Homoteti Dönüşümleri

Etiketler : dönüşüm geometrisi düzlemde dönüşümler hometeti matematik

M  sabit  bir  nokta,  k  herhangi  bir  reel  sayı  olmak  üzere T= M + k (P – M) olacak biçimde alınan T noktasına, P nin M merkezli k oranlı homotetiği denir. 

H : R²→ R², 

P → H(P) = M + k (P – M) dönüşümüne; M merkezli, k oranlı homoteti dönüşümü denir. 

M merkezli ve k oranlı homoteti, kısaca [M, k] biçiminde gösterilir. Verdiğimiz homoteti tanımı kısaca vektörel eşitlik kullanılarak elde edilebilir. Bu homoteti dönüşümü, verilen M, P ve T noktaları için; k.|MT|= |MP| olarak gösterilebilir. Bir düzlemsel şekle homoteti dönüşümü uygulandığında elde edilen yeni şekle, verilen şeklin homotetiği denir. Her durumda homoteti oranına bağlı kalmaksızın, M merkezinin homotetiği, M noktası sabit olduğundan yine kendisidir. 

Aslında hometeti dönüşümlerinde baştaki şekil, verilen k oranında büyütülür veya küçültülür. Verilen k hometeti oranı, eğer 1 ise şekilde herhangi bir değişme olmaz. Oluşan şekil, yine başta verilen şeklin kendisidir. Buna göre bir homoteti dönüşümünde, k homoteti oranı olmak üzere; k = 1 ise şeklin kendisi, 0 < k < 1 ise verilen şeklin k oranında küçültülmüşü hali ve homoteti oranı; k > 1 ise verilen şeklin k oranında büyütülmüşü elde edilir.

Homoteti dönüşümü; uzaklıkları aynı oranda değiştirir, açıların ölçülerini korur. Oranları k_{1 ,} k₂ ve merkezi M olan iki homotetinin bileşkesi; M merkezli k_1.k₂ oranlı (homoteti oranlarının çarpımı kadar) homoteti dönüşümüdür. Kesinlikle dikkat edilmesi gereken şey; hometeti dönüşümünde şeklin açılarının ve biçiminin korunmasıdır. Bir düzlemsel şekil; öteleme, dönme, yansıma ve homoteti dönüşümlerinin yeteri kadar bileşkesi uygulanarak, benzer şekillere dönüştürülür. Benzerlik oranı, kullanılan homotetilerin oranlarının çarpımına eşittir. Öteleme, dönme, yansıma dönüşümleri, benzerlik oranını etkilemez. 

Homoteti dönüşümüne basit bir Örnek vermek gerekirse; 

Düzlemde bir P noktası ve sabit bir M noktası veriliyor. M noktası merkez ve k = 2, k = 4 ve k = –2 olmak üzere P noktasının bu hometeti oranlarına göre  Pʹ, Pʺ, Pʺʹ homotetiğini vektörel eşitliğinden yararlanarak bulalım. 

k=2 oranı için; |MP’|= |MP'|. 2= 2 |MP| 

k=4 oranı için; |MP''|= 4.|MP| 

k=-2 oranı için |MP'''|= -2.|MP| olarak yazılabilir. 

Yani bu örneklerde, vektöre uygulanan homoteti dönüşümünden sonra vektör, k oranı kadar skaler büyümüştür.