Noktanın eksenlere göre simetrisi

Bir noktanın eksenlere göre simetrisi şu şekilde tanımlanır: Düzlemde A(x, y) noktası verilsin. Bu noktanın x eksenine göre simetriği, x koordinatı aynı kalıp y koordinatının işaretinin değişmesiyle elde edilir. Buna göre simetriği A′(x, −y) olur. A(x, y) noktasının y eksenine göre simetriği ise y koordinatı aynı kalıp x koordinatının işaretinin değişmesiyle bulunur. Bu durumda simetriği A′(−x, y) olur. Özel bir durum olarak, A(x, y) noktasının orijine göre simetriği hem x hem de y koordinatlarının işaretinin değişmesiyle elde edilir ve A′(−x, −y) olur.  

Kısaca:x eksenine göre simetride; apsis aynı kalır, ordinatın işareti değişir. y eksenine göre simetride; ordinat aynı kalır, x’in işareti değişir. Orijine göre simetride ise hem apsis hem ordinatın işareti değişir. Yani simetri alınan eksene göre, o eksene dik olan koordinatın işareti değişir. Örneğin; A’nın X eksenine göre simetrisi (-2,-8), Y eksenine göre simetrisi (2,8), Orijine göre simetrisi (2,-8) olur.

---

Noktanın eksenlere göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir: 
B(3,5) noktasının X eksenine göre simetrisi (3,-5), Y eksenine göre simetrisi (-3,5), Orijine göre simetrisi (-3,-5) olur.
C(-4,7) noktasının X eksenine göre simetrisi (-4,-7), Y eksenine göre simetrisi (4,7), Orijine göre simetrisi (4,-7) olur.
D(-6,-2) noktasının X eksenine göre simetrisi (-6,2), Y eksenine göre simetrisi (6,-2), Orijine göre simetrisi (6,2) olur.
E(5,-3) noktasının X eksenine göre simetrisi (5,3), Y eksenine göre simetrisi (-5,-3), Orijine göre simetrisi (-5,3) olur.
F(2,0) noktasının X eksenine göre simetrisi (2,0), Y eksenine göre simetrisi (-2,0), Orijine göre simetrisi (-2,0) olur.
G(0,6) noktasının X eksenine göre simetrisi (0,-6), Y eksenine göre simetrisi (0,6), Orijine göre simetrisi (0,-6) olur. 

 

Örnek: A(3,4) noktasının X eksenine göre simetrisi B, Y eksenine göre simetrisi C noktaları ise BC uzunluğu kaçtır?

Çözüm: A(3,4) noktasının X eksenine göre simetrisi B noktasıdır. X eksenine göre simetride x koordinatı değişmez, y koordinatının işareti değişir. Böylece B(3, -4) olur. A(3,4) noktasının Y eksenine göre simetrisi C noktasıdır. Y eksenine göre simetride y koordinatı değişmez, x koordinatının işareti değişir. Böylece C(-3, 4) olur.  Şimdi B(3,-4) ve C(-3,4) noktaları arasındaki uzaklığı, uzaklık formülü ile hesaplarsak: Uzaklık =√[(-6)² + 8²)]=√[(36 + 64)] =√100 =10 Böylece B ve C noktaları arasındaki uzaklık 10 br olur. 

Noktanın noktaya göre simetrisi

Bir noktanın bir noktaya göre simetrisi matematiksel olarak şöyle tanımlanır: Düzlemde A(x, y) noktası ve simetri merkezi O(a, b) olsun. A noktasının O noktasına göre simetriği A′(x′, y′) noktasıdır. Bu simetri tanımlamasını günlük dilde ifade edersek; bir noktanın başka bir noktaya göre simetrisi, o noktanın simetri alınan noktanın tam karşı tarafına eşit uzaklıkta olarak geçmesi demektir.   

A(x, y) noktası ve simetri merkezi O(a, b) verildiğinde O noktası, A ile A′ noktalarının orta noktasıdır. Bu nedenle A ve A′ noktalarının koordinatlarının aritmetik ortalaması, O noktasının koordinatlarına eşittir.  Buna göre orta nokta tanımından, A ve A′ noktalarının apsis koordinatlarının ortalaması a’ya, ordinat koordinatlarının ortalaması ise b’ye eşittir. Buradan A′ noktasının koordinatları ortalama tanımından hesaplanır ve sonuç olarak; A(x, y) noktasının O(a, b) noktasına göre simetriği A′(2a − x, 2b − y) olur. 

Örneğin A(3, −2) noktasının O(1, 4) noktasına göre simetriği A′ noktası olsun. O noktası, A ile A′ noktalarının orta noktası olduğuna göre A ve A′ noktalarının apsis koordinatlarının ortalaması 1’e, ordinat koordinatlarının ortalaması 4’e eşit olmalıdır. Bu durumda A′ noktasının apsis değeri 2·1 − 3 = −1, ordinatı ise 2·4 − (−2) = 10 olur. Böylece A(3, −2) noktasının O(1, 4) noktasına göre simetriği A′(−1, 10) noktası olur.

---

Noktanın noktaya göre simetrisi ile ilgili aşağıda farklı örnekler verilmiştir:
A(2,5) noktasının B(4,3) noktasına göre simetrisi A'(6,1) olur.
C(-3,7) noktasının D(-1,2) noktasına göre simetrisi C'(-5,-3) olur.
E(-4,-6) noktasının F(-2,-2) noktasına göre simetrisi E'(-6,-10) olur.
G(3,-5) noktasının H(1,-1) noktasına göre simetrisi G'(5,-9) olur.
T(2,0) noktasının J(5,0) noktasına göre simetrisi T'(-1,0) olur.
K(0,4) noktasının L(0,1) noktasına göre simetrisi K'(0,7) olur.

 

Örnek: A(−2, 1) noktasının orijine göre simetriği B, B noktasının (7, 2) noktasına göre simetriği C ise bu C noktasının koordinatları toplamı kaçtır?

Çözüm: A(−2, 1) noktasının orijine göre simetrisi B noktasıdır. Orijine göre simetri için, noktanın x ve y koordinatlarının işaretleri değişir. Böylece B noktası (2, −1) olur. Şimdi B(2, −1) noktasının (7, 2) noktasına göre simetrisini, yani C noktasını bulmamız gerekiyor. Bir noktanın başka bir noktaya göre simetrisi, simetri noktası ile verilen nokta arasında doğru üzerinde olur ve bu doğru üzerindeki noktaların aralarında eşit uzaklık vardır. B ve C noktalarının ortası, verilen 7, 2 noktasıdır. Buna göre orta nokta formülünü kullanırsak: Orta nokta = ((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2) Burada orta nokta (7, 2), B noktası (2, −1), C noktası (a, b) olarak alınırsa;  apsisler için orta nokta hesabı (2 + a)/2 = 7 ve ordinatlar için orta nokta hesabı  (−1 + b)/2 = 2 olur.  Bu iki denklemden a ve b değerlerini bulalım: (2 + a)/2 = 7 → 2 + a = 14 → a = 12 ve diğer denklem yardımıyla  (−1 + b)/2 = 2 → −1 + b = 4 → b = 5 bulunur.  Böylece C noktası (12, 5) olur. C noktasının koordinatları toplamı ise 12 + 5 = 17 olur.

Düzlemde Dönüşüm Fonksiyonu ve Öteleme

Düzlemin noktalarını yine düzlemin noktalarına eşleyen bire bir ve örten fonksiyona düzlemin bir dönüşümü adı verilir. Analitik düzlemde verilen herhangi bir nokta düzlemde bir dönüşüm fonksiyonu altında aynı ya da farklı başka bir noktaya eşlenebilir.

Dönüşümler öteleme, yansıma ve dönme başlıkları altında incelenebilir. Bu dönüşümlerin ayrıntılarına geçmeden önce dönüşüm fonksiyonuna biraz örnek vermek yerinde olacaktır.

Behlül Dânâ Hikayeleri

Halid Ziya Uşaklıgil’in rezil romanı ile adını son zamanlarda duyduğumuz "Behlül" ismi, esasında Abbas halifesi Harun Reşid zamanında yaşamış büyük bir veliyi hatırlatır. "Behlül" ismini olumsuzlukla tanıtıp hatırlatanlara karşı, inadına asıl Behlül'ü tanıtalım. Peki kimdir Behlül Dânâ? 

Behlül Dânâ’nın asıl adı Ebû Vüheyb bin Ömer Sayrafî’dir. Doğum târihi kesin olarak bilinmez. Kûfeli olduğu halde Bağdâd’da yaşamış ve Bağdat'ta vefât etmiştir. Vefatı kesin olmamakla birlikte 806 yılı civarındadır. Behlül Dânâ, halk arasında “Behlûl-i Dîvâne” ve “Sultânü’l-meczûbîn” olarak da anılmış olup Abbâsî Halifesi Hârun Reşid (788-809) ile yakın ilişkisi sayesinde “Behlül er-Reşid” olarak tanınan ünlü bir zattır.  Hakkındaki bilgiler çoğunlukla ona atfedilen büyük ölçüde menkıbe ve fıkralardan oluşur. “Behlül” kelimesi Farsçada meczup, deli, çok gülen gibi anlamlara gelirken; “Dânâ” ise “çok bilen”, “bilgin” demektir. Bu bağlamda “Behlül Dânâ”, “bilgin meczup” veya “akıllı deli” anlamını taşır; yani hem güldüren hem de öğüt veren bilgin anlamına gelir. Behlül, ilâhî cezbeye tutulduktan sonra kendinden geçmiş ve nefsini tamamen silmiş, bundan sonra halk arasında onlara uymayan garip davranışlar sergilemiştir. Mezarlarda ve harabelerde dolaşmayı, yalnızlığı ve çocuklarla şakalaşmayı seven Behlül’ün sözleri, nükteli ve iğneleyici olsa da genellikle hikmet dolu ve uyarıcı olmuştur. Bazı menkıbelerde Hârun Reşid’in kardeşi, yeğeni veya nedimi olarak da gösterilmiştir. Behlül Dânâ, Halifeye hatalarını çekinmeden söylemiş, onu uyarmak için bulduğu fırsatları değerlendirmiştir.

Tasavvufî eserlerde Behlül, Allah âşığı bir sûfî ve meczup olarak tanıtılmış; Muhyiddin İbnü’l-Arabî, Şa‘rânî, İbnü’l-Cevzî ve Attâr gibi pek çok klasik yazar onun Hak âşığı olduğunu vurgulamıştır. Behlül’ün hikâye ve fıkraları Arap, İran ve Türk halk edebiyatında geniş yer tutmuştur. Şia kaynakları, Behlûl Dana'yı İmam Cafer es-Sâdık’ın talebesi olarak gösterse de, bu iddialarına ilmî delil yoktur. Behlül Dânâ'ya atfedilen ve gerçekliği konusunda sadece rivayet bilgileri bulunan bazı nükteli hikayeler aşağıda verilmiştir. 

Vicdanın Sesi

Bir gün Behlül Dânâ, halife Harun Reşit’in huzuruna çıkarak ondan bir görev ister. Harun Reşit bir süre düşündükten sonra ona, “Sana fırınları denetleme işini veriyorum. Git, fırınları dolaş, ekmekleri kontrol et,” der. Behlül Dânâ bu görevi hemen kabul eder ve çarşıya çıkarak işe koyulur. İlk girdiği fırında ekmeklerin gramajını kontrol eder. Bakar ki ekmekler olması gerekenden eksiktir. Bunun üzerine fırıncıyı yanına çağırır ve ona birkaç soru sorar: 

“Nasılsın, halin vaktin yerinde mi? Ailenle aran nasıl, geçimin iyi mi?” Fırıncı bu soruların hepsine olumsuz cevap verir; mutsuzdur, geçim sıkıntısı içindedir. Behlül Dânâ hiçbir ceza kesmeden oradan ayrılır. Fırıncı şaşırır ve arkasından seslenir: “Hiç mi ceza yazmayacaksın?” Behlül sadece “Hayır” diyerek yoluna devam eder. 

Daha sonra başka bir fırına girer. Bu kez ekmekleri tarttığında ekmeklerin olması gerekenden fazla olduğunu görür. Fırıncıyı yanına çağırır ve aynı soruları sorar: “Halin nasıl? İşinden memnun musun?  Ailenle aran nasıl?” Fırıncı bu soruların hepsine olumlu yanıt verir; mutludur, huzurludur, geçimi yerindedir. 

Behlül Dânâ bunun üzerine doğruca Harun Reşit’in yanına döner ve “Efendim, ben bu işi yapmayacağım. Bana başka bir görev verin,” der. Harun Reşit şaşırır: “Neden vazgeçiyorsun? Daha az önce sana bu işi verdim der. 

Behlül Dânâ, tebessüm ederek şöyle cevap verir: “Efendim, ben çarşıyı dolaştım. Gördüm ki benden önce bir başka ‘ağa’ gelmiş. Ekmeklerle birlikte insanların vicdanlarını da tartmış hesaplarını görmüş. Kimin terazisi eksikse onun gönlü de dertli, kimin ekmeği fazlaysa onun kalbi de huzurlu. Yani herkesin hesabı kendi vicdanında görülmüş. Artık bana gerek kalmamış.” 

İnsanların yaptıkları işler, onların iç dünyalarının bir yansımasıdır. Vicdanı rahat olanın terazisi de doğrudur; içi sıkıntı dolu olanın ise terazisi şaşar. Gerçek denetim, dıştan değil, insanın kendi vicdanından başlar.

Yağmur, Nurullah Genç

Var eden'in adıyla insanlığa inen Nur
Bir gece yansıyınca kente Sibir dağından
Toprağı kirlerinden arındırır bir Yağmur
Kutlu bir zaferdir bu ebabil dudağından
Rahmet vadilerinden boşanır ab-ı hayat
En müstesna doğuşa hamiledir kainat.
Yıllardır bozbulanık suları yudumladım,
Bir pelikan hüznüyle yürüdüm kumsalları,
Yağmur, seni bekleyen bir taş da ben olsaydım.

Hasretin alev alev içime bir an düştü,
Değişti hayal köşküm, gözümde viran düştü,
Sonsuzluk çiçeklerle donandı yüreğimde,
Yağmalanmış ruhuma yeni bir devran düştü.
İhtiyar cübbesinden kan süzülür Nebi'nin,
Gökyüzü dalgalanır ipekten kanatlarla,
Mehtabını düşlerken o mühür sahibinin,
Sarsılır Ebu Kubeys kovulmuş feryatlarla,
Evlerin arasına dikilir yeşil bayrak,
Yeryüzü avaredir, yapayalnız ve kurak.
Zaman, ayaklarımda tükendi adım adım,
Heyûla, bir ağ gibi ördü rüyalarımı,
Çölde seni özleyen bir kuş da ben olsaydım.

Yağmur, gülşenimize sensiz, baldıran düştü,
Düşmanlık içimizde; dostluklar yaban düştü,
Yenilgi, ilmek ilmek düğümlendi tarihe,
Her sayfaya talihsiz binlerce kurban düştü.
Bir güzide mektuptur, çağların ötesinden,
Ulaşır intizarın yaldızlı sabahına,
Yayılır o en büyük muştu, pazartesinden,
Beyazlık dokunmuştur gecenin siyahına,
Susuzluktan dudağı çatlayan gönüllerin,
Sükutu yar, sevinci dualar kadar derin.
Çaresiz bir takvimden yalnızlığa gün saydım,
Bir cezir yaşadım ki, yaşanmamış mazide,
Dokunduğun küçük bir nakış da ben olsaydım.

Sensiz, kaldırımlara nice güzel can düştü,
Göğsümüzden umutlar bican düştü,
Yağmur, kaybettik bütün hazinesini ceddin,
En son, avucumuzdan inci ve mercan düştü.
Melekler sağnak sağnak gülümser maveradan,
Gümüş ibrik taşıyan zümrüt gagalı kuşlar,
Mutluluk nağmeleri işitirler Hıradan,
Bir devrim korkusuyla halkalanır yokuşlar,
Bir bebeğin secdeye uzanırken elleri,
Paramparça, ateşler şahının hayalleri.
Keşke bir gölge kadar yakınında dursaydım,
O mücella çehreni izleseydim ebedi,
Sana sırılsıklam bir bakış da ben olsaydım.

Sarardı yeşil yaprak; dal koptu; fidan düştü,
Baykuşa çifte yalı; bülbüle zindan düştü,
Katil sinekler deldi hicabın perdesini,
İstiklal boşluğunda arılar nadan düştü.
Dolaşan ben olsaydım Save'nin damarında,
Tablosunu yapardım yıkılan her kulenin,
Ebedi aşka giden esrarlı yollarında,
Senden bir kıvılcımın, süreyya bir şulenin,
Tarasaydım bengisu fışkıran kakülünü,
On asırlık ocağın savururdum külünü.
Bazen kendine aşık deli bir fırtınaydım,
Fırtınalar önünde bazen bir kuru yaprak,
Uğrunda koparılan bir baş da ben olsaydım.

Sensizlik depremiyle hancı düştü; han düştü,
Mazluma sürgün evi; zalime cihan düştü,
Sana meftun ve hayran, sana ram olanlara,
Bir bela tünelinde ağır imtihan düştü.
Badiye yaylasında koklasaydım izini,
Kefenimi biçseydi Ebva'da esen rüzgar,
Seninle yıkasaydım acılar dehlizini,
Ne kaderi suçlamak kalırdı, ne intihar.
Üstüne pırıl pırıl damladığın bir kaya,
Bir hurma çekirdeği tercihimdir dünyaya.
Suskunluğa dönüştü sokaklarda feryadım,
Tereddüt oymak oymak kemirdi gururumu,
Bahira'dan süzülen bir yaş da ben olsaydım.

Haritanın en beyaz noktasına kan düştü,
Kırıldı adaletin kılıcı; kalkan düştü,
Mahkumlar yargılıyor; hakimler mahkum şimdi,
Hakların temeline sanki bir volkan düştü.
Firakınla kavrulur çölde kum taneleri,
Ahuların içinde sevdan akkor gibidir,
Erdemin, bereketin doldurur haneleri,
Sensiz hayat toprağın sırtında ur gibidir,
Şemsiyesi altında yürürsün bulutların,
Sensiz, yükü zehirdir en güzel imbatların.
Devlerin esrarını aynalara sorsaydım,
Çözülürdü zihnimde buzlanmış düşünceler,
Okşadığın bir parça kumaş da ben olsaydım.

Sensiz, tutunduğumuz dallardan yılan düştü,
İlkin karardı yollar, sonra heyelan düştü,
Güvenilen dağlara kar yağdı birer birer,
Sensizlik diyarından püsküllü yalan düştü.
Yağmur, duysam içimin göklerinden sesini,
Yağarsın; taşlar bile yemyeşil filizlenir,
Yıldırımlar parçalar çirkefin gövdesini,
Sel gider ve zulmetin çöplüğü temizlenir,
Yağmur, bir gün kurtulup çağın kundaklarından,
Alsam, ölümsüzlüğü billur dudaklarından.
Madeni arzuların ardında seyre daldım,
Küflü bir manzaranın çürüyen güllerini,
Senin için görülen bir düş de ben olsaydım.

Şehirler kabus dolu; köylere duman düştü,
Tersine döndü her şey sanki; asuman düştü,
Kırık bir kayık kaldı elimizde, hayali,
Hazindir ki; dertleri aşmaya umman düştü.
Ay gibisin, güneşler parlıyor gözlerinde
Senin tutkunla mecnun geziyor güneş ve ay
Her damla bir yıldızı süslüyor göklerinde
Sümeyra'yı arıyor her damlada bir saray
Tohumlar ve iklimler senindir, mevsim senin
Mekanın fırçasında solmayan resim senin.
Yağmur, bir gün elini ellerimde bulsaydım,
Güzellik şahikası gülümserdi yüzüme
Senin visalinle bir gülmüş te ben olsaydım.

Tavanı çöktü aşkın; duvarlar üryan düştü,
Toplumun gündemine koyu bir isyan düştü,
İniltiler geliyor doğudan ve batıdan,
Sensizlikten bozulan dengeye ziyan düştü.
Islaklığı sanadır ahımın, efganımın,
İçimde hicranınla tutuşuyor nağmeler,
Sendendir eskimeyen cevheri efkarımın,
Nazarın ok misali karanlıkları deler.
Bu değirmen seninle dönüyor; ahenk senin,
Renkleri birbirinden ayıran mihenk senin.
Bir hüzün ülkesine gömülüp kaldı adım,
Kapanıyor yüzüme aralanan kapılar,
Sana hicret eden bir Kureyş de ben olsaydım.

Yağmur, ayrılığıma seninle derman düştü,
Beynimin merkezine ölümsüz ferman düştü,
Silindi hayalimden bütün efsunu ömrün,
Bir dönüm noktasında aklıma Rahman düştü.
Nefesinle yeniden çizilecek desenler,
Çehreler yepyeni bir değişim geçirecek,
Aydınlığa nurunla kavuşacak mahzenler,
Anneler çocuklara hep seni içirecek,
Yağmur, seninle biter susuzluğu evrenin,
Sana mü'mindir sema; sana muhtaçtır zemin.
Damar damar seninle, hep seninle dolsaydım,
Batılı yıkmak için kuşandığın kılıcın,
Kabzasında bir dirhem gümüş de ben olsaydım.

Kardeşler arasına heyhat, su-i zan düştü,
Zedelendi sağduyu; körleşen iz'an düştü,
Şarkısıyla yaşadık yıllar yılı baharın,
İnsanlık bahçemize sensizlik hazan düştü.

Yağmur, seni bekleyen bir taş da ben olsaydım,

Çölde seni özleyen bir kuş da ben olsaydım,
Dokunduğun küçük bir nakış da ben olsaydım,
Sana sırılsıklam bir bakış da ben olsaydım,
Uğrunda koparılan bir baş da ben olsaydım,
Bahira'dan süzülen bir yaş da ben olsaydım,
Okşadığın bir parça kumaş da ben olsaydım,
Senin için görülen bir düş de ben olsaydım,
Yeryüzünde seni bir görmüş de ben olsaydım,
Sana hicret eden bir Kureyş de ben olsaydım,
Damar damar seninle, hep seninle dolsaydım,
Batılı yıkmak için kuşandığın kılıcın,
Kabzasında bir dirhem gümüş de ben olsaydım...

Cauchy-Schwarz eşitsizliği

Cauchy-Schwarz eşitsizliği, bazı matematik kitaplarında sadece Schwarz eşitsizliği veya sadece Cauchy eşitsizliği veya Cauchy-Schwarz-Bunyakovski eşitsizliği olarak da geçmektedir. Matematik bilimi teorisinde önemli bir eşitsizlik olup, çeşitli matematiksel uygulamalarda kullanılmaktadır. Cauchy-Schwarz eşitsizliği; analiz, lineer cebir, olasılık ve istatistik konuları  arasında sıklıkla kullanılmaktadır. Özellikle vektörler alanında, sonsuz seriler ve çarpım uygulamalarında, varyans ve kovaryans hesaplamalarında eşitsizlik çok kullanılmaktadır. Toplamlar için bu eşitsizlik ilk defa Augustin Louis Cauchy tarafından 1821'de ve integraller için ise bu eşitsizlik ilk defa Viktor Yakovlevich Bunyakovsky tarafından 1850'de ve sonra tekrar olarak Hermann Amandus Schwarz tarafından 1888'de ortaya atılmıştır. Bu nedenle eşitsizlik üç ismin adıyla matematik kitaplarda yer almıştır.

Sayılabilir Sonsuzluk Kavramı

Sonsuz kavramı, matematikte farklı bir tanımlamadır. "Lemniscate", “sonsuzluk” ya da “sekiz” şeklinde (∞) bir eğriyi ifade eden genel bir terimdir. Kelime, Latince lēmniscātus (“kurdeleli”) ve Yunanca λημνίσκος (lēmniskos) (“kurdele”) sözcüklerinden gelir. Genellikle matematik ve fizikte herhangi bir sonu olmayan kavramları veya sayıları tanımlamak için kullanılır. Matematiksel denklemi: (x²+y²)²−cx²−dy²=0 şeklinde olup d<0 olduğunda eğri bir lemniskattır. Proclus, Johann ve Jakob Bernoulli, Gerono, Cassini gibi matematikçiler çeşitli lemniscate eğrileri tanımlamıştır.

Matematikte “sonsuz” kavramı bazen sayı gibi ele alınır; örneğin “sonsuz sayıda terim” ifadesinde olduğu gibi burada sayılamayacak kadar çoklukta bir sayı adedi olduğunu ifade eder. Ancak gerçek sayılar kümesinde sonsuzluk bir sayı olarak yer almaz. Bazı sayı sistemlerinde ise "sonsuz küçük" değerler tanımlanabilir. Sonsuz küçük değer, sıfırdan büyük ama her gerçek sayıdan daha küçük olan bir önemsenmeyecek kadar küçük olan bir niceliktir. Yani “çok çok küçük ama sıfır olmayan” bir sayı gibi düşünülebilir. Matematikte, limit kavramı içindeki ε (epsilon) genellikle böyle "Sonsuz küçük" değeri temsil eder. Sonsuz küçük değer olanın çarpmaya göre tersi alınırsa ε’nin tersi (1/ε gibi) çok büyük bir sayı olur ve bu bir sonsuz sayı olarak düşünülebilir. Buradaki sonusz kavramı, normal sayılarla ifade edilemez; sürekli artan bir niceliği temsil eden ve büyüklüğünün bir sınırı olmayan değerdir.

19. ve 20. yüzyıllarda yaşamış matematikçiler bu alanda çalışmalar yapmıştı. Özellikle Georg Cantor, sonsuz ve sonsuz kümeler üzerine önemli çalışmaları ile bilinir. (Bkz. Georg Cantor) G. Cantor’un kuramına göre farklı boyutlarda sonsuz kümeler vardır. Örneğin, tamsayıların oluşturduğu küme “sayılabilir sonsuz” olarak adlandırılırken, gerçek sayıların oluşturduğu küme “sayılamayan sonsuz” olarak tanımlanır. Bu kavramlar başlangıçta anlaşılması zor ve hatta kabul edilmesi güç olsa da, günümüzde küme teorisi, analiz ve matematiksel mantığın temel taşlarından biri hâline gelmiştir. Matematikte bir küme sonsuz ise, elemanlarını tek tek sayarak sona ulaşmak mümkün değildir. Örneğin doğal sayılar kümesi (1, 2, 3, …) sonsuzdur. Cantor, sonsuzun yalnızca bir sıfat olmadığını, aynı zamanda ölçülebilir bir büyüklük olabileceğini göstermiştir. Eğer bir küme, doğal sayılarla bire bir eşleştirilebiliyorsa sayılabilir sonsuzdur; bu yapılamıyorsa sayılamayan sonsuzdur. Örnek vermek gerekirse, tüm tam sayılar ve rasyonel sayılar sayılabilir sonsuz kümelerdir, ancak gerçek sayılar sayılamaz sonsuzluktadır; bu nedenle gerçek sayılar daha büyük bir sonsuzluk olarak kabul edilir. Tüm çift sayılar her doğal sayıya bir çift sayı atayarak doğal sayılarla eşlenebilir. Rasyonel sayılar da bir listeye dizilebilir; böylece rasyonel sayılar sayılabilir sonsuz olarak kabul edilir. Buna göre doğal sayıları listeleyebilirsiniz, ama gerçek sayıları listeleyemezsiniz. G. Cantor’dan önce matematikçiler, bazı sonsuz kümelerin doğal sayılarla bire bir eşlenebileceğini fark etmelerine rağmen bunu kuramsallaştıran Cantor olmuştur. 

Doğal sayılar N={0,1,2,3,4......} ile pozitif tamsayılar Z+={1,2,3,...} aynı kardinaliteye sahiptir. Eşleme fonksiyonu şöyle yazılabilir: $f(n) = n+1$ 

Doğal sayılar $\mathbb{N}$ ile çift sayılar $2\mathbb{N}$ aynı kardinaliteye sahiptir. Eşleme fonksiyonu şöyle yazılabilir: $f(n)=2n$ 

Tüm tamsayılar $\mathbb{Z}$ da doğal sayılar ile aynı kardinalitededir. Eşleme fonksiyonu şöyle yazılabilir: n çift ise f(n)=​n/2 ve n tek ise f(n)= - (n+1)/2 olarak yazılır.

G. Cantor, 1872’de rasyonel sayılar kümesi üzerinde çalıştı. Rasyonel sayılar, doğal sayıları da içerir çünkü her tam sayı n, n/1 olarak yazılabilir. Her iki rasyonel sayı arasında sonsuz başka rasyonel sayı vardır. Görünüşte rasyonel sayılar doğal sayılardan çok daha fazla gibi görünse de, Cantor bunların sayıca eşit olduğunu kanıtlamıştır. Bu, rasyonel sayıları bir matrise yerleştirip diyagonal bir şekilde listeleyerek yapılabilir; bu sayede rasyonel sayılar doğal sayılarla bire bir eşlenebilir. Bu tür kümelere sayılabilir sonsuz kümeler denir ve kardinalitesi ℵ₀ (alef sıfır) ile gösterilir.   

Her rasyonel sayı iki tam sayının a ve b aralarında asal tam sayılar olacak biçimde a/b şeklinde yazılmasıyla oluşturulabilir. Buna göre bu sayı çiftleri bir ızgara gibi spirale yerleştirilir ve doğal sayılara birebir eşlenir. Böylece $\mathbb{Q}$ yoğun olmasına rağmen sayılabilir olur. Bunu izah ederken tüm tam sayı çiftlerini (a,b) iki boyutlu bir koordinat düzleminde düşünebiliriz. Her nokta bir rasyonel sayıyı temsil eder (geçerli olması için b ≠ 0 ve a, b aralarında asal olmalı). Örneğin: (1,2) noktası →1/2 ve (−3,5) noktası →-3/5 ve (0, 0) noktası → 0 sayısını temsil edecek şekilde yerleştirelim. Bu şekilde devam ettiğimizde düzlemdeki tüm noktaları bir sprial (örneğin merkezden dışa dönen bir yol) boyunca tek tek sıralayabiliriz. Böylece her (a,b) çifti, spiraldeki bir sıraya (doğal sayıya) karşılık gelir. Bu spiral yöntemiyle her nokta (a,b) sadece bir tane doğal sayıya denk gelir. Yani iki farklı nokta (örneğin (1,2) ve (3,4)) aynı doğal sayıya karşılık gelmez. Bu yüzden birebir eşleme vardır. Spiral her noktaya gider ama her nokta bir rasyonel sayıyı temsil etmez (bazıları geçersizdir, örneğin b=0 noktası için bir karşılık bulunamaz.) Yani bazı doğal sayılar “boş” kalır ama bu problem değildir, çünkü bizim için önemli olan birebir eşlemenin olmasıdır tam kapsama gerekli değildir. Sonuç olarak |Q| ≤ |N| olduğunu görürüz. Bu eşleme sayesinde rasyonel sayıların kümesi, doğal sayılardan daha fazla değil (en fazla o kadar) eleman içerir. Ayrıca, her doğal sayı da bir rasyonel sayıdır (örneğin 3 = 3/1), dolayısıyla |N| ≤ |Q| de doğrudur. Cantor–Bernstein Teoremi’ne göre bu |Q| ≤ |N| ve  |N| ≤ |Q| iki koşulu varsa o zaman |Q| = |N| olduğunu söyleyebiliriz. Sonuç olarak Rasyonel sayılar sonsuzdur, ama “doğal sayılar kadar” sonsuzdur. Yani sayıca aynı büyüklüktedirler — her rasyonel sayı bir doğal sayıyla eşleştirilebilir.

G. Cantor’un bir sonraki sorusu, gerçek sayıların kardinalitesi olmuştur. Gerçek sayılar, sürekli sayı doğrusu üzerindeki tüm noktaları içerir, irrasyonel sayıları da kapsar. Cantor, gerçek sayıların doğal ve rasyonel sayılardan “daha büyük” olduğunu kanıtladı. Bunu, diyagonal argüman ile gösterdi: 0 ile 1 arasındaki gerçek sayılar bir listeye alınmış olsa bile, listedeki her sayının ondalık basamaklarından yeni bir sayı türetmek mümkündür. Bu yeni sayı, listedeki hiçbir sayı ile aynı olmayacağı için, gerçek sayılar sayılamayan sonsuzluktur. Gerçek sayıların kardinalitesi kümelerin sürekliliği (c) olarak adlandırılır.

G. Cantor’un en dikkat çekici sonucu gerçek sayılar kümesinin doğal sayılarla bire bir eşlenemeyeceğini göstermesidir. Yani doğal sayılardan daha büyük bir sonsuzluk kavramı vardır. Bu düşünceyi destekleyen en ünlü kanıt Cantor’un diyagonal argümanıdır. Diyagonal argümanın özeti şöyledir: Varsayalım ki 0 ile 1 arasındaki tüm gerçek sayılar bir liste halinde yazılmış olsun. Bu dizide yer almayan bir sayı oluşturmak için listedeki her sayının i’inci ondalık basamağından farklı bir rakam seçerek yeni bir ondalık sayı oluşturulur. Bu yeni sayı listedeki hiçbir sayı ile aynı olamaz. Sonuç olarak, [0,1] aralığındaki gerçek sayılar listeye alınamaz; yani gerçek sayılar kümesi eşleştirme yapılamadığından gerçek sayılar "sayılamayan" sonsuzdur.

 

1874’te Cantor, 1 uzunluğundaki bir doğru ile 1 kenar uzunluğundaki bir kare arasındaki noktaların bire bir eşlenip eşlenemeyeceğini araştırdı. Sonuç, doğru ve karedeki noktaların aynı kardinaliteye sahip olduğuydu. Bu düşünce, küp veya n-boyutlu hiper-küp için de geçerlidir. Cantor bu sonucu görünce şaşkınlığını gizleyememiş ve “Görüyorum ama inanamıyorum!” demiştir. Cantor çalışmalarında farklı kardinal sayıları tanımladı ve ilkini ℵ₀ diğerlerini ℵ_1, ℵ_2, ℵ_3..... olarak gösterdi.

  

G. Cantor, doğal sayılar ($\mathbb{N}$) ve gerçel sayılar ($\mathbb{R}$) kümesi arasında başka bir büyüklükte sonsuz küme olup olmadığını merak etti. Yani şöyle soruyordu: Doğal sayılar sayılabilir sonsuzdur ve kardinalitesi ℵ_0, ℵ_1, ℵ_2, ℵ_3.....ile gösterilir. Gerçel sayılar sayılamayan sonsuzdur ve kardinalitesi c (süreklilik kardinalitesi) ile gösterilir. ℵ₀ $<\; ?\; <\; c$ olacak şekilde bir kardinal sayı var mıdır? Yani doğal sayılar ve gerçel sayılar arasında “orta büyüklükte” bir sonsuzluk var mı? Bu soru, Cantor’un zamanında sürekli hipotez (continuum hypothesis) olarak adlandırıldı. Hipotez, şöyle özetlenebilir: “Her sonsuz küme ya sayılabilir sonsuzdur ℵ₀ ya da gerçel sayılarla aynı kardinaliteye sahiptir (c). Arada başka bir sonsuzluk yoktur.” Cantor’un matematiksel araçları bu hipotezi çözmek için yeterli değildi. 1940’ta Kurt Gödel, hipotezin çürütülemeyeceğini yani standard matematik (ZFC aksiyomları) ile yanlışlanamayacağını gösterdi. 1963’te Paul Cohen, hipotezin kanıtlanamayacağını yani standart matematikle doğrulanamayacağını gösterdi. Böylece sürekli hipotez, modern matematikte bağımsız bir problem hâline geldi.

 

Georg Cantor’un bu kuramı, küme teorisi ve matematiğin temelleri açısından bir dönüm noktasıdır. Sayılamayan sonsuzluk kavramı analizde, topolojide ve mantıkta merkezi bir rol oynar. Sonsuzlukların farklı katmanlarının olması, matematiksel gerçeklik anlayışını değiştirmiştir. Bilgisayar biliminde diyagonal yöntemleri, Kurt Gödel’in eksiklik teoremleri ve Alan Turing’in durdurma problemi gibi çalışmalara temel oluşturmuştur. Başlangıçta Cantor’un fikirleri bazı matematikçiler tarafından felsefi sebeplerle reddedilmiş olsa da, günümüzde kuantum mekaniğinden karmaşık sistemlerin analizine kadar “sonsuzluk” ve “küme büyüklüğü” kavramları kritik hâle gelmiştir. Veri bilimi ve algoritma teorisinde sayılabilir ve sayılamayan kümeler arasındaki fark analizlerde kullanılmaktadır. 

 

Sonuç olarak, sonsuzluk kavramı sadece “sınırı olmayan, sayılamayan, çok büyük” bir kavram değildir; farklı türleri vardır ve bu türler birbirinden ciddi biçimde ayrılır. Georg Cantor sayesinde biliyoruz ki sonsuzluk tek bir büyüklük değildir; bazı sonsuz kümeler diğerlerinden daha büyüktür. 19.–20. yüzyıl dönümünde matematikçiler “sonsuzluk” kavramını ciddiye almaya başladılar. Bu sonsuzluk kavramı keşfi, gerçek sayılar, fonksiyonlar ve kümeler teorisinde büyük ilerlemelere yol açmasına rağmen aynı zamanda çelişkiler ve paradokslara neden olmuştur. Ünlü sonsuzluk paradokslarından ikisini burada açıklayarak yazıyı bitirelim. 

 

Hilbert’in Oteli, sonsuzluk kavramının tuhaf sonuçlarını göstermek için geliştirilen ünlü bir düşünce deneyidir. Bu otelde sonsuz sayıda oda vardır ve her oda dolu durumdadır. Buna rağmen, yeni bir misafir geldiğinde yine de ona yer açmak mümkündür.Otelin yöneticisi, her misafirin bir sonraki odaya geçmesini ister:1 numaralı odadaki kişi 2 numaralı odaya,2 numaralı odadaki kişi 3 numaralı odaya,3 numaralı odadaki kişi 4 numaralı odaya geçer,ve bu düzen sonsuza kadar devam eder.Böylece 1 numaralı oda boşalır ve yeni gelen misafir rahatça yerleşebilir. Aynı mantıkla, eğer sonsuz sayıda yeni misafir gelirse, mevcut misafirler odalarını ikiyle çarparak (1→2, 2→4, 3→6 …) yeni odalara geçer; böylece tüm tek numaralı odalar yeni misafirlere ayrılır.Bu düşünce deneyi, sonsuzluk kavramının sezgilerimize ters düşen yönlerini ortaya koyar: Otel tamamen dolu olsa bile, hala yer açılabilir; çünkü sonsuz bir otelde son oda yoktur. Bu da, matematikteki “sonsuzun bitmeyen” ve “sınır tanımayan” doğasını çarpıcı bir şekilde gösterir.

 

Zeno’nun paradoksu, hızlı koşucu Aşil ile yavaş bir kaplumbağa arasındaki hayali bir yarışı anlatır. Aşil, kendine güvendiği için kaplumbağaya küçük bir başlangıç avantajı verir. Zeno’ya göre, bu durumda Aşil kaplumbağayı asla yakalayamaz. Çünkü Aşil önce, kaplumbağanın başladığı noktaya ulaşmak zorundadır. Ancak Aşil o noktaya geldiğinde, kaplumbağa biraz daha ilerlemiş olur. Aşil bu yeni mesafeyi kat ederken, kaplumbağa yine az da olsa daha ileriye gider. Bu süreç sonsuza kadar sürer: Aşil her seferinde aradaki mesafenin bir kısmını kapatır ama kaplumbağa hep biraz öndedir. Bu nedenle, Zeno’ya göre, Aşil kaplumbağayı yakalamak için sonsuz sayıda adım atmak zorunda kalır; bu da sanki asla yetişemeyecekmiş gibi görünür. Paradoks, sonsuz bölünme ve hareketin doğası üzerine düşünmeye yönelten klasik bir felsefi sorudur. 

 

Kaynakça:
*Macgregor, P. (2008, 1 Haziran). A glimpse of Cantor's paradise, https://plus.maths.org/content/glimpse-cantors-paradise
*Infinity and Countability, https://www.su18.eecs70.org/static/notes/n10.html
*A Foundational Crisis, Ted Sider Philosophy of Mathematics,https://tedsider.org/teaching/math/HO_crisis_in_foundations.pdf *A Discrete Solution for the Paradox of Achilles and the Tortoise, (2015), Vincent Ardourel, https://hal.science/hal-01929811/file/A_discrete_solution_for_the_paradox_of_A.pdf
*The True (?) Story of Hilbert’s Infinite Hotel, (2014), Helge Kragh, Centre for Science Studies, Department of Physics and Astronomy, Aarhus University, https://arxiv.org/pdf/1403.0059