Algoritma ve Özellikleri

Algoritma, belirli bir problemi çözmek veya belirli bir amaca ulaşmak için çözüm yolunun adım adım tasarlanmasıdır. Bir problemi tanımlama, nedenini açıklama, çözümü için alternatif yolları belirleme ve bu yollar arasından en uygun olanı uygulama süreçlerinin tamamı “problem çözme” olarak adlandırılır. Algoritma, bir problemi çözmek için gerekli yolun basit, net ve belirli bir sıraya göre tasarlanmış hâlidir. Matematikte ve bilgisayar biliminde bir işi yapmak için tanımlanan, bir başlangıç durumundan başladığında, açıkça belirlenmiş bir son durumunda sonlanan, sonlu işlemler kümesi algoritma içinde yer alır. Genellikle bilgisayar programlamada algoritma sıklıkla kullanılır ve tüm programlama dillerinin temeli algoritmaya dayanır. Aynı zamanda algoritma tek bir problemi çözecek davranışın, temel işleri yapan komutların veya deyimlerin adım adım ortaya konulmasıdır ve bu adımların sıralaması algoritmada oldukça önemlidir. Bir problem çözülürken algoritmik ve sezgisel (herustic) olmak üzere iki yaklaşım vardır. Algoritmik yaklaşımda da çözüm için olası yöntemlerden en uygun olan seçilir ve yapılması gerekenler adım adım ortaya konulur. Algoritmayı belirtmek için; metinsel olarak düz ifade ve akış diyagramı olmak üzere 2 yöntem kullanılır. Algoritmalar bir programlama dili vasıtasıyla bilgisayarlar tarafından işletilebilirler. 

İsra ve Mirac

“Bir gece, kendisine bazı âyetlerimizi gösterelim diye kulunu Mescid-i Haram’dan çevresini mübarek kıldığımız Mescid-i Aksâ’ya götüren Allah tüm eksikliklerden münezzehtir. O, gerçekten her şeyi işitmekte ve görmektedir.” (el-İsra-1)

سُبْحَانَ الَّذ۪ٓي اَسْرٰى بِعَبْدِه۪ لَيْلًا مِنَ الْمَسْجِدِ الْحَرَامِ اِلَى الْمَسْجِدِ الْاَقْصَا الَّذ۪ي بَارَكْنَا حَوْلَهُ لِنُرِيَهُ مِنْ اٰيَاتِنَاۜ اِنَّهُ هُوَ السَّم۪يعُ الْبَص۪يرُ

 

İsra ve Mirac hadisesi haktır. Ayet ile sabittir. İsra olayı, içerisinde çeşitli hikmetler barındırır. Kısa ve öz bir okumayla bu hadise, Resulullah'a ﷺ ikram edilmiş büyük bir mucizedir. Allah bizleri de o büyük peygamberin ﷺ şefaatinden mahrum etmesin. Allah bizleri, ümmeti Muhammede hediye olarak verilen namazla kurtuluşa erenlerden, Allah'a ﷻ kavuşanlardan eylesin. İsra ve Mirac hadisesi ile ilgili tefsir okumalarımdan bazı özet notları aşağıda paylaştım. Allah, ﷻ tüm bunların vesilesiyle dünyada ve ahirette lütuf ve ikram görenlerden kılsın.(Amin) Kadir PANCAR 

***

1) Allah'ın ﷻ gücü her şeye yeter, onun ilmi ve kudreti hiçbir şeyle sınırlandırılmaz. 

2)  Allah, ﷻ her türlü kötülüklerden ve noksanlıklardan uzaktır, Allah, ﷻ çirkinliklerden münezzehtir. 

3) İsra hadisesinin inkarı, aklen ve naklen mümkün değildir. Bunu inkar edenler, esasında nübüvveti inkar ederler.

4) İsra hadisesinin bir hediyesi olan "Namaz", müminin miracıdır. Namaz, Allah'a ﷻ dünyada kavuşmanın bir vesilesidir. 

5) Kulluk makamı (abd), yüce bir mertebedir. Allah'ın ﷻ bir insanı "abd" olarak isimlendirmesi, ona izafe edilen makamın yüceliğini gösterir. "abd"(kul) sözüyle hem rûh hem de beden murad edilmiştir.

6) Allah ﷻ için zaman ve mekan kavramının boyutu bizim idrakimizden farklıdır. Kısacık zaman dilimine istediğini sığdırabilir. Nitekim gecenin az bir bölümünde İsra hadisesi vuku bulmuştur.

7) Yer ve mekan gibi kavramlar, mahlukları bağlar; uzaklık-yakınlık gibi kavramlar, akıl dairesinde bir anlamı ve sınırı olan kavramlardır. Mekansal olarak birbirine uzak gibi görünen iki mescidin yolunu bir anda katetmek, aklen mümkündür. 

8) Allah,ﷻ zaman içinde zaman, mekan içinde mekan yaratır. Bunu istediği anda ona engel olacak yoktur, dilediği kuluna böyle ikram eder. 

9) Nübüvvet, en büyük mucizedir. Tasdik edilmesi ancak hidayetle mümkündür. İsra ve mirac gibi büyük bir olayın ardında bile fitne gruplarının hezeyanları, hidayetin ancak Allah'a ﷻ ait olduğunu ifade eder. 

10) Üzüntü ve neşe gibi insana has durumlar, hep aynı hal üzere devam etmez. İnsanların halleri değişkendir. Allah ﷻ bir anda bütün bu durumları değiştirebilir. Nitekim peygamberimiz ﷺ isra ve mirac ile huzur ve kuvvet bulmuş, düşmanlarına karşı cesareti ve şecaati artmıştır.

11) Ayetin (el-İsra-1) belagatında, "Sübhân" kelimesi ile Allah'ın ﷻ yüceliği ve bütün çirkinliklerden uzak olması ile başladıktan sonra gecenin az bir bölümünde yine uzaklık bildiren "uzak mescid" Aksâ’ya, Mescid-i Haram’dan kulun yürüyüşü anlatılır. Sonra birtakım ayetlerin kuluna gösterildiği ifade edilir, Resulullah ﷺ bütün bunları müşahede ettiği, ayetleri dinlediği belirtilip, ayetleri müşahedenin iki büyük unsuru olan görme ve işitme ile ilgili iki sıfat (semi ve basar) ile ayet-i kerime biter ve Allah'ın ﷻ her şeyi "işiten ve gören" olması ile birlikte ilahi mesaj aktarılır. (26/01/2025)

***

 

Adjoint Matris (Ek Matris)

Bir kare matrisin satır ve sütunlardaki her bir eleman için tüm eş çarpanları (kofaktörleri) tek tek bulunduktan sonra verilen matrisin determinantı, herhangi bir satır ya da sütuna göre açılım yaparak hesaplanabilir. 

Kare matrisin yukarıdaki örnekteki gibi tüm kofaktörleri bulunduktan sonra istenilen herhangi bir satır veya sütuna göre matrisin determinantı hesaplanır. Burada hangi satır veya sütun seçilirse seçilsin determinant sonucu değişmez. Determinant hesabı yapılırken hangi satı veya sütunda ıfır daha fazla ise o satır veya sütunun tercih edilmesi, işlemler açısından kolaylık sağlar.

Matrislerde elemanter satır işlemleri

Bir matristeki herhangi bir satır (veya sütundaki) tüm elemanlar bir Reel sayı ile çarpılıp farklı bir satır veya sütuna karşılıklı olarak eklenirse determinant değeri değişmez.  Bu özellikten yararlanarak lineer denklem sistemlerinin çözüm kümeleri kolay bir şekilde bulunur. Matrisler kullanılarak doğrusal denklem sitemleri daha kolay çözümlenebilir. Elemanter satır veya sütun işlemi kullanılmadığında denklemler kendi aralarında karşılıklı yok etme metodu ile bilinmeyen sayısı en aza indirilerek çözüm kümesi bulunurken, determinant özelliği yardımıyla matris çözümü daha rahat yapılır. Elemanter satır ve sütun işlemleri; 

1) İki denklemin yerlerini değiştirmek R1==>R2

2) Herhangi bir denklemi bir reel sayı ile çarpmak 2R1==>R1

3) Verilen denklemlerden birini bir reel sayı ile çarpıp başka bir denkleme eklemek 3R1+R2==>R2

                                    

    şeklinde üç temel esasa dayanır. Bu işlemlerde satır üzerinden yapılırsa satır yerine R1,R2, R3..ile, sütun üzerinden yapılırsa da sütun yerine L1, L2, L3.. yazılarak çözüm yapılır. 

Kendiniz yaparken bu satır ve sütun ifadelerini yazmak zorunda değilsiniz sadece ne yapmanız gerektiğini bilmelisiniz. Ayrıca yaptığınız işlemlerin yukarıda yazılan üç maddelik elemanter satır/sütun işlemlerine uygun olmasına dikkat etmelisiniz.

Şimdi burada yazılanları örnekleyecek bir doğrusal denklem sistemi verip bunu matrisler yardımıyla ifade edelim ve örnek bir denklem sistemi çözümünü elemanter satır işlemleri ile yapalım.

Determinant Özellikleri

Determinant hesabı matrislerde önemli bir işlemdir. Bir kare matrisin satır ve sütunlardaki her eleman için tüm eş çarpanları (kofaktörleri) tek tek bulunduktan sonra verilen matrisin determinantı, herhangi bir satır ya da sütuna göre açılım yapılarak hesaplanabilir.(Bkz: Determinant Hesabı) Determinantın çeşitli özellikleri vardır. Bu özellikleri tek tek incelemeye çalışalım.

1) Bir matrisin deteminantı ile o matrisin transpozunun determinantı birbirine eşittir.

2) Bir matrisin herhangi bir satır veya sütunundaki tüm elemanları 0 ise o matrisin determinant değeri 0 olur. Bir matrisin herhangi iki satırın (veya sütunun) tüm elemanları aynı elemanlardan oluşuyorsa determinant değeri sıfır olur.

 

3) Herhangi bir matrisin bir satırındaki veya sütunundaki bütün elemanlar başka bir satır veya sütunda yer alan tüm terimlerle orantılı ile determinant değeri 0 olur.

 4) Bir matrisin bir satırındaki (veya sütunundaki) bütün elemanlar herhangi bir k Reel sayısı ile çarpılırsa o matrisin determinant değeri de k Reel sayısı ile çarpılır.

5) Bir matrisin herhangi bir satır (veya sütunu) kendi arasında yer değiştirir ise determinant sonucu da işaret değiştirir.

6) Determinant işleminde değişme özelliği sağlanır. Yani iki matrisin determinant hesabında, matrisler kendi arasında yer değiştirirse determinant sonucu değişmez. 

7) Determinant işlemi kuvvet alma veya matrisi bir Reel sayı ile çarpım işlemlerini sağlar.

8) Bir matriste herhangi bir satırdaki (veya sütundaki) tüm elemanlar, iki elemanın toplamı biçiminde yazılabiliyorsa determinant değeri de aynı sırada olmak şartıyla iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.

9) Bir matristeki herhangi bir satır (veya sütundaki) tüm elemanlar bir Reel sayı ile çarpılıp farklı bir satır veya sütuna karşılıklı olarak eklenirse determinant değeri değişmez.  Bu özellikten yararlanarak lineer denklem sistemlerinin çözüm kümeleri kolay bir şekilde bulunur. (Bkz. Elemanter Satır -Sütun işlemleri) Matrisler kullanılarak doğrusal denklem sitemleri daha kolay çözümlenir. Elemanter satır veya sütun işlemi kullanılmadığında denklemler kendi aralarında karşılıklı yok etme metodu ile bilinmeyen sayısı en aza indirilerek çözüm kümesi bulunurken bu özellik yardımıyla matris çözümü daha rahat yapılır. (Bkz. Doğrusal Denklem Sistemleri)

10) Bir determinantta herhangi bir satırın (veya sütunun) tüm elemanları başka bir satıra (veya sütuna) ait kofaktör matrisleri ile karşılıklı olarak çarpılır ve elde edilen tüm sonuçlar toplanırsa toplam sonuç 0 olur.

Sarrus Kuralı

Determinat hesabında, kofaktör matrislerinden yararlanarak satır ya da sütuna göre açılım yapılarak hesaplama işlemi yapılır. (Bkz: Determinant Hesabı)  Bu şekilde determinant hesabının yanında bazı sık kullanılan kare matrislerin determinant hesabında pratik bir kural vardır. Lise müfredatında da sıklıkla karşımıza gelen 3 satır ve 3 sütundan oluşan 3x3'lük bir matrisin determinat hesabında, SARRUS kuralı uygulanabilir. Bu kural, Fransız matematikçi Pierre Frédéric Sarrus tarafından keşfedilmiştir. 

F.Sarrus (1798-1861), Strasbourg Üniversitesi (1826-1856) ve Fransız Bilimler Akademisi'nde (1842) çalışmış bir matematikçidir. 3x3 boyutlu bir kare matriste determinat hesabında kofaktör matrisleri yerine sıklıkla Sarrus Kuralı kullanılır. Verilen matrisin ilk üç satırı sabit olarak bırakıldıktan sonra 4.bir satır olarak matrisin ilk satırı en alta tekrar yazılır ve sağ ve sola doğru çaprazlama her bir eleman çarpılarak elde edilen toplam toplandıktan sonra sonuçlar karşılıklı olarak sağ toplamdan sol toplam birbirinden çıkarılıp determinant bulunur.

Sarrus kuralı, 3x3 matriste satır yerine sütun tercihi yapılarak da aynı işlemlerle yapılabilir. Burada verilen matriste en alta ilk satırı eklemek yerine matrisin yanına ilk sütunu tekrar ekleyerek determinant hesaplanır.

Analitik geometride, köşe koordinatları verilen üçgen veya dörtgenlerin alanları hesaplanırken de Sarrus kuralı kullanılır. Köşe koordinatları sırasıyla matris biçiminde yazıldıktan sonra ilk yazılan koordinatlar en alta tekrar yazılır ve çaprazlama Sarrus kuralı gibi işlem yapılır. Daha sonra sağ ve sol toplamlar, kendi arasında pozitif ve negatiflik durumuna göre toplandıktan sonra bulunan determinat sonucu üçgen alanı için mutlak değeri alınıp, hesaplama sonucunun yarısı alınarak kapalı bölgenin alanı bulunur. Bu formül üçgenin köşelerinin koordinatları matrise saatin tersi yönünde yerleştirildiğinde pozitif, saat yönünde yerleştirildiğinde negatif sonuç verir, dolayısıyla alan değeri için sonucun mutlak değeri alınmalıdır. Herhangi bir çokgenin alanı da aynı formülle hesaplanabilir. Bu formül hem konveks hem de konkav çokgenler için kullanılabilir

 

Determinant Hesabı

Bir kare matrisin satır ve sütunlardaki her bir eleman için tüm eş çarpanları (kofaktörleri) tek tek bulunduktan sonra verilen matrisin determinantı, herhangi bir satır ya da sütuna göre açılım yaparak hesaplanabilir. Bir matrisin kofaktör ve minörü ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için ilgili yazımızı okuyabilirsiniz. (Bkz: Bir matrisin kofaktörü)

Kare matrisin yukarıdaki örnekteki gibi tüm kofaktörleri bulunduktan sonra istenilen herhangi bir satır (veya sütuna) göre matrisin determinantı hesaplanır. Burada hangi satır (veya sütun) seçilirse seçilsin determinant sonucu değişmez. Determinant hesabı yapılırken hangi satır veya sütunda sıfır daha fazla ise o satır veya sütunun tercih edilmesi, işlemler açısından kolaylık sağlar.

 

  

Matrisin minörü ve kofaktörü

Matrisin minörü, bir matrisin her bir elemanının çıkarıldığı minör matrisi oluşturan işlemdir. Yani, bir matrisin herhangi bir satır ve herhangi bir sütunundan çıkarılan elemanlardan oluşan yeni bir matristir. Ana matristen bir sütun ve bir satır çıkartılarak elde edilen altmatrise kısa o mattidin minörü denir. Örneğin, 3x3'lük bir matrisin minörü, 2x2'lik bir altmatristir ve başlangıç matrisinden bir satır ve bir sütun çıkarılarak elde edilir. Hangi satır ve sütunun çıkarıldığı minörde indis biçiminde yazılarak gösterilir. Matrisin minörü, ana matrisin bir altkümesini temsil eder ve genellikle determinant ve ters matris hesaplamalarında kullanılır. Matrisin minörü, matrisin belirli bir elemanını dahil etmeyen kısmını ifade eder. Bu işlem, matris hesaplamalarında önemli bir rol oynar.Matris minörleri genellikle determinan hesaplamalarında ve lineer cebir problemlerinde kullanılır.

 

Bir matrisin minörü; genellikle o matrisin determinantını bulmak için kullanılır. Bir matrisin belirli bir minörünün determinantı, bu minör matrisin sütunları ve satırları üzerinden hesaplanarak belirlenebilir. Minörü bulmak, matrisin determinantını hesaplarken kritik bir rol oynar.

Kofaktör matrisi; bir matrisin her elemanının kofaktörlerini içeren matristir. Ana matrisin her elemanının kofaktörü, o elemanın bulunduğu satır ve sütun çıkarıldıktan sonra kalan determinantın değeridir. Kofaktör matrisi, bir kare matrisin her bir elemanının kofaktörlerden oluşan bir matristir. Kofaktör, bir matrisin her bir elemanı için oluşturulan yardımcı bir matristir ve genellikle matrisin determinantını hesaplamakta kullanılır. Bir matrisin kofaktör matrisi genellikle şu adımlarla bulunur: 

1. Her bir elemana ait, satır ve sütunlar çıkarılarak minör matrisi bulun. 

2. Minör matrislerin determinantını  hesaplayın. 

3. Hesaplanan determinanta göre her bir elemanın ayrı ayrı kofaktörünü pozitif veya negatif olarak belirleyin. Kofaktör, determinantın pozitif veya negatif olması, elemanın bulunduğu satır ve sütunun toplam değerine bağlı olarak belirlenir. 

4. Satır ve sütun değerleri toplamı tek ise negatif, çift ise pozitif olur. Örneğin 2.satır 3.sütun elemanın kofaktörünü belirlerken (2+3=5 tek olduğundan) negatif işaret alınır. 

5. Bütün bu hesaplamalardan sonra kofaktör matrisi elde edilir.

Bir kare matrisin Kofaktör matrisi, transpoze edilince o matrisin ek matrisi (adjoint matrisi) elde edilir. Ek matris, ek(A) şeklinde veya adj(A) şeklinde gösterilir. Adjoint matrisi, matrisin tersini bulmada kullanılır. 

 

Bir kare matrisin satır ve sütunlardaki her bir eleman için tüm eş çarpanları (kofaktörleri) tek tek bulunduktan sonra verilen matrisin determinantı, herhangi bir satır ya da sütuna göre açılım yaparak hesaplanabilir. 

Kare matrisin yukarıdaki örnekteki gibi tüm kofaktörleri bulunduktan sonra istenilen herhangi bir satır veya sütuna göre matrisin determinantı hesaplanır. Burada hangi satır veya sütun seçilirse seçilsin determinant sonucu değişmez. Determinant hesabı yapılırken hangi satı veya sütunda ıfır daha fazla ise o satır veya sütunun tercih edilmesi, işlemler açısından kolaylık sağlar.

Bir matrisin transpozu

Bir matrisin transpozu (devriği) matrisin satır ve sütunlarının yer değiştirilmesiyle oluşan yeni bir matristir. Bir matrisin transpozunun tekrar transpozu alınırsa tekrar kendisini verir. Doğrusal (lineer) cebirde, bir A matrisinin transpozu Aᵀ şeklinde ifade edilir.

Skalerle çarpım işleminde transpoze işlemi geçerli olur. Yani bir matrisin skalerle çarpımının transpozu, o matrisin transpozunun aynı skalerle çarpımına eşit olur. Toplam matris üzerinde transpoz alınırsa ayrı ayrı matrislerin transpozları toplamına eşit olur.