Platon Katı Cisimleri

Platon Cisimleri: Bütün kenarları eşit ve yüzeyleri düzgün çokgen olan katı cisimlere Düzgün Katı Cisim denir.Beş Katı cisim olarak bilinen bu geometrik cisimlere, Platonik Cisimler de denir.Şimdiye kadar bilinen düzgün katılar 5 tanedir. Bunlar: düzgün dörtyüzlü, altı yüzlü(küp), sekiz yüzlü, onikiyüzlü ve yirmiyüzlü. Platon'un söylediği başka bir düzgün katı yoktur. Platon bu cisimlerin doğayı anlattığını düşünüyordu. Ona göre: Her yüzü bir eşkenar üçgen olan dörtyüzlü ateşi, sekizyüzlü havayı, yirmiyüzlü suyu, yüzleri kareler olan küp dünyayı ve yüzleri düzgün beşgenlerden oluşan onikiyüzlü ise, evreni simgeliyordu. Platon "Timaus" adlı eserinde bu düşüncesini açıklamıştı.Düzgün geometrik cisimlerden üçgen yüzlülerden 3 tane, beşgen yüzlülerden 1 tane ve bir tane de kare yüzlü vardır.

"Gizem ve güzellik, daha bir çok matematiksel olguda olduğu gibi insanların ilgisin çokyüzüler üzerine çekmiştir. Bu uğurda kimileri çokyüzlüleri kullanarak yaşamı, doğayı açıklamaya, kimileri sanatlarıyla bütünleştirdi. Matematikçilerse her zaman olduğu gibi sadece araştırdılar ve çokgensel düzlem parçalarıyla sınırlandırılmış cisimlere çokyüzlü, bu düzlem parçalarına yüz, yüzlerin arakesitlerine ayrıt, üç ya da daha çok ayrıtın birleştiği noktaya ise köşe dediler.

Çokyüzlüler içinde özellikle düzgün olanları insanların ilgisini çekmiştir. Bazı arkeolojik kazılarda binlerce yıl öncesine ait taştan yapılmış düzgün çokyüzlüler bulunmuştur. Bunca yıl uğraşılmış olmasına karşın sadece beş tane düzgün çokyüzlü bulunabilmiştir. Yeni çokyüzlüler bulma yönündeki çabalar, Öklid’in "Elemanlar" adlı kitabında bunun başarılamayacağını ispatlaması ile son bulmuştur.

Leonhard Euler ve Matematik Çalışmaları

Leonhard Euler (d. 15 Nisan 1707, Basel - ö. 18 Eylül 1783, St. Petersburg), 15 Nisan 1707 tarihinde İsviçre’nin Basel şehrinde doğmuştur. Babası Paul Euler, bir Protistan papazı olup oğlunun da kendi mesleğini sürdürmesini arzulamaktaydı. Euler’in çocukluğu büyük ölçüde, babasının Lüteriyen papaz olarak vaaz verdiği komşu şehir Riehen’de geçmiştir. Küçük yaşlardan itibaren matematiğe yoğun bir ilgi duyan Euler, bu alandaki ilk eğitimini aile dostu Johann Bernoulli’den almıştır. Babasının isteği üzerine Basel Üniversitesi’nde ilahiyat, İbranice ve Yunanca eğitimi almış, ancak Bernoulli’nin müdahalesi ile ilahiyat eğitiminden ayrılarak matematiğe yönelmiştir. Bernoulli, Euler’in olağanüstü matematiksel yeteneğini görerek, babasını ikna etmiş ve genç Euler’in matematik alanında ilerlemesini sağlamıştır. Euler, 1726 yılında Basel Üniversitesi’nden mezun olmuş ve eğitim süresince Varignon, Descartes, Newton, Galileo, van Schooten, Hermann, Taylor, Wallis ve Jacob Bernoulli gibi matematiğin öncülerinin çalışmalarını incelemiş, bazılarını yeniden yapılandırmıştır.

 

1727 yılında Paris Akademisi’nin düzenlediği ödüllü problem yarışmasına katılan Euler, sorulan gemi direklerinin yerleştirilmesiyle ilgili probleme getirdiği çözümle mansiyon ödülü kazanmıştır; bu başarı, yalnızca yirmi yaşında olan bir bilim insanı için olağanüstü sayılabilecek bir başarıdır. Aynı yıl St. Petersburg Akademisi tarafından, matematiksel uygulamalar konusunda eğitim vermesi için davet edilmiş ve 5 Nisan 1727’de Basel’i terk ederek St. Petersburg’a yerleşmiştir. 1730 yılında fizik profesörü olmuş, 1733 yılında ise Bernoulli’nin Basel’e dönmesinin ardından matematik kürsüsünde kıdemli akademisyenliğe terfi etmiştir. Euler, 7 Ocak 1734 tarihinde Academy Gymnasium’dan bir ressamın kızı olan Katharina Gsell ile evlenmiş ve çiftin on üç çocuğu olmuştur; ancak sekiz çocuk, çocukluk çağında hayatını kaybetmiştir. Euler, ilk eşinin vefatından sonra ikinci evliliğini, ilk eşinin üvey kız kardeşi ile yapmıştır. 1735 yılından itibaren sağlık sorunları yaşamaya başlamış, humma hastalığı geçirmiş ve 1740 yılında sağ gözünü kaybetmiştir. Cerrahi müdahaleler geçici olarak görme yetisini geri kazandırsa da, 1771 yılında yapılan bir diğer cerrahi müdahale sonucu diğer gözü de kalıcı olarak kaybolmuştur.  

St. Petersburg’da devam eden sosyal ve politik karışıklıklardan dolayı şehirde kalıp kalmamak konusunda tereddüt yaşayan Euler, Prusya Kralı II. Frederick’in Berlin Akademisi’ndeki çalışma teklifini kabul etmiş ve 19 Haziran 1741’de St. Petersburg’dan ayrılarak Berlin’e yerleşmiştir. Berlin’de geçirdiği 25 yıl boyunca 380’den fazla makale kaleme almış, daha sonra hayatının kalan dönemini geçireceği St. Petersburg’a geri dönmüştür. Euler, 18 Eylül 1783’te geçirdiği beyin kanaması sonucu hayatını kaybetmiştir. Ölümü üzerine, Fransız Akademisi adına Marquis de Condorcet bir ağıt kaleme almış, St. Petersburg İmparatorluk Akademisi sekreteri ve aynı zamanda Euler’in damadı olan von Fuss, Euler’in yaşamını ve bilimsel çalışmalarını ayrıntılı biçimde yazmıştır.

Euler, matematiğin hemen hemen tüm alanlarında önemli çalışmalar yapmış, geometri, aritmetik, trigonometri, cebir ve sayı teorisi başta olmak üzere matematiğin temel disiplinlerine katkıda bulunmuştur. Bunun yanında uzay-zaman mekaniği, ay teorisi, tıp, botanik, kimya ve astronomi gibi pek çok bilimsel alanda araştırmalar yürütmüş, tarih ve edebiyat konusunda da derin bilgi sahibi olmuştur. Olağanüstü hafızası sayesinde, derin düşüncelerle vardığı sonuçları uzun süre belleğinde saklayabilmiş, Virgil’in epik şiiri Aeneid’i hatasız biçimde tekrar edebilmiş ve kullandığı basımın her sayfasının ilk ve son satırlarını belirleyebilmiştir. 

Euler’in bilimsel üretkenliği, insanlık tarihindeki en yoğun üretkenlik örneklerinden biridir. Tüm çalışmalarının basılmış hâli devasa alanı kaplayacak kadar geniş olmasından ötürü elde yazılarak kopyalanmasının çok uzun yıllar süreceği söylenmiştir. Euler’in 200. doğum günü anısına 1907 yılında başlatılan çalışmalarının basılması projesi hâlen sürmektedir; bugüne kadar basılan çalışmalar, Euler’in üretkenliğinin yalnızca dörtte birini temsil etmektedir. Not defterleri ve kişisel yazıları da basılmayı beklemekte olup, bunun tamamlanmasının yaklaşık yirmi yıl süreceği öngörülmektedir. Legendre’in aktardığına göre Euler, tam bir matematik ispatını iki yemek öğünü arasında gerçekleştirebilmiştir. 

Euler’in matematikte bir milat olarak kabul edilmiştir. Hatta matematikçiler ve fizikçiler, bir teorem veya bir keşif geliştirdiklerinde sıklıkla “Euler’den sonra onu keşfeden ilk kişi” olarak söyleme gereği hissetmişlerdir. Temel analiz, grafik teorisi ve modern mühendislik uygulamaları için kritik olan matematiğin fiziksel uygulamalarının büyük bir bölümünü kurmuş, matematiksel teoriler ve formüllerde kalıcı bir etki bırakmıştır. Euler, özellikle Euler sabiti $e$ ile çalışmalarıyla tanınmış ve bir sayının sanal üssünü almak için kullanılan Euler formülünü geliştirmiştir. Euler, özellikle matematiği sistematik bir şekilde formüle ederek, hem teorik hem de uygulamalı alanlarda devrim niteliğinde eserler bırakmıştır. Euler’in cebir alanındaki çalışmaları, fonksiyon kavramının modern biçimde tanımlanmasını içerir. Fonksiyonların analitik temellerini kurmuş, polinomlar ve denklemler üzerine kapsamlı araştırmalar yapmıştır. Cebirsel ifadelerin ve denklemlerin çözüm yöntemlerini sistematik hâle getirerek, özellikle diferansiyel denklemler ve sonsuz seriler üzerinde yoğunlaşmıştır.  

Euler, sonsuz serilerin konverjans ve diverjans özelliklerini incelemiş ve bu alanda pek çok yeni formül ortaya koymuştur. Analiz alanında Euler’in katkıları, özellikle sürekli ve türevlenebilir fonksiyonların sistematik olarak incelenmesi ve integral hesaplamalarının yöntemlerinin geliştirilmesi ile öne çıkar. Euler, integral ve diferansiyel hesaplamalar için kapsamlı tablolar hazırlamış, çok değişkenli fonksiyonlar üzerinde uygulamalı çözüm yöntemleri geliştirmiştir. Euler’in sayı teorisi çalışmaları da son derece önemlidir. Asal sayılar, tam sayılar ve sayı dizileri üzerine yaptığı araştırmalar, modern sayı teorisinin temel taşlarını oluşturur. Özellikle Euler’in totient fonksiyonu ve Euler teoremi, günümüzde hâlâ temel sayı teorisi kavramları arasında yer almaktadır. Ayrıca, Euler, kombinatorik ve grafik teorisinin öncülerindendir; köprü problemi üzerine yaptığı çalışmalar, modern grafik teorisinin başlangıcı sayılmaktadır. Geometri alanında Euler, düzlem ve uzay geometri problemlerini matematiksel formüllerle çözmüş, özellikle konik kesitler, poligonlar ve çokyüzlüler üzerine sistematik analizler yapmıştır. Trigonometri ve astronomi arasındaki bağı güçlendirmiş, trigonometrik fonksiyonların teorik ve uygulamalı yönlerini geliştirmiştir. Euler, gök mekaniği ve astronomi ile ilgilenmiş; gezegen hareketleri, Ay’ın yörüngesi ve Dünya’nın şekli üzerine yaptığı hesaplamalar hem teorik hem de pratik astronomiye önemli katkılar sağlamıştır. 

Başlıca eserleri arasında “Introductio in analysin infinitorum” (Sonsuz Analize Giriş), “Institutiones calculi differentialis” (Diferansiyel Hesaba Giriş) ve “Institutiones calculi integralis” (İntegral Hesaba Giriş) yer almaktadır. Bu eserler, matematiğin analitik temellerini sistematik bir şekilde ortaya koymuş ve sonraki nesil matematikçilerin çalışmalarına temel oluşturmuştur. Euler ayrıca fonksiyonlar teorisi, logaritma ve trigonometrik fonksiyonlar, sonsuz seriler ve diferansiyel denklemler üzerine kapsamlı tablolar ve çözüm yöntemleri sunmuştur. 

Euler’in çalışmalarının tamamı, yalnızca matematik teorisine değil, aynı zamanda fizik, mühendislik, astronomi ve ekonomi gibi çeşitli alanlarda da uygulama bulmuştur. Analiz, sayı teorisi, grafik teorisi ve mekaniğe dair çalışmaları, günümüzde hâlâ temel kaynak olarak kullanılmakta ve modern matematiksel düşüncenin şekillenmesinde merkezi bir rol oynamaktadır. Euler’in üretkenliği ve sistematik yaklaşımı, onu matematik tarihinin en etkili ve kapsamlı bilim insanlarından biri hâline getirmiştir. Bu katkılar, hem teorik hem de uygulamalı matematik ve mühendislik disiplinlerinde bugün hâlâ temel referans niteliğindedir.

Euler'in Matematik Çalışmaları  

Euler'in Matematik Çalışmaları

1. Analiz ve Kalkülüs: Euler, türev ve integral kavramlarının kullanımını sistematik hâle getirmiştir. Sonsuz seriler, limitler ve sürekli fonksiyonlar üzerine çalışmalar yapmış, e sayısını ve doğal logaritmayı matematiksel olarak formüle etmiştir. Özellikle Euler’in üstel ve logaritmik fonksiyonlar ile ilgili çalışmaları, modern analiz temellerini atmıştır.

2. Cebir ve Sayı Teorisi: Euler, polinomlar ve denklemler üzerinde çalışmalar yapmış, asal sayıların dağılımı üzerine araştırmalar yürütmüş ve Euler totient fonksiyonunu tanımlamıştır. Fermat’ın küçük teoremi ve karmaşık sayıların cebirsel özellikleri üzerine katkılarda bulunmuştur. Karmaşık analiz alanının öncülerinden biridir.

3. Geometri ve Trigonometri: Düzlem ve uzay geometri problemlerini çözmüş, trigonometri fonksiyonlarının seri ve integral temellerini geliştirmiştir. Euler formülü, e^(iθ) = cosθ + i·sinθ, karmaşık sayıların trigonometrik temsiline öncülük etmiştir. Ayrıca üçgenler ve çokgenler ile ilgili birçok geometri teoremini ortaya koymuştur.

4. Graf Teorisi ve Kombinatorik: Köprüler problemiyle başlayan çalışmaları modern graf teorisinin temelini oluşturmuştur. Kombinatorik analiz ve olasılık kuramı üzerine de çalışmalar yapmış, permütasyon ve kombinasyonların matematiksel yapılarını geliştirmiştir.

5. Mekanik ve Fizik: Klasik mekaniğin matematiksel temellerini atmış, uzay-zaman sürekliliği ve hareket yasaları üzerine modeller geliştirmiştir. Akışkanlar mekaniği, hidrodinamik ve astronomi alanlarında formüller üretmiş, Ay’ın ve gezegenlerin hareketleri üzerine hesaplamalar yapmıştır.

6. Optik ve Mühendislik Uygulamaları: Köprülerin ve makine parçalarının dayanıklılık hesaplamalarına dair matematiksel yöntemler geliştirmiştir. Elektrik, makine ve havacılık mühendisliği gibi alanlarda uygulamalı matematiksel formüller sunmuştur.

7 . Astronomi: Euler, gezegenlerin ve uyduların yörüngeleri üzerine hesaplamalar yapmış, özellikle Ay teorisi üzerine detaylı çalışmalar gerçekleştirmiştir. Bu çalışmalar, hem teorik astronomi hem de gözlemsel astronomi için temel oluşturmuştur.

8. Fonksiyon Teorisi ve Sonsuz Seriler: Euler, trigonometrik, üstel ve logaritmik fonksiyonların sonsuz serilerle ifade edilmesini sistematik hâle getirmiştir. Matematiksel analizde serilerle çalışma yöntemlerini derinleştirmiştir.

9. Matematiksel İspatlar: Euler, birçok klasik matematik teoremini formüle etmiş ve ispatlamıştır. Özellikle sayı teorisi, kombinatorik ve geometri alanlarındaki kuramları modern matematiğin temel taşları hâline gelmiştir.

10. Uygulamalı Matematik: Euler, matematiği diğer bilimlerle ilişkilendirmiştir. Tıp, botanik, kimya ve mühendislik problemlerine matematiksel çözümler sunmuş, matematiksel yöntemlerin doğa bilimlerinde uygulanabilirliğini göstermiştir.

Çemberler Yardımıyla Fraktal Oluşturma

Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractus kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975'de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır. Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen şekilleri, kendine benzer bir cisimde cismi oluşturan parçalar ya da bileşenler cismin bütününü inceler. 

Fraktallar nasıl oluşturulur? Bir şeklin orantılı olarak küçültülmüş ya da büyütülmüşleri ile inşa edilen örüntüler fraktal olarak adlandırılır. Fraktalın bir özelliği de, küçük bir parçasındaki örüntünün şeklin tamamındaki örüntüyle aynı olmasıdır. 

Fraktallar ve Örüntüler Arasındaki Fark Fraktal ve örüntü arasındaki ilişki şöyledir: Her fraktal bir örüntüdür ancak her örüntü bir fraktal değildir.
Bir örüntünün fraktal olabilmesi için:
1- Öncelikle örüntü olabilmesi için bir kurala göre ilerlemesi gerekir.
2- Örüntünün büyümesi veya küçülmesi gerekir.
3- Bir önceki şekli içinde barındırması gerekir. 

Çemberde Açı Özellikleri

Çemberde Açı Özellikleri anlatılırken, merkez açı, çevre açı, teğet kiriş açı, iç açı ve dış açının her birine ait özellikler madde madde verilmiş ardından ilgili maddenin açıklamaları ve şekilleri çizilmiştir.

1. Bir çemberde iki küçük yayın eş  olması içi gerekli ve yeterli koşul, bu yayların merkez açılarının eş olmasıdır. 
2. İki teğet arasında kalan yayın ölçüsü ile açının ölçüsü bütünlerdir .Yani ölçüleri toplamı 180 derecedir.
3. Köşesi çemberin dış bölgesinde ve kenarları çemberin keseni veya teğeti olan açıya, çemberin  dış açısı denir. Bir çemberde bir dış açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçüleri farkının yarısına eşittir. 
4. Bir çemberin iç bölgesinde kesişen iki kirişin oluşturduğu açıların her birine, çemberin iç açısı denir. Bir çemberde bir iç açının ölçüsü, gördüğü yayların ölçülerinin  toplamının yarısına eşittir.
5. Paralel kirişler arasındaki yayların ölçüleri birbirine eşittir.
6. Köşesi çemberin merkezinde olan ve ışınları çemberi iki noktada kesen bir açıya  merkez açı denir. Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın uzunluğunun yarıçapının uzunluğuna oranına eşittir. 
7. Köşesi çember üzerinde olan ışınları çemberi diğer iki noktada kesen bir açıya çevre açı denir. Bir çevre açının ölçüsü, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir. 
8. Çapı gören çevre açısının ölçüsü 90° dir. 
9. Köşesi çember üzerinde olan ve bir kiriş ile bir teğetin belirlediği açıya   teğet – kiriş açısı  denir. Bir teğet – kiriş açısının ölçüsü, aynı yayı gören merkez açının ölçüsünün yarısına eşittir.
10. Bir çemberde, aynı yayı gören teğet – kiriş açıları ile çevre açılarının ölçüleri birbirine eşittir. 
11. Bir çemberde, aynı yayı gören teğet – kiriş açıların ölçüleri eşittir.

Çemberde Teğet ve Kiriş Özellikleri

Yazı, çemberde teğet ve kiriş kavramlarının bütününü içeren uzun bir yazıdır. Çemberde teğet ve kiriş özellikleri ile ilgili, çeşitli kaynaklarda yer alan tüm içerikler, konu bütünlüğü bozulmadan listelenmiştir. Kirişler dörtgeni ve teğetler dörtgeni kavramları da yazıda ayrıca açıklanmıştır. Çemberde kuvvet ve iki çemberin ortak teğet terimlerinden de kısaca bahsedilmiştir. Aşağıda çizilen her çember üzerindeki numaraya göre, çemberde teğet ve kirişin özellikleri toplu olarak kavram haritasına dönüştürülmüştür. Bu özet içerikte yer alan özelliklerin madde numarası ile ilgili açıklamalar detaylıca izah edilecektir.

Teğet: Çembere üzerindeki herhangi bir noktadan çizilen doğruya denir. Yani herhangi bir çember ile herhangi bir doğrunun, ortak kesişim noktası sadece tek nokta oluyorsa bu doğru, "çembere teğettir" denir. Kiriş ise çember üzerinde alınan iki farklı noktayı birleştiren doğru parçasına denir. Bir çemberde merkezden geçen kirişe çap adı verilir ve "çap" en büyük kiriştir.

Çemberde Kuvvet fonksiyonu

Çemberde kuvvet alınırken çemberin dışında ve içinde olan noktaya göre kuvvet alma işlemi, noktanın çemberin üzerindeki noktalara uzaklığını ifade eden parçaların arasındaki orana bağlı olur. Çemberin iç bölgesinde veya dış bölgesinde alınan rastgele bir noktaya göre, kuvvet fonksiyonu aşağıdaki gibi yazılır.