجه نڭ چو والينى هرسيز چالمش . حواجه چو والينى آره مايوب طوغريجه قبرستانه گده رك هرسيزى بكله ميه باشله مش . بونى گورن افراد  حواجم , هرسيزى آره مايوب قبرستانده نه ياپيورسن?  ديو سؤال اتمشلر.
حواجه : آره يوپده نيه زحمت أده جغم , نه قدر اوسته هرسيز اولرسه اولسن صونونده
او ده  بورايه  گله جك

 

Aşağıda verilen hikayeyi de siz çeviriniz. (Hocanın çömlek hikayesi)

 

Trigonometri Hesabı (Cos36)

Cos36 değerini tablo kullanmadan sadece geometrik veriler yardımıyla göstermeye çalışalım. Bulduğumuz değer trigonometrik değerler tablosundan da görüleceği üzere yaklaşık olarak aynı değerde olacaktır.

Bu hesaplama yapılırken bir ikizkenar üçgenden yararlanarak üçgenin taban açılarını 72 derece seçtiğimiz zaman yukarıdaki bir şekil ortaya çıkar. Taban açılarının birinden karşı kenara bir açıortay çizersek ikinci bir ikizkenar üçgen elde etmiş oluruz. Daha sonra bu iki ikizkenar üçgenin benzerliğinden elde ettiğimiz ikinci dereceden denklemin çözüm kümesini kök bulma formülü ile bulduğumuz zaman cos 36 değerini yaklaşık değerini hesaplamış oluruz. cos36=0,8090 bu değer trgionometrik tabloda da aynı şekilde görülmektedir. Bunu diğer açılara da aynı şekilde uygulama şansımız vardır. Böylece trigonometrik değerler tablosundaki sayıların nasıl ortaya çıktığı konusunda bir bilgi elde etmiş oluruz.

Yukarıda anlatılan özelliği kullanarak ikinci derece denklemler ünitesi ile ilgili bir örnek soru çözümü paylaşalım. Tirgonometri bilgisine gerek kalmadan üçgenlerin benzerliğini kullanarak soru çözümünün nasıl yapıldığını görmeye çalışalım.

Üçgende Ağırlık Merkezi İspatı

Kenarortay, bir üçgenin herhangi bir kenarını iki eşit parçaya ayıran o kenara karşı köşesinden çizilen doğru parçasıdır. Üçgende kenarortaylar, üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişirler. Bir üçgenin bütün kenarortayların kesişim noktasına, o üçgenin ağırlık merkezi denir. Herhangi iki kenarortay çizildiğinde kesişim noktasından çizilen üçüncü doğru parçası da kenarortay olur. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir. Aşağıdaki ABC üçgeninde [BE] ve [CD] kenarortaylarının kesiştikleri G noktasına, ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir.

TEOREM: Ağırlık merkezi; üzerinde olduğu kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde parçalara ayırır. Aşağıdaki şekilde ağırlık merkezinin benzerlik yardımıyla ispatı verilmiştir. 

TEOREM: Bir üçgenin ağırlık merkezinin, üçgenin herhangi bir köşesine olan uzaklığı, bu köşeden geçen kenarortayın uzunluğunun 2/3'üne eşittir. Aşağıdaki şekilde bu teoremin benzerlik yardımıyla ispatı verilmiştir. 

TEOREM: Üçgenin ağırlık merkezi ile orta tabanının kenarortay üzerinde ayırdığı uzunluklar köşeden kenara doğru sırasıyla 3, 1 ve 2 sayılarıyla orantılıdır.  Aşağıdaki şekilde bu teoremin benzerlik yardımıyla ispatı verilmiştir. 

TEOREM: Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğunun hipotenüs uzunluğunun yarısıdır.  Aşağıdaki şekilde bu teoremin benzerlik yardımıyla ispatı ve çemberde açılar yardımıyla ispatı verilmiştir. (Bkz. Çemberde Açılar)

Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler. G ağırlık merkezinden köşelere doğru parçası ile  birleştirildiğinde üçgenin alanı, üç eşit parçaya bölünür. G ağırlık merkezi, kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde, üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür. Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür. 

Üçgenin ağırlık merkezi, köşe koordinatları verilirse koordinat ekseninde daha kolay hesaplanabilir. Ağırlık merkezinin bulunabilmesi için, üçgenin köşe noktalarının koordinatları verilmeli ya da üçgenin köşe koordinatları, analitik geometri işlemlerinden/kurallarından yararlanarak, nokta ve doğru analitiğinin çeşitli uygulamalarıyla bulunabilmelidir.

TEOREM: Üçgenin köşe koordinatlarının apsis ve ordinat değerlerinin kendi aralarında toplamının üçe bölümü, o üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını verir.

Üçgenin Heron alan Bağıntısı (U Formülü)

İskenderiyeli Heron (MS 10 - MS 70?), matematikçi ve mühendistir. Genellikle antik çağın en büyük deneycisi olarak kabul edilir ve çalışmaları Helenistik bilimsel geleneğin temsilcisidir. İlk buhar türbünlü motoru icat ettiği düşünülmektedir. Heron motoru (aeolipile) adı verilen buharla çalışan bir cihazın iyi bilinen bir açıklamasını yayınlamıştır. En ünlü icatları arasında, karada rüzgârın en eski örneğini oluşturan rüzgar çarkı çalışması vardır. Mechanics adlı çalışmasında pantografları tanımlamıştır. İlk otomat makinesi de onun yapımlarından biridir. Makinenin üstündeki bir yuvadan bir bozuk para sokulduğunda, belirli bir miktarda su akıtılmaktadır. Ayrıca optikle de uğraşmış ve Katoptrikos adlı optik kitabını yazmıştır. Bu kitapta içbükey dışbükey ve düzlem aynaların işleyişlerini ele almıştır. İlkesel bir şekilde ışığın en kısa izlediği yolu bulup, yansıma ve geliş açıları ile ilgili tezlerini göstermiştir. Bir ışık ışını, aynı ortam içinde A noktasından B noktasına yayılırsa, izlenen yol uzunluğu mümkün olan en kısa uzaklıktır. Yaklaşık 1000 yıl sonra Alhazen ilkeyi hem yansıma hem de kırılma olarak genişletti ve ilke daha sonra bu biçimiyle 1662'de Pierre de Fermat tarafından ispat edildi. Su gücüyle çalışan bir çeşme tasarladığı bilinmektedir. Heron çeşmesi olarak bilinen bu çeşme, (Heron çeşmesi), üst üste duran cam haznelerin birbirleriyle borular yardımıyla bağlanmasıyla oluşan, su ve havanın basıncından yararlanarak ve teoride sonsuza dek devir daim yapan bir fıskıyeyi oluşturan sistem şeklindedir. 

Matematik bilimi ile de uğraşmış ve çeşitli çalışmalarda bulunmuştur. Babil ve Mısır geometrilerini Yunan geometri biçimiyle birleştirip, yalnızca uygulamada işe yarayan formülleri kitaplarında kullanmıştır. Matematikte çoğunlukla, bir üçgenin alanını yalnızca kenarlarının uzunluklarını kullanarak hesaplamanın bir yolu olan Heron formülü ile hatırlanır. Matematiksel hacim çalışmaları mevcuttur. Bir sayının karekökünü tekrar edilerek, hesaplanabilmesi için yaklaşık değer veren bir yöntem tanımlamıştır. Kendi adıyla bilinen Heron ortalamasını tanımlamıştır. Buna göre, A ile B sayılarının Heron ortalaması, aritmetik ve geometrik ortalamalarının ağırlıklı ortalamasıdır.  A ve B gibi iki negatif olmayan gerçel sayı için, Heron Ort.=1/3 (A+√A.B+B) şeklinde hesaplanır. Bu formül; 2/3 (A+B)/2 +1/3(√A.B) şeklinde de yazılabilir.  Heron ortalaması kavramı, bir koni veya piramit kesiğinin hacmini hesaplamakta kullanılabilir. Şeklin hacmi, iki paralel yüzey alanının Heron ortalaması ile, kesik cismin yüksekliğinin çarpımına eşittir.  

Heron tarafından yazıldığı bilinen eserler şunlardır: 

Pneumatica, (su organı dahil olmak üzere hava, buhar veya su basıncı üzerinde çalışan makinelerin tanımı yapılmaktadır.)

Otomata, (ziyafetlerde ve çeşitli yerlerde kendiliğinden (otomatik olarak) iş yapan makinelerin tanımı).

Mechanica, (sadece Arapça olarak korunan, mimarlar için yazılmış, ağır nesneleri kaldırmak için araçlar içeren bir çalışmadır.)

Metrica, (çeşitli nesnelerin yüzeylerinin ve hacimlerinin nasıl hesaplanacağının açıklamasıdır.)

Dioptra, (uzunlukları ölçmek için bir dizi yöntem ve kilometre sayacı (odometre) anlatıldığı bir çalışmadır)

Belopoeica, (savaş makinelerinin bir açıklaması)

Catoptrica, (ışığın ilerlemesi, yansıma ve aynaların kullanımı hakkındaki bir optik çalışması.)

Heron Alan formülü, kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanını hesaplamaya yarayan geometri formülüdür. Yunan matematikçi Heron tarafından bulunmuştur. Bütün kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanıi yarım çevre yardımıyla özel bir hormülle hesaplanabilir. Heron alan formülü, esasında farklı üçgenlerde cosinüs teoreminin uygulanması ile elde edilen bir saleşmiş formüldür. Bütün kenar uzunlukları verilen bir üçgenin alanının hesabında, başka bilgiye ihtiyaç duymadan alanı bulmada kolaylık sağlar.

Bir üçgenin bütün kenar uzunlukları verildiğinde alan formülü Heron bağıntısı ile bulunabilir. Yarıçevre uzunluğu u=(a+b+c)/2 olarak hesaplandıktan sonra yukarıdaki örneklerde de görüldüğü gibi u formülü kullanılarak üçgenin alanı bulunur. 

Şimdi bu formülün nasıl ortaya çıktığını aşağıdaki ispat ile verelim. İspat yapılırken temel mantık üçgenin içerisinde bir yükseklik çizilip, buradan pisagor bağıntıları tek tek herbir kenar için yazılarak bu formül ortaya çıkarılır.

Heron alan formülünün ispatını; cosinüs teoremi kullanılarak yaparsak buradan da aynı sonuca ulaşırız. Burada yukarıdakinden farklı olarak ABC üçgeni için herhangi bir açının cosinüs değerini cosinüs teoremi kullanarak yazdığımızda; buna bağlı olarak bu açının sinüs değerini bulabiliriz. Daha sonra üçgenin sinüs bağıntısı ile alan formülünden üçgenin alanı yazılmış olur. Üçgenin yarı çevresi s=(a+b+c)/2 olarak ifade edilirse en altta cosinüs teoremi ile bulunmuş Heron alan formülü bulunmuş olur.