PİSA Matematik Sorusu-2012

2012 yılı PİSA Matematik Sorusu (Zorluk Derecesi -1)

SORU: Aşağıdaki haritada bulundukları yerleri işaretlenmiş üç arkadaş (Julia, Maria ve Don) bulundukları noktalardan hareket ederek, haritada gösterilen yerlerden birinde buluşacaklar. Her birinin buluşma için en fazla 15 dakika zamanı olduğuna göre, hangi yerde buluşabilirler? (Haritada gösterilen yol parçaları üzerindeki rakamlar o yol parçasını yürümek için gerekli olan dakikayı göstermektedir.)

SONUÇ: Sorunun doğru cevabı Parkta buluşabilirler. Yolların üzerindeki sayılar dikkate alınarak 15i geçmeyecek şekilde toplama yapıldığında her üç kişiyi de sağlayan tek yerin park olduğu görülür. PİSA yöneticilerinden OECD Kıdemli Analisti Francesca Borgonovi’ye göre, 2012 yılı PİSA uygulamasına katılan öğrencilerin tamamından %63’ü bu soruya doğru cevap verememiş sadece %37 si doğru cevap vermeyi başarır. Aynı soru için Türkiye öğrencilerin durumu ise sınava Türkiye adına katılan 4848 öğrenciden hiçbiri bu soruya doğru cevabı verememiştir.

Türk öğrencilerinin bu tip bir soruda zorlanmasının temel sebebi; olarak yorum kabiliyetlerinin gelişmemiş olması, sadece soru ve problem çözmeye odaklı eğitim almış olmaları, bu şekildeki şekilli soruların zor olabileceği gibi yanlış bir öngörüye sahip olmaları veya o anki sınav stresinin göstermiş olduğu heyecan ve etki gibi pek çok sebep gösterilebilir. 

(Pisa 2012 Matematik Sınavı) Pisa Matematik alanından açıklanan diğer sorulara ulaşmak için tıklayınız.  Soruların niteliği incelendiğinde, tamamen gündelik hayatta sık karşılaşılan bir durumu anlamaya odaklı ve bu türden problemleri çözmeye odaklı, güncel yaşamla doğrudan bağlantılı sorulardan oluştuğu gözlemlenebilir.

Évariste Galois ve Grup Teorisi

Évariste Galois, 25 Ekim 1811 tarihinde Fransa'nın Bourg-la-Reine kasabasında doğmuştur. Babası Nicolas-Gabriel Galois, Napolyon'un Elba Adası'ndan dönüşü sırasında 1815'te geçici olarak belediye başkanlığı yapmıştır. Galois, 1823 yılında Paris'teki Collège Royal Louis-le-Grand'a kaydolmuş, burada matematiksel yetenekleri hızla gelişmiştir. Ancak, öğretmenlerinin yetersizliği nedeniyle akademik kariyerinde zorluklar yaşamıştır. 1827 ve 1829 yıllarında École Polytechnique'e kabul edilmemiştir. 1829'da babasının intiharının ardından, Galois'ın siyasi görüşleri daha da belirginleşmiş ve 1830'larda Fransız Devrimi'ne katılmıştır. Bu dönemde, matematiksel çalışmalarına devam etmiş ve 1831'de Akademi'ye sunduğu makaleleri reddedilmiştir. Sonunda, 31 Mayıs 1832 tarihinde Paris'te nedeni tam olarak bilinmeyen bir düelloda aldığı yaralar sonucu 20 yaşında hayatını kaybetmiştir. 

Galois, cebirsel denklemlerin çözümü üzerine yaptığı çalışmalarla tanınır. Özellikle, bir denklemin köklerinin yalnızca kök alma işlemleriyle çözülebilir olup olmadığını belirlemek için gerekli ve yeterli koşulları araştırmıştır. Bu bağlamda, Galois grubu kavramını geliştirmiştir. Galois grubu, bir denklemin köklerinin birbirine dönüşümünü sağlayan permütasyonlar kümesidir. Galois, bir denklemin köklerinin yalnızca kök alma işlemleriyle çözülebilir olduğunu, eğer ve ancak bu grubun çözülür bir grup olması durumunda olduğunu göstermiştir. Bu buluş, beşinci dereceden ve daha yüksek dereceden denklemlerin genel çözümünün mümkün olmadığını gösteren Abel-Ruffini teoreminin anlaşılmasına katkı sağlamıştır. Galois, polinomların köklerini çözme imkanını köklerin birbirleriyle simetrik ilişkilerini (permutasyonlarını) inceleyerek belirlemiştir. Ancak, Galois bu kavramları tam anlamıyla tanımlamamış ve teorisini eksik bir şekilde sunmuştur. 

Galois grubu, bir polinomun köklerinin birbirleriyle olan simetrik ilişkilerini inceleyen matematiksel bir yapıdır. Belirli bir polinom ele alındığında, bu polinomun kökleri üzerinde gerçekleştirilen ve polinomun katsayılarını değiştirmeyen tüm dönüşümler, yani köklerin birbirleriyle yapılan yer değiştirmeleri, Galois grubunu oluşturur. Bu grup, polinomun içsel simetrisini ve kökleri arasındaki yapısal ilişkileri ortaya koyar.

Évariste Galois, bir polinomun köklerinin yalnızca toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve kök alma işlemleriyle ifade edilip edilemeyeceğini belirlemek için bu grupları kullanmıştır. Burada temel kavram “çözülür grup” olarak adlandırılan gruptur. Bir polinomun Galois grubunun çözülür olması, polinomun köklerinin klasik cebirsel işlemlerle bulunabilir olduğunu gösterir. Galois, bu sonucu matematiksel olarak ispatlamış ve bu sayede bir polinomun köklerinin yalnızca belirli grupların yapısına bağlı olarak kök alma işlemleriyle çözülebileceğini ortaya koymuştur. Örnek olarak, beşinci dereceden bazı polinomların Galois grupları çözülür olmadığından, bu polinomların kökleri yalnızca aritmetik işlemler ve kök alma ile ifade edilemez. Buna karşılık, dördüncü dereceden bir polinomun Galois grubu çözülür ise, polinomun kökleri açık biçimde ve klasik cebirsel yöntemlerle bulunabilir. Bu yaklaşım, polinomların köklerinin çözümü ile grup teorisi arasında kurulan temel bağıntıyı ortaya koymakta ve modern cebirsel kuramın, özellikle de grup teorisinin ve cebirsel denklemler teorisinin temellerini şekillendirmektedir. Galois’in bu çalışmaları, cebirin temel yapı taşlarından biri olarak, matematik tarihinde devrim niteliğinde bir katkı olarak kabul edilmektedir.

Galois'ın çalışmaları, modern grup teorisinin temellerini atmıştır. Grup teorisi, matematiksel yapıları ve simetrileri inceleyen bir dal olup, Galois'ın teorileri bu alanın gelişimine büyük katkı sağlamıştır. Galois'ın fikirleri, 1846'da Joseph Liouville tarafından yayımlanmış ve 1870'te Camille Jordan'ın "Traité des Substitutions" adlı eseriyle grup teorisi matematiğin temel bir parçası haline gelmiştir. Évariste Galois, kısa ömrüne rağmen matematiksel düşüncenin gelişimine önemli katkılarda bulunmuş bir dehadır. Matematiksel teorileri, günümüzde hâlâ kullanılmakta olup, onun bilim dünyasına olan katkıları kalıcıdır. Galois'ın hayatı, bilimsel tutkusunun ve entelektüel mirasının bir yansıması olarak, matematik tarihinin en ilginç ve etkileyici öykülerinden biridir.

Ankara ilitam 2.Sınıf 4.Dönem PDF Kitapları

Ankara ilitam 2.Sınıf 4.Dönem PDF Kitapları: Burada yer alan ders kitapları, 2013-2014 Eğitim-Öğretim Yılı içindir. Burada yer alan bazı ders kitaplarının ünite ve konu başlıkları, iligili ders döneminden sonra değişmiş veya yeni bilgiler ilave edilerek  güncellenmiş olabilir veya yarıyıllık dönemlerde okutulan ders ve konularda üniversite kararıyla değişiklikler/eklemeler/eksiltmelere meydana getirilmiş olabilir. Bu nedenle güncel ders kitapları ve yayınları için lütfen üniversitenin resmi web adresini ziyaret ediniz.  https://ankuzef.ankara.edu.tr/

Ders kitaplarını indirmek veya görüntülemek için; ilgili dönemde yer alan ders adlarının üzerine tıklayarak Yandex Disk bağlantısından ders kitabını PDF olarak görüntüleyebilir veya cihazınıza indirebilirsiniz. Ayrıca en altta yer alan drive bağlantılarından da ders kitaplarını topluca RAR dosyası halinde bilgisayarınıza indirebilirsiniz. Google Drive üzerinden bütün kitapların tek tek PDF dosyası biçimindeki paylaşıma ulaşmak için tıklayınız. (PDF)

Ankara ilitam 2.Sınıf 4.Dönem Ders Kitapları

İslam Anayasa ve İdare Hukuku

İslam felsefesi tarihi
Tefsir metinleri-II
Hadis metinleri-II
Dinler tarihi
Din felsefesi

Dosyalar Google Drive, Yandex Disk ve Dropbox sunucularına ayrı ayrı yüklenmiştir. Google Drive,Yandex Disk ve Dropbox ücretsiz dosya depolamasıdır. (2013) Bu yükleme siteleri Bulut tabanlı olarak hizmet vermektedir. Aşağıda yer alan ilgili linklerden ders kitaplarını/dosyalarını ilgili bulut tabanından bilgisayarınıza indirebilirsiniz. Dosyalar sıkıştırılmış formatta olup "winrar" veya başka bir zip programı ile telefon veya bilgisayar ortamında açılabilir. 

Google Drive Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Yandex Disk Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları

Dropbox Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları 

Dropbox Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları 

Dropbox Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları

Dropbox Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları

Dosyalar zaman aşımı nedeniyle bazen sunucular tarafından silinebilmektedir. Dosyaya ulaşamadığınız durumlarda iletişim bölümünden mesaj ile bildirimde bulunabilirsiniz. En güncel ders kitabı baskıları için lütfen Ankara Üniversitesi Uzaktan Eğitim resmi sayfasını ziyaret ediniz. https://ankuzef.ankara.edu.tr/

Ankara İlitam 2.Sınıf 3.Dönem PDF Kitapları

Ankara İlitam 2.Sınıf 3.Dönem PDF Kitapları: Burada yer alan ders kitapları, 2013-2014 Eğitim-Öğretim Yılı içindir. Burada yer alan bazı ders kitaplarının ünite ve konu başlıkları, iligili ders döneminden sonra değişmiş veya yeni bilgiler ilave edilerek  güncellenmiş olabilir veya yarıyıllık dönemlerde okutulan ders ve konularda üniversite kararıyla değişiklikler/eklemeler/eksiltmelere meydana getirilmiş olabilir. Bu nedenle güncel ders kitapları ve yayınları için lütfen üniversitenin resmi web adresini ziyaret ediniz.  https://ankuzef.ankara.edu.tr/

Ders kitaplarını indirmek veya görüntülemek için; ilgili dönemde yer alan ders adlarının üzerine tıklayarak Yandex Disk bağlantısından ders kitabını PDF olarak görüntüleyebilir veya cihazınıza indirebilirsiniz. Ayrıca en altta yer alan drive bağlantılarından da ders kitaplarını topluca RAR dosyası halinde bilgisayarınıza indirebilirsiniz. Google Drive üzerinden bütün kitapların tek tek PDF dosyası biçimindeki paylaşıma ulaşmak için tıklayınız.

Ankara İlitam 2. Sınıf 3.Dönem Ders Kitapları

Tefsir Metinleri-I
Tasavvuf Tarihi
İslam Tarihi-II
İslam Hukuku-II
Hadis Metinleri-I

Dosyalar Google Drive, Yandex Disk ve Dropbox sunucularına ayrı ayrı yüklenmiştir. Google Drive,Yandex Disk ve Dropbox ücretsiz dosya depolamasıdır. (2013) Bu yükleme siteleri Bulut tabanlı olarak hizmet vermektedir. Aşağıda yer alan ilgili linklerden ders kitaplarını/dosyalarını ilgili bulut tabanından bilgisayarınıza indirebilirsiniz. Dosyalar sıkıştırılmış formatta olup "winrar" veya başka bir zip programı ile telefon veya bilgisayar ortamında açılabilir. 

Google Drive Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Yandex Disk Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları

Dropbox Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları 

Dropbox Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları 

Dropbox Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları

Dropbox Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları

Dosyalar zaman aşımı nedeniyle bazen sunucular tarafından silinebilmektedir. Dosyaya ulaşamadığınız durumlarda iletişim bölümünden mesaj ile bildirimde bulunabilirsiniz. En güncel ders kitabı baskıları için lütfen Ankara Üniversitesi Uzaktan Eğitim resmi sayfasını ziyaret ediniz. https://ankuzef.ankara.edu.tr/

Ankara İlitam 1.Sınıf 2.Dönem PDF Kitapları

Ankara İlitam 1.sınıf 2.Dönem Ders Kitapları Burada yer alan ders kitapları, 2013-2014 Eğitim-Öğretim Yılı içindir. Burada yer alan bazı ders kitaplarının ünite ve konu başlıkları, iligili ders döneminden sonra değişmiş veya yeni bilgiler ilave edilerek güncellenmiş olabilir veya yarıyıllık dönemlerde okutulan ders ve konularda üniversite kararıyla değişiklikler/eklemeler/eksiltmelere meydana getirilmiş olabilir. Bu nedenle güncel ders kitapları ve yayınları için lütfen üniversitenin resmi web adresini ziyaret ediniz. https://ankuzef.ankara.edu.tr/

Ders kitaplarını indirmek veya görüntülemek için; ilgili dönemde yer alan ders adlarının üzerine tıklayarak Yandex Disk bağlantısından ders kitabını PDF olarak görüntüleyebilir veya cihazınıza indirebilirsiniz. Ayrıca en altta yer alan drive bağlantılarından da ders kitaplarını topluca RAR dosyası halinde bilgisayarınıza indirebilirsiniz. Google Drive üzerinden bütün kitapların tek tek PDF dosyası biçimindeki paylaşıma ulaşmak için tıklayınız.

Ankara İlitam 1.sınıf 2.Dönem Ders Kitapları

Kuran-ı Kerim II

Arapça-II
İslam Hukuku-I
İslam Tarihi-I
Felsefe Tarihi
İslam Ahlak Felsefesi

Dosyalar Google Drive, Yandex Disk ve Dropbox sunucularına ayrı ayrı yüklenmiştir. Google Drive,Yandex Disk ve Dropbox ücretsiz dosya depolamasıdır. (2013) Bu yükleme siteleri Bulut tabanlı olarak hizmet vermektedir. Aşağıda yer alan ilgili linklerden ders kitaplarını/dosyalarını ilgili bulut tabanından bilgisayarınıza indirebilirsiniz. Dosyalar sıkıştırılmış formatta olup "winrar" veya başka bir zip programı ile telefon veya bilgisayar ortamında açılabilir. 

Google Drive Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Yandex Disk Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları

Dropbox Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları 

Dropbox Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları 

Dropbox Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları

Dropbox Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları

Dosyalar zaman aşımı nedeniyle bazen sunucular tarafından silinebilmektedir. Dosyaya ulaşamadığınız durumlarda iletişim bölümünden mesaj ile bildirimde bulunabilirsiniz. En güncel ders kitabı baskıları için lütfen Ankara Üniversitesi Uzaktan Eğitim resmi sayfasını ziyaret ediniz. https://ankuzef.ankara.edu.tr/

Ankara İlitam Ders Kitapları (PDF)

Burada yer alan ders kitapları, 2013-2014 Eğitim-Öğretim Yılı içindir. Burada yer alan bazı ders kitaplarının ünite ve konu başlıkları, iligili ders döneminden sonra değişmiş veya yeni bilgiler ilave edilerek  güncellenmiş olabilir veya yarıyıllık dönemlerde okutulan ders ve konularda üniversite kararıyla değişiklikler/eklemeler/eksiltmelere meydana getirilmiş olabilir. Bu nedenle güncel ders kitapları ve yayınları için lütfen üniversitenin resmi web adresini ziyaret ediniz.  https://ankuzef.ankara.edu.tr/

Ders kitaplarını indirmek veya görüntülemek için; ilgili dönemde yer alan ders adlarının üzerine tıklayarak Yandex Disk bağlantısından ders kitabını PDF olarak görüntüleyebilir veya cihazınıza indirebilirsiniz. Ayrıca en altta yer alan drive bağlantılarından da ders kitaplarını topluca RAR dosyası halinde bilgisayarınıza indirebilirsiniz. Google Drive üzerinden bütün kitapların tek tek PDF dosyası biçimindeki paylaşıma ulaşmak için tıklayınız.

Ankara İlitam 1.sınıf 1.Dönem Ders Kitapları

Kuran-ı Kerim I
Arapça-I
Sistematik Kelam
Osmanlı Türkçesi
Fıkıh Usulü
Mantık

Ankara İlitam 1.sınıf 2.Dönem Ders Kitapları

Kuran-ı Kerim II

Arapça-II
İslam Hukuku-I
İslam Tarihi-I
Felsefe Tarihi
İslam Ahlak Felsefesi

Ankara İlitam 2. Sınıf 3.Dönem Ders Kitapları

Tefsir Metinleri-I
Tasavvuf Tarihi
İslam Tarihi-II
İslam Hukuku-II
Hadis Metinleri-I

Ankara ilitam 2.Sınıf 4.Dönem Ders Kitapları

İslam Anayasa ve İdare Hukuku

İslam felsefesi tarihi
Tefsir metinleri-II
Hadis metinleri-II
Dinler tarihi
Din felsefesi

Dosyalar Google Drive, Yandex Disk ve Dropbox sunucularına ayrı ayrı yüklenmiştir. Google Drive,Yandex Disk ve Dropbox ücretsiz dosya depolamasıdır. (2013) Bu yükleme siteleri Bulut tabanlı olarak hizmet vermektedir. Aşağıda yer alan ilgili linklerden ders kitaplarını/dosyalarını ilgili bulut tabanından bilgisayarınıza indirebilirsiniz. Dosyalar sıkıştırılmış formatta olup "winrar" veya başka bir zip programı ile telefon veya bilgisayar ortamında açılabilir. 

Google Drive Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Google Drive Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları (RAR DOSYASI)

Yandex Disk Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları

Yandex Disk Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları

Dropbox Bağlantısı için: 1. Yarıyıl Kitapları 

Dropbox Bağlantısı için: 2. Yarıyıl Kitapları 

Dropbox Bağlantısı için: 3. Yarıyıl Kitapları

Dropbox Bağlantısı için: 4. Yarıyıl Kitapları

Dosyalar zaman aşımı nedeniyle bazen sunucular tarafından silinebilmektedir. Dosyaya ulaşamadığınız durumlarda iletişim bölümünden mesaj ile bildirimde bulunabilirsiniz. En güncel ders kitabı baskıları için lütfen Ankara Üniversitesi Uzaktan Eğitim resmi sayfasını ziyaret ediniz. https://ankuzef.ankara.edu.tr/

Smith Sayısı (Wilansky)

1 den büyük asal olmayan bir tamsayının rakamlarının toplamı, sayı asal çarpanlarına ayrılarak yazıldığında bu yazılışta bulunan  tüm asal çarpanların rakamlarının toplamına eşit oluyorsa bu tür   sayılara Smith sayısı denir.

Örnek: ( 121 bir Smith sayısıdır. )

121  = 11 * 11          

1 + 2 + 1  =  1 + 1 + 1 + 1            

4 = 4     

Örnek: ( 166 bir Smith sayısıdır. )

166 = 2 * 83      

1 + 6 + 6  = 2 + 8 + 3               

13  = 13    

Bu sayılarla ilgili çıkmış bir üniversite sorusu bile vardır. 2005 yılında yapılan tek basamaklı sınav sisteminde ÖSS de bu şekilde tanımı verilerek hazırlanmış bir soru karşımıza çıkmaktadır. 

Lehigh Üniversitesi Matematik Bö-lümü’nde öğretim üyesi olan Albert Wilansky, 1982 yılında üvey kardeşi Herold Smith’i aramak için telefonun başına geçer ve numaraları çevirir: 4-9-3-7-7-7-7-5.  Bir yandan kardeşi ile konuşur­ken bir yandan da alışkanlığı nedeniyle telefon numarası 4937775′i asal çarpan­larına ayırmaya başlar. Konuşmalar ola­ğan seyrinde devam ederken bir anda Wilansky durgunlaşır ve kardeşinin söy­lediklerine tepki vermemeye başlar.  Sayı­yı çarpanlarına ayırdığı kağıtta gözü eşit­liğe takılmıştır:

4937775 = 3 x 5 x 5 x 65837. Eşitliğin her iki tarafındaki ra­kamları topladığında kalbi hızlı hızlı at­maya başlar ve gözlerine inanamaz: 4+9+3+7+7+7+5 = 3+5+5+6+5+8+3+7 = 42. Kardeşine hiçbir şey söylemeden bü­yük bir heyecanla telefonu kapatır ve ay­nı özellikte benzer sayılar aramaya baş­lar. Görür ki keşfettiği özelliğe sahip sonsuz tane sayı bulunmaktadır.  O gü­nün anısına Wilansky, rakamları toplamı asal çarpanlarının rakamlarının toplamı­na eşit olan sayılara “Smith Sayıları” adı­nı verir.

Her asal sayının sadece bir tane asal çarpanı olduğu için (o da sayının kendi­sidir) tüm asal sayılar aslında birer Smith Sayısı’dır. 10000′den küçük sayı­lara baktığımızda da 376 adet Smith Sa­yısı olduğunu görürüz: 

4, 22, 27, 58, 85, 94, 121, 166, 202, 265, 274, 319, 346, 355, 378, 382, 391, 438, 454, 483, 517, 526, 535, 562, 576, 588, 627, 634, 636, 645, 648, 654, 663, 666, 690, 706, 728, 729, 762, 778, 825, 852, 861, 895, 913, 915, 922, 958, 985, 1086, 1111,1165……

Smith Sayıları’nın keşfinin ar­dından yapılan çalışmalarla bu sayılar arasında başka ilginç özelliklere sahip sayı grupları tanımlanmıştır. Örneğin sa­dece iki asal sayının çarpımı şeklinde ya­zılabilen Smith Sayıları’na “Yarı Asal Smith Sayıları” adı verilmiştir. 

121 sayısı bir yarı asal Smith Sayısı’dır. 121 = 11 x 11 ve 1+2+1 = 1+1+1+1. 

Diğer bir ilginç grup ise Palindromik Smith Sayıları’dır. Bu sayılar baştan ve sondan okundukla­rında aynı değeri veren sayılardır. 666 sayısı hem bir Smith Sayısı’dır.

 (666 = 2x3x3x37) hem Smith sayısı hem de palindromik özelliği bulunmaktadır.

Örnek:  Yukarıda bahsi geçen sayıyı 4937775 sayısını kullanırsak; 

4937775 = 3 * 5 * 5* 65837          

4 + 9 + 3 + 7 + 7 + 7 + 5 = 3 + 5 + 5+ 6 + 5 + 8 + 3 + 7                 

42 = 42  (4937775 bir Smith sayısıdır. )

Peşi sıra gelen Smith sayılarına da  728 ve 729,  2964 ve 2965 gibi sayılara da "smith kardeş sayıları" denir.

Bilgisayar yardımıyla bir sayının Smith sayısı olup olmadığı bulunabilir. Bunun için java kodlama sistemine göre aşağıda verilen kodlama yapılarak bir algoritma oluşturulabilir.

public static boolean Smith(int sayi) {

    int gecici = sayi, i;

    int asal_carpanlar = 0;

  

    for (i = 2; gecici > 1; i++) {

     if (gecici % i == 0) {

      gecici /= i;

      asal_carpanlar += i;

      i--;

     }

    }

    return basamak_toplami(asal_carpanlar) == basamak_toplami(sayi);

   }

   public static int basamak_toplami(int sayi){

    int toplam = 0;

    while (sayi > 0) {

     toplam += sayi % 10;

     sayi /= 10;

    }

    return toplam;

   }

Mükemmel Sayıların Keşfi

Mükemmel Sayı; kendisi hariç, tüm pozitif tam bölenleri toplamı kendine eşit olan sayılardır. Örneğin 6 sayısının bölenleri 1,2,3 ve 6 dır. 6 hariç bu sayıların toplamı: 1+2+3=6 bulunur. Bu nedenle 6 sayısı mükemmel sayıdır.


Özellikle Avrupa'da yoğun olarak mükemmel sayılara ilgi gösterilmiştir. Mükemmel sayılara gösterilen tutkunun araka planında dini inanışların etkisi büyüktür. Şöyle ki; ilk mükemmel sayı olan 6'nın Allah'ın dünyayı 6 günde yaratmış olması inancı ve Kameri ayının 2. ayı kadar, yani 28 gün olması da var. 

Mükemmel sayılar hakkında ilk defa bu dini inanışların da etkisi ile MS 100 civarında Nicomachus ispat gereği duymadan tamamen sezgisel olarak şu özellikleri sıralıyor:

1- N.ci. mükemmel sayının n basamağı vardır. (1. Sayı 6, 2. sayı 28 3.sayı 496, 4. sayı 8128) dikkat edelim ki henüz 5. mükemmel sayının kaç olduğu bilinmiyor. 

2- Bütün mükemmel sayılar çifttir 

3- Bütün mükemmel sayılar sırasıyla 6 ve 8 ile biterler). 

4- Herhangi bir k>1 için 2k-1 asal ise 2^k-1.(2^k-1) bir mükemmel sayıdır ve mükemmel sayıların hepsini üreten bir algoritmadır. 

5- Sonsuz sayıda mükemmel sayı vardır. 

Bu söylenenlerin doğruluğu/yanlışlığı sonraki yüzyıllarda daha net biçimde ortaya çıkmıştır. Nicomuchos'un iddialarından 1. 3. 4. zamanla çürütüldüler.

Takip eden yüzyıllarda mükemmel sayılar konusuna gönül veren birçok matematikçi oldu. Yazılı kayıtlarda 4.'den sonraki mükemmel sayılara Arap matematikçi İsmail İbn İbrahim İbn Fallus'da(1194-1239) rastlıyoruz. Verdiği 10 mükemmel sayının ilk 7 tanesi doğru 3 tanesi hatalı. Nihayet 1536'da İtalyan matematikçi Pietro Cataldi 211-1 sayısının asal olmadığını (23.89=2047) gösterdi. Bir asal sayı olan 213-1=8191 'dan hareketle 212 (213-1)=33550336'nın bir mükemmel sayı olduğunu da buldu. Bulunan 5. mükemmel sayı 8 basamaklıydı. 6. mükemmel sayı, 1555'de J.Scheybl tarafından bulundu ise de 1977'ye kadar farkına varılmadığından, mükemmel sayılar konusundaki gelişmelere katkısı olmadı. 6. mükemmel sayıyı tekrar ve Scheybl den bağımsız olarak bulan gene Cataldi (1603) idi: 216 (217-1)=8589869056. Bu sıra 8 de olmasına rağmen tekrar 6 ile biten bir mükemmel sayıydı. Cataldi 7. mükemmel sayıyı da bulan matematikçi oldu: 218 (2191)=137438691328.

Mükemmel sayılarla ilgili çalışan matematikçilere Pierre de Fermat Rene Descartes ve Marin Mersenne gibi ünlüleri de dahil edelim. Bu çalışmalar sırasında Mersenne Asalları'nın da bulunduğunu Fermat'nın küçük teoremi adıyla ünlü teoremin bu çalışmaların eseri olduğuna değindikten sonra, 8. mükemmel sayıyı bulan Euler'e gelelim: Euler kendinden önceki matematikçilerden farklı olarak tek mükemmel sayıların da olabileceğini ileri sürdü. Günümüze kadar bu konuda yapılmış olan çalışmalar ne bu iddianın doğruluğunu ne de yanlışlığını ispatlamaya yetmemiştir.

Euclid ilk dört mükemmel sayı üstünde yaptığı araştırmalarda şöyle bir formül ile tanımlanabildiklerini keşfetmiştir: Euler teoremine göre eğer 2^p-1 sayısı asal bir sayı ise 2^p-1 . (2^p-1) sayısı mükemmel bir çift sayıyı verir. 2^p-1.(2^p−1) formülüne göre ilk dört mükemmel sayı şu şekilde hesaplanabilir:

p = 2 için 2¹(2.²−1) = 6
p = 3 için 2^3-1(2³−1) = 28
p = 5 için 2^5-1(2⁵−1) = 496
p = 7 için 2^7-1(2⁷−1) = 8128.

6,28,496,8128....... sayıları mükemmel sayılardır. Formülde p yerine yukarıdaki değişkenler yazılarsa yeni mükemmel sayılar bulunabilir. 2^p-1.(2^p−1) formülüne göre, ilk 40 çift mükemmel sayıyı hesaplamak için p değişkeninin değeri şunlardır: p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609. 

Bu sayılar dışında başka mükemmel sayıların (çift ve ya tek) olup olunmadığı bilinmemektedir.Tek mükemmel sayıların varlığı ve ya yokluğu tam olarak kanıtlanamamıştır.

Tamsayılar Tarama Testi

Tarama Testi 25 Soru, A-B grupları ve Cevap Anahtarından oluşmuştur. Sorular çeşitli soru tiplerinden derlenerek kolaylık derecelerine göre hazırlanmıştır. 

Resim formatında olan soruları istediğiniz biçimde paint ile düzenleyebilirsiniz. Sorular fazla zor olmayacak biçimde seçilmiştir. Tamsayılar konusu ile ilgili testi indirmek için Tıklayınız...