Eşlik ve Benzerlik Teoremleri

Etiketler : benzerlik eşlik teoremleri geometri matematik üçgen

Açı Kenar Açı (A.K.A.) Eşliği: İki üçgenin karşılıklı birer kenarı ve bu kenara komşu olan açıları arasında eşlik varsa, "iki üçgen birbirine eştir" denir. 

Eş olan ikizkenar üçgenlerde eşit uzunluğa sahip olan kenarların arasındaki açılar, aynı ölçüye sahiptir. Eşlik aksiyomları bilindiği zaman, buna karşılık benzerlik aksiyomları da rahatlıkla yazılabilir. 

Kenar Kenar Kenar (K.K.K) Eşliği:İki üçgenin karşılıklı tüm kenarları arasında, birbirine eşlik varsa, bu "iki üçgen eştir" denir. Aşağıda verilen üçgenlerde aynı renkte çizili kenar uzunlukları birbirine eşit uzunlukta verildiğinde, bu üçgenlere eş üçgenler olur.

Kenar Kenar Kenar (K.A.K) Eşliği:İki üçgenin karşılıklı ikişer kenarları eş ve bu kenarlar arasındaki açılar da eş ise üçüncü kenarları da eş olmak zorundadır. 

Bu eşlik teoremlerinden yola çıkarak, sonuç olarak şunu söyleyebiliriz. Verilen eşlik özellikleri kullanıldığında, birbirine eş olan üçgenlerin yardımcı elemanlarının (yükseklik, açıortay ve kenarortay) da birbirine eşit uzunlukta olduğunu görülür.

Karşılıklı açıları eşit olan ve karşılıklı kenar uzunlukları da birbiriyle orantılı olan üçgenlere de "benzer üçgenler" denir. Benzer olan üçgenlerin benzerlik oranı, karşılıklı kenarların birbirine oranı ile bulunur. Eşlik teoremleri (K.K.K), (A.K.A), (K,A,K) benzer üçgenler için de sağlanır. Bunlara ilaveten benzer üçgenlerde Açı, Açı, Açı Eşliği (A.A.A) benzerlik teoremi de geçerli olur. 

Esasında benzerlik oranı 1'e eşit olan üçgenlere kısaca "eş üçgendir" diyebiliriz. Her eş üçgen aynı zamanda birbirine benzer olmasına rağmen bu ifadenin tersi her zaman doğru olmaz. Yani her benzer üçgen birbirine eştir diyemeyiz.

Verilen şekilde ABC üçgeni ile EFD üçgenleri birbirine benzer üçgenlerdir. Buna göre karşılıklı olarak A çısı E açısına, B açısı F açısına, ve C açısı da D açısına eşittir. Buna göre bu açıların gördükleri kenar uzunlukları da birbirine karşılıklı olarak eşittir. Aşağıda verilen şekilde de üç açısı da birbirine eşit olan iki üçgenin benzer olduğu gösterilmiştir. 

Benzer üçgenlerin benzerlik oranı, bu üçgenlerin aynı kenara ait yükseklik oranlarına, açıortay uzunlukları oranlarına ve kenarortay uzunlukları oranlarına eşit olur. Aynı zamanda benzerlik oranı, benzer olan üçgenlerin çevreleri oranı da verir. Benzer üçgenlerin alanları oranını, benzerlik oranın karesine eşittir. Benzer iki cismin hacimleri oranı da, benzelik oranın küpüne eşittir.

Benzerlik konusunun daha iyi anlaşılması için, Temel Benzerlik teoremlerinin (I. ve II. Thales Teoremleri) de ayrıntılı olarak bilinmesi gerekir. Thales Teoremleri olarak bilinen bu teoremler hakkında detaylı bilgilere aşağıdaki bağlantıdan ulaşabilirsiniz. (Bkz. Thales Teoremleri)