Menelaus Teoreminin İspatı

İskenderiyeli Menelaus (MS.70 – 140), matematikçi ve gökbilimcidir. Yaşamı hakkında çok az bilgi bulunan Menelaus'un hayatını İskenderiye'de geçirdiği çocukluk yıllarının ardından Roma'ya taşındığı tahmin edilmektedir. İskenderiyeli Pappus ve Proclus tarafından İskenderiyeli Menelaus adıyla anılmıştır. Batlamyus, Almagest adlı eserinde, Menelaus'un 98 yılının ocak ayında iki gökbilimsel gözlem yaptığını belirtmiştir. Bunlar birkaç gece arayla gerçekleşen Spica ve Beta Scorpii okültasyonlarıdır. Batlamyus bu gözlemlerden ekinoks döngülerini doğrulamada yararlanmıştır. 

Sphaerica’nın Arapça çevirisi Menelaus'un günümüze kalan tek yapıtıdır. Üç kitaptan oluşan bu çalışma, kürenin geometrisi ve gökbilimsel hesaplamalarda kullanımını konu almaktadır. Kitap, küresel üçgen kavramına giriş yapmakta ve Menelaus teoreminin kanıtına yer vermektedir. Bu çalışma 16. yüzyılda gökbilimci ve matematikçi Francesco Maurolico tarafından Yunancaya çevrilmiştir. 16.71 ° kuzey, 15.81 ° güney, 16.4 ° Doğu ve 15.46° Batı dereceli, Ay yüzeyinde yer alan yaklaşık 27 km çapındaki bir kratere "Menelaus krateri", adı verilmiştir. 

Menelaus tarafından yazılan kitapların bir bölümü şöyledir: 

Altı kitaptan oluşan Bir çemberdeki kirişlerin hesaplanması üzerine (On the calculation of the chords in a circle) 

Üç kitaptan oluşan Geometrinin temelleri (Elements of geometry), daha sonra Sabit b. Kurra tarafından düzenlenmiştir. 

Farklı cisimlerin ağırlık ve dağılımları üzerine (On the knowledge of the weights and distributions of different bodies)

Menelaus, Matematik dünyasında daha çok üçgenlerde benzerlik uygulamasının bir sonucu olarak bulanabilen "Meneleaus Teoremi" ile bilinir. Meneleaus Teoremi: Verilen bir üçgende üçgenin kenarlarından birinin uzantısı üzerinden alınan rastgele bir noktadan, karşı kenara çizilen doğrunun kestiği noktaların yardımıyla oluşan doğru parçaları arasında uygulanabilir. 

 

 

Menelaus teoremi esasında temel benzerlik teoremlerinin uygulanışından ibaret pratik bir yöntemdir. İki farklı üçgenin benzerliği kullanılarak yeni bir oran yakalanmıştır. Menelaus teoreminin uygulanışı ile ilgili bir örnek soru ve ardından matematik olimpiyatlarında sorulmuş bir soru ile teoremin işleyişini görelim.

Dikkat edilirse sorularda sözel bir dille aktarım yapıldıktan sonra şeklin çizimi ve yorumlanması öğrenciye bırakılmıştır. bu nedenle bu tür olimpiyat sorularının çözümünde öncelikle şeklin doğru çizilmesi ve buna göre uygun yorumlama yapıldıktan sonra bilinen teoremin soruya uyarlanması gereklidir.

Kenarortay Teoremi İspatı

Bir üçgenin herhangi bir köşesinden çizilen ve o köşeye ait  kenarını uzunluk cinsinden iki eşit parçaya ayıran doğru parçasına kenarortay denir. Kenarortayların kesiştiği noktaya o üçgenin ağırlık merkezi denir ve G harfi ile adlandırılır.

Ağırlık merkezi, bir cismin moleküllerine etki eden yerçekimi kuvvetlerinin bileşkesinin uygulama noktası olarak tanımlanabilir. Ağırlık merkezi, Fizikte ve mühendislik hesaplarında işlemlerin basitleştirilmesi için yaygın olarak kullanılır.Homojen yapılı ve simetrik cisimlerde ağırlık merkezi simetri eksenlerinin kesişme noktasındadır. Basit geometrik şekillerin veya basit geometrik şekillere bölünebilen cisimlerin ağırlık merkezleri çizim yolu ile kolaylıkla bulunabilir.

Bir dikdörtgenin ağırlık merkezinin , birbirine dik iki kenarın ortalarını birleştirmek sureti ile çizilen doğruların kesişme noktalarının verdiği simetri merkezi olan "O" noktası, olduğu bir dikdörtgen şekli çizilerek köşegenlerinin kesişim noktasından rahatlıkla görülebilir. Dikdörtgendeki bu nokta aynı zamanda dikdörtgenin köşegenlerinin de kesişim noktası olduğundan köşegenleri tam olarak iki parçaya ayırır.

** Bir üçgende ağırlık merkezi kenarortayı köşe tarafı iki, kenar tarafı bir  olacak şekilde bir oranla böler. Yani bir üçgende ağırlık merkezi G olmak üzere, üçgenin A köşe noktasından çizilen kenarortayın, a kenarını iki eşit parça olarak ayırdığı noktaya F dersek, verilen bu üçgende uzunluklar arasında; |AG|=2|GF| bağıntısı vardır. Aynı şekilde  yandaki çizimden de görülebileceği üzere, |BG|=2|GD| ve |CG|=2|EG| şeklinde ağırlık merkezi, kenarortayı 1/2 şeklinde oranla ayırabilir.

** Bir üçgendeki tüm kenarortayların karelerinin toplamının 4 katı, o üçgendeki bütün kenarların karelerinin toplamının 3 katına eşit olur. Bu ifade üçgende bulunan bütün kenarortaylar için kenarortay teoremi tek tek yazılıp alt alta toplanırsa bu sonuç elde edilir.

** Bir dik üçgende A noktasından hipotenüse ait çizilen kenarortay doğru parçası hipotenüsün yarısına eşittir (Muhteşem üçlü). Bu özellik herhangi bir dik üçgen çizilip bu üçgenin hipotenüsünü çap kabul edecek şekilde bir çevrel çember çizildiğinde kolaylıkla ispatlanabilir.

** Dik üçgende kenarortay teoremi özel olarak uygulanırsa; Bir dik üçgende dik kenarlara ait kenarortaylarının karelerinin toplamı hipotenüse ait kenarortayın karesinin beş katına eşit olarak bulunur.

** Herhangi bir üçgende b ve c kenarına ait kenarortaylar eğer dik kesişiyorsa, bu kenarortayların kareleri toplamı, a kenarına ait kenarortayın karesine eşittir.

** Bir kenar üzerindeki yükseklik ile kenarortayı birleştiren doğru parçası kenarortayın izdüşümüdür. Bu izdüşüm uzunluğuna x, ve üçgenin kenarlarına a,b ve c dersek bu şekilde çizilmiş olan bir üçgende izdüşüm uzunluğu 2.a.x= |b²-c²| formülüyle hesaplanır.

Kenarortay teoremi ispatlanırken üçgenin kenarortayı çizilen kenara ait yükseklik çizilir ve buradan yola çıkarak iki farklı üçgende pisagor bağıntısı yardımıyla eşitlikler yazılır. bu eşitlikler düzenlenerek kenarortay tereomine ulaşılır. Her bir kenar için ayrı ayrı bu eşitlikler yazılabilir. bu yazılan eşitlikler taraf taraf toplandığında da kenarortayın özel teoremi elde edilir.

Kenarortay teoremi ispatı için cosinüs teoreminden de yararlanılabilir. Kenarortayın kenarı kestiği noktada bir açıya x, diğer açıya 180-x yazılırsa ve her iki üçgen için de ayrı ayrı iki defa kosinüs teoremi uygulanıp taraf tarafa toplanırsa kenarortay teoremi elde edilmiş olur.

Açıortay Teoremleri ve İspatı

Herhangi bir üçgende iç açıortay veya dış açıortay çizilmiş olursa, buna bağlı olarak özel teoremler yazılabilir. Teoremler yazılırken üçgenlerde benzerlik ilişkisinden yararlanılır.

Açıortay ister iç ister dış açıortay olsun üçgenin köşe noktasından üçgenin kenarına bir paralel çizildiğinde benzer üçgenleri oluşturmak mümkün olur. Benzerlik yardımıyla karşılıklı eş açıların karşılarındaki kenarların birbirlerine oranları sabit olduğundan özel olarak iç açıortay teoremi ve dış açıortay teoremleri bulunur. 

İç açıortay teoreminin farklı bir çizimle ispatı yukarıdaki gibi verilmiştir. Yine A.A.A benzerlik kuralından yararlanarak, benzer üçgenlerin kenarları arasındaki orandan iç açıortay teoremi elde edilir. Aynı çizimi dış açıortay içinde kullanarak,  dış açıortay teoremi Thales teoreminden yararlanarak ispatlanabilir. İspatı yapılırken benzer açılar ve kenarların oranlarına bakılır. (Bkz. Thales Teoremleri)

İç ve dış açıortay teoreminde kenarların oranları tamamen benzerlik teoremlerinin bir sonucudur. Benzerlik teoremleri de soruların çözümünde kullanılabilir. (Bkz. Eşlik ve Benzerlik Teoremleri) Her defasında benzerlik teoremlerini kullanmak yerine, açıortay ile elde edilmiş buradaki sonuçları kullanmak, soru çözümlerinde kolaylık sağlayacaktır. İç ve dış açıortay teoremlerinin uygulama örneklerini, aşağıda inceleyerek teoremleri daha iyi kavramaya çalışınız.

Açıortay dikmeleri ile ilgili diğer özellikler için farklı bir konu başlığı altında yazdığımız yazıyı da  inceleyebilirsiniz. (Bkz.Açıortay Dikmeleri)

Secant ve Cosecant Fonksiyonları

Koordinat düzleminde çizilen birim çember için çember üzerinde alınan rastgele bir L noktasından x ve y eksenlerini kesecek biçimde bir doğru çizildiğinde bu doğrunun y eksenini kestiği noktanın ordinat değerine L noktasını ifade eden açının cosec değeri, x eksenin kestiği noktanın apsis değerine de o açının secant değeri denir. Kısaca bu fonksiyonlar şu şekilde ifade edilir. Cosinüs fonksiyonun çarpma işlemine göre tersine secant fonksiyonu denir. (secx=1/cosx)

 

Sinüs fonksiyonun çarpma işlemine göre tersine cosecant fonksiyonu denir. (cosecx=1/sinx)  Bu fonksiyonların tanım kümeleri paydalarında bulunan sinüs ve cosinüs fonksiyonuna göre değişir. Yani secant fonksiyonu paydasında cosinüs olduğundan cosinüsün 0 olduğu, 90 derece ve tek sayı katlarında tanımsız olur. cosecant fonksiyonu da paydasında sinüs olduğundan sinüsün 0 değeri  olduğu 180 derece ve çift katlarında tanımsız olur. 

Secant ve cosecant fonksiyonlarının görüntü kümeleri ise Reel sayılardır. Çok sık kullanılan bazı açıların aşağıda trigonometrik değerleri verilmiştir.

Sinüs ve Kosinüs Fonksiyonları
https://muallims.blogspot.com/2018/05/sinus-ve-cosinus-fonksiyonlar.html
Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları
https://muallims.blogspot.com/2018/06/tanjant-ve-kotanjant-fonksiyonlar.html
Sekant ve Kosekant Fonksiyonları
https://muallims.blogspot.com/2013/05/secant-ve-cosecant-fonksiyonlar.html
Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri
https://muallims.blogspot.com/2021/11/trigonometrik-fonksiyonlarn-grafikleri.html

LYS-Geometri Ünite Dağılımı Analizi (2010-2012)

Geometri alanıdan (LYS-1) sınava girecek öğrencilerin kesinlikle sınavdan çok önce çalışmalara başlamaları gerekmektedir. Ayrıca öğrencilerimizin  bol örnek soru çözümü yapıp çözümlü video örnekleri izleyerek geometri soru çözüm tekniğini kazanmaları LYS'de başarılı olmak için avantaj sağlayacaktır. Geometri de görmek ve düşünerek soru çözmek esastır. Görme tekniğinin gelişmesi de bol soru çözümünden ve uzamsal zekanın mükemmel bir şekilde kullanımından kaynaklanmaktadır. Üç boyutlu düşünme ve derinlemesine görme alıştırmaları yapma, çözümlü geometri  sorularını izleme, çözülmüş soruları tekrar tekrar çözme pratiklik kazandıracağı gibi sınavda daha dikkatli ve hızlı soru çözümü yapmanızı sağlayacaktır.
Çıkmış Geometri soruları incelendiğinde her ünite başlığından yıllara göre soruların değiklik gösterdiği görülmektedir. Detaylıca inceleme yapıldığında bazı ünite başlıklarından her sene soru geldiği gözlemlenir. özellikle son yıllarda yeni eklenmiş konulardan soruların gelme sıklığının arttığı görülmektedir. Klasik geometri soruları üçgenler,çember ve daire ve doğru analitiği her sene devamlı olarak gelmektedir. LYS'de başarı dileklerimizle...

    

 

LYS GEOMETRİ	2010	2011	2012
Doğruda Açılar	0	1	1
Üçgende Açı	2	0	0
Üçgende Açı Kenar Bağıntıları	1	1	0
Diküçgen	0	1	2
İkizkenar-Eşkenar Üçgen	1	0	0
Açıortay	0	1	0
Kenarortay	1	1	0
Üçgende Benzerlik	1	2	0
Üçgende Alan	0	2	0
Çokgenler	1	1	3
Dörtgenler	6	3	5
Çemberde Açı ve Uzunluk	3	6	3
Dairede Alan	1	0	3
Katı  Cisimler	2	3	4
Doğrunun Analitik İncelenmesi	2	2	3
Çemberin Analitik İncelenmesi	1	2	1
Dönüşümler Geometrisi	0	1	1
Vektörler	2	1	2
Geometrik Yer	1	0	1
Konikler (Elips, Hiperbol, Parabol)	2	2	0
Uzay Gometri	2	0	0
Uzayda doğru düzlem denklemleri	1	0	1
TOPLAM	30	30	30

 

Daha kapsamlı bir soru analizi için aşağıdaki adresi de kullanabilirsiniz.
https://muallims.blogspot.com/2016/09/lys-matematik-unite-konu-analizi.html

Homoteti Dönüşümleri

M  sabit  bir  nokta,  k  herhangi  bir  reel  sayı  olmak  üzere T= M + k (P – M) olacak biçimde alınan T noktasına, P nin M merkezli k oranlı homotetiği denir. 

H : R²→ R², 

P → H(P) = M + k (P – M) dönüşümüne; M merkezli, k oranlı homoteti dönüşümü denir. 

M merkezli ve k oranlı homoteti, kısaca [M, k] biçiminde gösterilir. Verdiğimiz homoteti tanımı kısaca vektörel eşitlik kullanılarak elde edilebilir. Bu homoteti dönüşümü, verilen M, P ve T noktaları için; k.|MT|= |MP| olarak gösterilebilir. Bir düzlemsel şekle homoteti dönüşümü uygulandığında elde edilen yeni şekle, verilen şeklin homotetiği denir. Her durumda homoteti oranına bağlı kalmaksızın, M merkezinin homotetiği, M noktası sabit olduğundan yine kendisidir. 

Aslında hometeti dönüşümlerinde baştaki şekil, verilen k oranında büyütülür veya küçültülür. Verilen k hometeti oranı, eğer 1 ise şekilde herhangi bir değişme olmaz. Oluşan şekil, yine başta verilen şeklin kendisidir. Buna göre bir homoteti dönüşümünde, k homoteti oranı olmak üzere; k = 1 ise şeklin kendisi, 0 < k < 1 ise verilen şeklin k oranında küçültülmüşü hali ve homoteti oranı; k > 1 ise verilen şeklin k oranında büyütülmüşü elde edilir.

Homoteti dönüşümü; uzaklıkları aynı oranda değiştirir, açıların ölçülerini korur. Oranları k_{1 ,} k₂ ve merkezi M olan iki homotetinin bileşkesi; M merkezli k_1.k₂ oranlı (homoteti oranlarının çarpımı kadar) homoteti dönüşümüdür. Kesinlikle dikkat edilmesi gereken şey; hometeti dönüşümünde şeklin açılarının ve biçiminin korunmasıdır. Bir düzlemsel şekil; öteleme, dönme, yansıma ve homoteti dönüşümlerinin yeteri kadar bileşkesi uygulanarak, benzer şekillere dönüştürülür. Benzerlik oranı, kullanılan homotetilerin oranlarının çarpımına eşittir. Öteleme, dönme, yansıma dönüşümleri, benzerlik oranını etkilemez. 

Homoteti dönüşümüne basit bir Örnek vermek gerekirse; 

Düzlemde bir P noktası ve sabit bir M noktası veriliyor. M noktası merkez ve k = 2, k = 4 ve k = –2 olmak üzere P noktasının bu hometeti oranlarına göre  Pʹ, Pʺ, Pʺʹ homotetiğini vektörel eşitliğinden yararlanarak bulalım. 

k=2 oranı için; |MP’|= |MP'|. 2= 2 |MP| 

k=4 oranı için; |MP''|= 4.|MP| 

k=-2 oranı için |MP'''|= -2.|MP| olarak yazılabilir. 

Yani bu örneklerde, vektöre uygulanan homoteti dönüşümünden sonra vektör, k oranı kadar skaler büyümüştür.