Üçgende Ağırlık Merkezi İspatı

Etiketler : ağırlık merkezi analitik geometri geometri ispat kenarortay koordinat sistemi matematik teorem ispatları üçgen

Kenarortay, bir üçgenin herhangi bir kenarını iki eşit parçaya ayıran o kenara karşı köşesinden çizilen doğru parçasıdır. Üçgende kenarortaylar, üçgenin iç bölgesinde bir noktada kesişirler. Bir üçgenin bütün kenarortayların kesişim noktasına, o üçgenin ağırlık merkezi denir. Herhangi iki kenarortay çizildiğinde kesişim noktasından çizilen üçüncü doğru parçası da kenarortay olur. Bir üçgende iki kenarortayın kesişmesiyle oluşan nokta ağırlık merkezidir. Aşağıdaki ABC üçgeninde [BE] ve [CD] kenarortaylarının kesiştikleri G noktasına, ABC üçgeninin ağırlık merkezi denir.

TEOREM: Ağırlık merkezi; üzerinde olduğu kenarortayı, kenara 1 birim, köşeye 2 birim olacak şekilde parçalara ayırır. Aşağıdaki şekilde ağırlık merkezinin benzerlik yardımıyla ispatı verilmiştir. 

TEOREM: Bir üçgenin ağırlık merkezinin, üçgenin herhangi bir köşesine olan uzaklığı, bu köşeden geçen kenarortayın uzunluğunun 2/3'üne eşittir. Aşağıdaki şekilde bu teoremin benzerlik yardımıyla ispatı verilmiştir. 

TEOREM: Üçgenin ağırlık merkezi ile orta tabanının kenarortay üzerinde ayırdığı uzunluklar köşeden kenara doğru sırasıyla 3, 1 ve 2 sayılarıyla orantılıdır.  Aşağıdaki şekilde bu teoremin benzerlik yardımıyla ispatı verilmiştir. 

TEOREM: Dik üçgende hipotenüse ait kenarortay uzunluğunun hipotenüs uzunluğunun yarısıdır.  Aşağıdaki şekilde bu teoremin benzerlik yardımıyla ispatı ve çemberde açılar yardımıyla ispatı verilmiştir. (Bkz. Çemberde Açılar)

Kenarortaylar üçgenin alanını altı eşit parçaya bölerler. G ağırlık merkezinden köşelere doğru parçası ile  birleştirildiğinde üçgenin alanı, üç eşit parçaya bölünür. G ağırlık merkezi, kenarların orta noktaları ile birleştirildiğinde, üçgenin alanı üç eşit parçaya bölünür. Kenarların orta noktalarını birbirine birleştirdiğimizde üçgenin alanı dört eşit parçaya bölünür. 

Üçgenin ağırlık merkezi, köşe koordinatları verilirse koordinat ekseninde daha kolay hesaplanabilir. Ağırlık merkezinin bulunabilmesi için, üçgenin köşe noktalarının koordinatları verilmeli ya da üçgenin köşe koordinatları, analitik geometri işlemlerinden/kurallarından yararlanarak, nokta ve doğru analitiğinin çeşitli uygulamalarıyla bulunabilmelidir.

TEOREM: Üçgenin köşe koordinatlarının apsis ve ordinat değerlerinin kendi aralarında toplamının üçe bölümü, o üçgenin ağırlık merkezinin koordinatlarını verir.