Üçgenin Heron alan Bağıntısı (U Formülü)

Etiketler : alan formülleri geometri ispat matematik teorem ispatları üçgen üçgenin alanı

İskenderiyeli Heron (MS 10 - MS 70?), matematikçi ve mühendistir. Genellikle antik çağın en büyük deneycisi olarak kabul edilir ve çalışmaları Helenistik bilimsel geleneğin temsilcisidir. İlk buhar türbünlü motoru icat ettiği düşünülmektedir. Heron motoru (aeolipile) adı verilen buharla çalışan bir cihazın iyi bilinen bir açıklamasını yayınlamıştır. En ünlü icatları arasında, karada rüzgârın en eski örneğini oluşturan rüzgar çarkı çalışması vardır. Mechanics adlı çalışmasında pantografları tanımlamıştır. İlk otomat makinesi de onun yapımlarından biridir. Makinenin üstündeki bir yuvadan bir bozuk para sokulduğunda, belirli bir miktarda su akıtılmaktadır. Ayrıca optikle de uğraşmış ve Katoptrikos adlı optik kitabını yazmıştır. Bu kitapta içbükey dışbükey ve düzlem aynaların işleyişlerini ele almıştır. İlkesel bir şekilde ışığın en kısa izlediği yolu bulup, yansıma ve geliş açıları ile ilgili tezlerini göstermiştir. Bir ışık ışını, aynı ortam içinde A noktasından B noktasına yayılırsa, izlenen yol uzunluğu mümkün olan en kısa uzaklıktır. Yaklaşık 1000 yıl sonra Alhazen ilkeyi hem yansıma hem de kırılma olarak genişletti ve ilke daha sonra bu biçimiyle 1662'de Pierre de Fermat tarafından ispat edildi. Su gücüyle çalışan bir çeşme tasarladığı bilinmektedir. Heron çeşmesi olarak bilinen bu çeşme, (Heron çeşmesi), üst üste duran cam haznelerin birbirleriyle borular yardımıyla bağlanmasıyla oluşan, su ve havanın basıncından yararlanarak ve teoride sonsuza dek devir daim yapan bir fıskıyeyi oluşturan sistem şeklindedir. 

Matematik bilimi ile de uğraşmış ve çeşitli çalışmalarda bulunmuştur. Babil ve Mısır geometrilerini Yunan geometri biçimiyle birleştirip, yalnızca uygulamada işe yarayan formülleri kitaplarında kullanmıştır. Matematikte çoğunlukla, bir üçgenin alanını yalnızca kenarlarının uzunluklarını kullanarak hesaplamanın bir yolu olan Heron formülü ile hatırlanır. Matematiksel hacim çalışmaları mevcuttur. Bir sayının karekökünü tekrar edilerek, hesaplanabilmesi için yaklaşık değer veren bir yöntem tanımlamıştır. Kendi adıyla bilinen Heron ortalamasını tanımlamıştır. Buna göre, A ile B sayılarının Heron ortalaması, aritmetik ve geometrik ortalamalarının ağırlıklı ortalamasıdır.  A ve B gibi iki negatif olmayan gerçel sayı için, Heron Ort.=1/3 (A+√A.B+B) şeklinde hesaplanır. Bu formül; 2/3 (A+B)/2 +1/3(√A.B) şeklinde de yazılabilir.  Heron ortalaması kavramı, bir koni veya piramit kesiğinin hacmini hesaplamakta kullanılabilir. Şeklin hacmi, iki paralel yüzey alanının Heron ortalaması ile, kesik cismin yüksekliğinin çarpımına eşittir.  

Heron tarafından yazıldığı bilinen eserler şunlardır: 

Pneumatica, (su organı dahil olmak üzere hava, buhar veya su basıncı üzerinde çalışan makinelerin tanımı yapılmaktadır.)

Otomata, (ziyafetlerde ve çeşitli yerlerde kendiliğinden (otomatik olarak) iş yapan makinelerin tanımı).

Mechanica, (sadece Arapça olarak korunan, mimarlar için yazılmış, ağır nesneleri kaldırmak için araçlar içeren bir çalışmadır.)

Metrica, (çeşitli nesnelerin yüzeylerinin ve hacimlerinin nasıl hesaplanacağının açıklamasıdır.)

Dioptra, (uzunlukları ölçmek için bir dizi yöntem ve kilometre sayacı (odometre) anlatıldığı bir çalışmadır)

Belopoeica, (savaş makinelerinin bir açıklaması)

Catoptrica, (ışığın ilerlemesi, yansıma ve aynaların kullanımı hakkındaki bir optik çalışması.)

Heron Alan formülü, kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanını hesaplamaya yarayan geometri formülüdür. Yunan matematikçi Heron tarafından bulunmuştur. Bütün kenar uzunlukları bilinen bir üçgenin alanıi yarım çevre yardımıyla özel bir hormülle hesaplanabilir. Heron alan formülü, esasında farklı üçgenlerde cosinüs teoreminin uygulanması ile elde edilen bir saleşmiş formüldür. Bütün kenar uzunlukları verilen bir üçgenin alanının hesabında, başka bilgiye ihtiyaç duymadan alanı bulmada kolaylık sağlar.

Bir üçgenin bütün kenar uzunlukları verildiğinde alan formülü Heron bağıntısı ile bulunabilir. Yarıçevre uzunluğu u=(a+b+c)/2 olarak hesaplandıktan sonra yukarıdaki örneklerde de görüldüğü gibi u formülü kullanılarak üçgenin alanı bulunur. 

Şimdi bu formülün nasıl ortaya çıktığını aşağıdaki ispat ile verelim. İspat yapılırken temel mantık üçgenin içerisinde bir yükseklik çizilip, buradan pisagor bağıntıları tek tek herbir kenar için yazılarak bu formül ortaya çıkarılır.

Heron alan formülünün ispatını; cosinüs teoremi kullanılarak yaparsak buradan da aynı sonuca ulaşırız. Burada yukarıdakinden farklı olarak ABC üçgeni için herhangi bir açının cosinüs değerini cosinüs teoremi kullanarak yazdığımızda; buna bağlı olarak bu açının sinüs değerini bulabiliriz. Daha sonra üçgenin sinüs bağıntısı ile alan formülünden üçgenin alanı yazılmış olur. Üçgenin yarı çevresi s=(a+b+c)/2 olarak ifade edilirse en altta cosinüs teoremi ile bulunmuş Heron alan formülü bulunmuş olur.