Adjoint Matris (Ek Matris)

Bir kare matrisin satır ve sütunlardaki her bir eleman için tüm eş çarpanları (kofaktörleri) tek tek bulunduktan sonra verilen matrisin determinantı, herhangi bir satır ya da sütuna göre açılım yaparak hesaplanabilir. 

Kare matrisin yukarıdaki örnekteki gibi tüm kofaktörleri bulunduktan sonra istenilen herhangi bir satır veya sütuna göre matrisin determinantı hesaplanır. Burada hangi satır veya sütun seçilirse seçilsin determinant sonucu değişmez. Determinant hesabı yapılırken hangi satı veya sütunda ıfır daha fazla ise o satır veya sütunun tercih edilmesi, işlemler açısından kolaylık sağlar.

Matrislerde elemanter satır işlemleri

Bir matristeki herhangi bir satır (veya sütundaki) tüm elemanlar bir Reel sayı ile çarpılıp farklı bir satır veya sütuna karşılıklı olarak eklenirse determinant değeri değişmez.  Bu özellikten yararlanarak lineer denklem sistemlerinin çözüm kümeleri kolay bir şekilde bulunur. Matrisler kullanılarak doğrusal denklem sitemleri daha kolay çözümlenebilir. Elemanter satır veya sütun işlemi kullanılmadığında denklemler kendi aralarında karşılıklı yok etme metodu ile bilinmeyen sayısı en aza indirilerek çözüm kümesi bulunurken, determinant özelliği yardımıyla matris çözümü daha rahat yapılır. Elemanter satır ve sütun işlemleri; 

1) İki denklemin yerlerini değiştirmek R1==>R2

2) Herhangi bir denklemi bir reel sayı ile çarpmak 2R1==>R1

3) Verilen denklemlerden birini bir reel sayı ile çarpıp başka bir denkleme eklemek 3R1+R2==>R2

                                    

    şeklinde üç temel esasa dayanır. Bu işlemlerde satır üzerinden yapılırsa satır yerine R1,R2, R3..ile, sütun üzerinden yapılırsa da sütun yerine L1, L2, L3.. yazılarak çözüm yapılır. 

Kendiniz yaparken bu satır ve sütun ifadelerini yazmak zorunda değilsiniz sadece ne yapmanız gerektiğini bilmelisiniz. Ayrıca yaptığınız işlemlerin yukarıda yazılan üç maddelik elemanter satır/sütun işlemlerine uygun olmasına dikkat etmelisiniz.

Şimdi burada yazılanları örnekleyecek bir doğrusal denklem sistemi verip bunu matrisler yardımıyla ifade edelim ve örnek bir denklem sistemi çözümünü elemanter satır işlemleri ile yapalım.

Determinant Özellikleri

Determinant hesabı matrislerde önemli bir işlemdir. Bir kare matrisin satır ve sütunlardaki her eleman için tüm eş çarpanları (kofaktörleri) tek tek bulunduktan sonra verilen matrisin determinantı, herhangi bir satır ya da sütuna göre açılım yapılarak hesaplanabilir.(Bkz: Determinant Hesabı) Determinantın çeşitli özellikleri vardır. Bu özellikleri tek tek incelemeye çalışalım.

1) Bir matrisin deteminantı ile o matrisin transpozunun determinantı birbirine eşittir.

2) Bir matrisin herhangi bir satır veya sütunundaki tüm elemanları 0 ise o matrisin determinant değeri 0 olur. Bir matrisin herhangi iki satırın (veya sütunun) tüm elemanları aynı elemanlardan oluşuyorsa determinant değeri sıfır olur.

 

3) Herhangi bir matrisin bir satırındaki veya sütunundaki bütün elemanlar başka bir satır veya sütunda yer alan tüm terimlerle orantılı ile determinant değeri 0 olur.

 4) Bir matrisin bir satırındaki (veya sütunundaki) bütün elemanlar herhangi bir k Reel sayısı ile çarpılırsa o matrisin determinant değeri de k Reel sayısı ile çarpılır.

5) Bir matrisin herhangi bir satır (veya sütunu) kendi arasında yer değiştirir ise determinant sonucu da işaret değiştirir.

6) Determinant işleminde değişme özelliği sağlanır. Yani iki matrisin determinant hesabında, matrisler kendi arasında yer değiştirirse determinant sonucu değişmez. 

7) Determinant işlemi kuvvet alma veya matrisi bir Reel sayı ile çarpım işlemlerini sağlar.

8) Bir matriste herhangi bir satırdaki (veya sütundaki) tüm elemanlar, iki elemanın toplamı biçiminde yazılabiliyorsa determinant değeri de aynı sırada olmak şartıyla iki determinantın toplamı biçiminde yazılabilir.

9) Bir matristeki herhangi bir satır (veya sütundaki) tüm elemanlar bir Reel sayı ile çarpılıp farklı bir satır veya sütuna karşılıklı olarak eklenirse determinant değeri değişmez.  Bu özellikten yararlanarak lineer denklem sistemlerinin çözüm kümeleri kolay bir şekilde bulunur. (Bkz. Elemanter Satır -Sütun işlemleri) Matrisler kullanılarak doğrusal denklem sitemleri daha kolay çözümlenir. Elemanter satır veya sütun işlemi kullanılmadığında denklemler kendi aralarında karşılıklı yok etme metodu ile bilinmeyen sayısı en aza indirilerek çözüm kümesi bulunurken bu özellik yardımıyla matris çözümü daha rahat yapılır. (Bkz. Doğrusal Denklem Sistemleri)

10) Bir determinantta herhangi bir satırın (veya sütunun) tüm elemanları başka bir satıra (veya sütuna) ait kofaktör matrisleri ile karşılıklı olarak çarpılır ve elde edilen tüm sonuçlar toplanırsa toplam sonuç 0 olur.

Sarrus Kuralı

Determinat hesabında, kofaktör matrislerinden yararlanarak satır ya da sütuna göre açılım yapılarak hesaplama işlemi yapılır. (Bkz: Determinant Hesabı)  Bu şekilde determinant hesabının yanında bazı sık kullanılan kare matrislerin determinant hesabında pratik bir kural vardır. Lise müfredatında da sıklıkla karşımıza gelen 3 satır ve 3 sütundan oluşan 3x3'lük bir matrisin determinat hesabında, SARRUS kuralı uygulanabilir. Bu kural, Fransız matematikçi Pierre Frédéric Sarrus tarafından keşfedilmiştir. 

F.Sarrus (1798-1861), Strasbourg Üniversitesi (1826-1856) ve Fransız Bilimler Akademisi'nde (1842) çalışmış bir matematikçidir. 3x3 boyutlu bir kare matriste determinat hesabında kofaktör matrisleri yerine sıklıkla Sarrus Kuralı kullanılır. Verilen matrisin ilk üç satırı sabit olarak bırakıldıktan sonra 4.bir satır olarak matrisin ilk satırı en alta tekrar yazılır ve sağ ve sola doğru çaprazlama her bir eleman çarpılarak elde edilen toplam toplandıktan sonra sonuçlar karşılıklı olarak sağ toplamdan sol toplam birbirinden çıkarılıp determinant bulunur.

Sarrus kuralı, 3x3 matriste satır yerine sütun tercihi yapılarak da aynı işlemlerle yapılabilir. Burada verilen matriste en alta ilk satırı eklemek yerine matrisin yanına ilk sütunu tekrar ekleyerek determinant hesaplanır.

Analitik geometride, köşe koordinatları verilen üçgen veya dörtgenlerin alanları hesaplanırken de Sarrus kuralı kullanılır. Köşe koordinatları sırasıyla matris biçiminde yazıldıktan sonra ilk yazılan koordinatlar en alta tekrar yazılır ve çaprazlama Sarrus kuralı gibi işlem yapılır. Daha sonra sağ ve sol toplamlar, kendi arasında pozitif ve negatiflik durumuna göre toplandıktan sonra bulunan determinat sonucu üçgen alanı için mutlak değeri alınıp, hesaplama sonucunun yarısı alınarak kapalı bölgenin alanı bulunur. Bu formül üçgenin köşelerinin koordinatları matrise saatin tersi yönünde yerleştirildiğinde pozitif, saat yönünde yerleştirildiğinde negatif sonuç verir, dolayısıyla alan değeri için sonucun mutlak değeri alınmalıdır. Herhangi bir çokgenin alanı da aynı formülle hesaplanabilir. Bu formül hem konveks hem de konkav çokgenler için kullanılabilir

 

Determinant Hesabı

Bir kare matrisin satır ve sütunlardaki her bir eleman için tüm eş çarpanları (kofaktörleri) tek tek bulunduktan sonra verilen matrisin determinantı, herhangi bir satır ya da sütuna göre açılım yaparak hesaplanabilir. Bir matrisin kofaktör ve minörü ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için ilgili yazımızı okuyabilirsiniz. (Bkz: Bir matrisin kofaktörü)

Kare matrisin yukarıdaki örnekteki gibi tüm kofaktörleri bulunduktan sonra istenilen herhangi bir satır (veya sütuna) göre matrisin determinantı hesaplanır. Burada hangi satır (veya sütun) seçilirse seçilsin determinant sonucu değişmez. Determinant hesabı yapılırken hangi satır veya sütunda sıfır daha fazla ise o satır veya sütunun tercih edilmesi, işlemler açısından kolaylık sağlar.

 

  

Matrisin minörü ve kofaktörü

Matrisin minörü, bir matrisin her bir elemanının çıkarıldığı minör matrisi oluşturan işlemdir. Yani, bir matrisin herhangi bir satır ve herhangi bir sütunundan çıkarılan elemanlardan oluşan yeni bir matristir. Ana matristen bir sütun ve bir satır çıkartılarak elde edilen altmatrise kısa o mattidin minörü denir. Örneğin, 3x3'lük bir matrisin minörü, 2x2'lik bir altmatristir ve başlangıç matrisinden bir satır ve bir sütun çıkarılarak elde edilir. Hangi satır ve sütunun çıkarıldığı minörde indis biçiminde yazılarak gösterilir. Matrisin minörü, ana matrisin bir altkümesini temsil eder ve genellikle determinant ve ters matris hesaplamalarında kullanılır. Matrisin minörü, matrisin belirli bir elemanını dahil etmeyen kısmını ifade eder. Bu işlem, matris hesaplamalarında önemli bir rol oynar.Matris minörleri genellikle determinan hesaplamalarında ve lineer cebir problemlerinde kullanılır.

 

Bir matrisin minörü; genellikle o matrisin determinantını bulmak için kullanılır. Bir matrisin belirli bir minörünün determinantı, bu minör matrisin sütunları ve satırları üzerinden hesaplanarak belirlenebilir. Minörü bulmak, matrisin determinantını hesaplarken kritik bir rol oynar.

Kofaktör matrisi; bir matrisin her elemanının kofaktörlerini içeren matristir. Ana matrisin her elemanının kofaktörü, o elemanın bulunduğu satır ve sütun çıkarıldıktan sonra kalan determinantın değeridir. Kofaktör matrisi, bir kare matrisin her bir elemanının kofaktörlerden oluşan bir matristir. Kofaktör, bir matrisin her bir elemanı için oluşturulan yardımcı bir matristir ve genellikle matrisin determinantını hesaplamakta kullanılır. Bir matrisin kofaktör matrisi genellikle şu adımlarla bulunur: 

1. Her bir elemana ait, satır ve sütunlar çıkarılarak minör matrisi bulun. 

2. Minör matrislerin determinantını  hesaplayın. 

3. Hesaplanan determinanta göre her bir elemanın ayrı ayrı kofaktörünü pozitif veya negatif olarak belirleyin. Kofaktör, determinantın pozitif veya negatif olması, elemanın bulunduğu satır ve sütunun toplam değerine bağlı olarak belirlenir. 

4. Satır ve sütun değerleri toplamı tek ise negatif, çift ise pozitif olur. Örneğin 2.satır 3.sütun elemanın kofaktörünü belirlerken (2+3=5 tek olduğundan) negatif işaret alınır. 

5. Bütün bu hesaplamalardan sonra kofaktör matrisi elde edilir.

Bir kare matrisin Kofaktör matrisi, transpoze edilince o matrisin ek matrisi (adjoint matrisi) elde edilir. Ek matris, ek(A) şeklinde veya adj(A) şeklinde gösterilir. Adjoint matrisi, matrisin tersini bulmada kullanılır. 

 

Bir kare matrisin satır ve sütunlardaki her bir eleman için tüm eş çarpanları (kofaktörleri) tek tek bulunduktan sonra verilen matrisin determinantı, herhangi bir satır ya da sütuna göre açılım yaparak hesaplanabilir. 

Kare matrisin yukarıdaki örnekteki gibi tüm kofaktörleri bulunduktan sonra istenilen herhangi bir satır veya sütuna göre matrisin determinantı hesaplanır. Burada hangi satır veya sütun seçilirse seçilsin determinant sonucu değişmez. Determinant hesabı yapılırken hangi satı veya sütunda ıfır daha fazla ise o satır veya sütunun tercih edilmesi, işlemler açısından kolaylık sağlar.

Bir matrisin transpozu

Bir matrisin transpozu (devriği) matrisin satır ve sütunlarının yer değiştirilmesiyle oluşan yeni bir matristir. Bir matrisin transpozunun tekrar transpozu alınırsa tekrar kendisini verir. Doğrusal (lineer) cebirde, bir A matrisinin transpozu Aᵀ şeklinde ifade edilir.

Skalerle çarpım işleminde transpoze işlemi geçerli olur. Yani bir matrisin skalerle çarpımının transpozu, o matrisin transpozunun aynı skalerle çarpımına eşit olur. Toplam matris üzerinde transpoz alınırsa ayrı ayrı matrislerin transpozları toplamına eşit olur.

İki matrisin çarpımının transpozu alınırsa bu matrislerin transpozlarının çarpımlarında iki matris yer değiştirere çapma işlemi yapılır.

 

Bir matrisin transpozu kendisine eşit ise bu matrise simetrik matris denir. (Simetrik matris: Aᵀ =A) Bir matrisin transpozu kendisinin ters işaretlisine eşit ise bu matrise ters simetrik matris denir.(Ters Simetrik matris: Aᵀ = -A)

Kare matrisin kuvveti

Karesel Matris: satır ve sütun sayısının eşit olduğu, yani kare şeklinde olan matristir. Kare matris, boyutu nxn tipinde bir matristir. Kare matrislerde determinant hesaplanabilir ve tersi alınabilir. Ayrıca özdeğerler ve özvektörler gibi önemli matris özellikleri kare matrislerle ilgilidir. Özellikle fizik, matematik ve mühendislik gibi alanlarda sıkça karşımıza çıkarlar.

Bir kare matrisin kuvveti alınırken, verilen kuvvet kadar matris kendisi ile çarpılır. Birim matrisin tüm kuvvetleri kendisini verir. 

Yüksek dereceden kuvvet alma işlemi yapıldığında birim matrise ulaşma çalışılır. Daha sonra matrisin kuvveti buna göre düzenlenerek yüksek mertebeden kuvvet alınmış olur.

 

Matrislerde çarpma işlemi

Matrislerde çapma işlemi yaparken, ilk matrisin sütun sayısı ile ikinci matrisin satır sayısı birbirine eşit olmalıdır. Çarpılacak iki matrisin sütun ve satır sayılarına dikkat ederek, çarpma işlemi sonucu oluşacak yeni matrisin elemanlarını hesaplamak için satır ve sütun elemanlarını çarparız, ardından sonuç matrisine bu çarpımları toplayarak yeni matrisi oluştururuz. Sonuç matrisinin boyutları, ilk matrisin satır sayısı ve ikinci matrisin sütun sayısı olacaktır.

İki matrisin çarpımı, yeni bir matris oluşturularak yapılır. Yeni matrisin her bir elemanı, ilk matrisin ilgili satırıyla ikinci matrisin ilgili sütununun elemanlarının çarpımının toplamıdır. Örneğin, A matrisi (m x n) boyutlu ve B matrisi (n x p) boyutlu ise, A ile B matrisi arasında çarpma işlemi tanımlanır ve bu çarpım sonucu elde edilen C matrisi (m x p) boyutlu yeni bir matris olacaktır. Son matrisin elemanları, bu oluşan toplam değerlere göre tek tek hesaplanır.

Matris çarpımı, iki matrisin içindeki elemanları uygun şekilde çarparak yeni bir matris oluşturma işlemidir. Örneğin, 2x3 boyutunda bir matris ile 3x2 boyutunda bir matrisi çarptığımızda, sonuç olarak 2x2 boyutunda bir matris elde edilir. 

Örneğin 2x3 boyutlu bir matris, A = [1 2 3; 4 5 6] oldun ve çarpımın tanımlı olması için 3x2 boyutlu bir matris B = [2 0; 1 3; 2 1] şeklinde iki farklı matris verilsin. Bu durumda yukarıdaki açıklamaya göre A*B matris çarpımı şu şekilde yapılır: A matrisinin 1. Satırdaki her bir elemanı B matrisinin 1. Sütunundaki aynı konuma gelen elemanlarla tek tek çarpılır ve bu sonuçlar toplanıp aynı konuma yazılır. Bu işlem tüm bileşenleriçin tek tek aynen yapılır. [1*2+2*1+3*2 1*0+2*3+3*1; 4*2+5*1+6*2 4*0+5*3+6*1] = [10 5; 20 18]. Bu çarpım işlemi sonucunda 2x2'lik bir matris elde edilir. 

 

Aşağıda farklı matrisler için çarpım örnekleri verilmiştir, inceleyiniz.

 

Matrislerde çarpma işleminin bazı önemli özellikleri şunlardır:

1. Matris çarpımı, kesinlikle boyut uyumu yeterliliği gerektirir. (A matrisinin sütun sayısı B matrisinin satır sayısına eşit olmalıdır). A matrisi mxn boyutlu bir matris ise B matrisi kesinlikle n satırdan oluşan  nxk şeklinde bir matris olmalıdır. Buna göre A.B matrisi (mxn) ve (nxk) boyutlarından çarpım matrisi (mxk) boyutlu bir matris olur.

2.Matris çarpımı genellikle değiştirilebilir değildir, yani bu matrisler birbirinden farklı ise  AB çarpım matrisi sonucu BA matris çarpımına eşit olmaz.(A.B≠B.A)

3. Matris çarpımı birleşme özelliğini sağlar. Yani üç farklı matrisin çarpım sonucu ayrı ayrı gruplandırılarak bulunabilir. A.(B.C) = (A.B).C şeklinde gruplandırmaya bağlı olarak aynı sonucu verir.

4. Matris çarpımı, toplama işlemi üzerine dağılabilirdir, yani matrislerde toplama işlemi üzerine çarpım işlemi yapıldığında sonuç dağılma yoluyla bulunabilir.  (A+B).C = A.C + B.C şeklinde ifade edilebilir.

5. Bir matrisi bir reel sayı ile çarpma işlemine skalerle çarpım denir. Skalerle çarpma özelliğinde yani k skaleri ile bir matrisle çarpıldığında sonuç k.(AB) = (k.A).B'yi verir. Skalerle çarpım işleminde matrisin bütün elemanları o reel sayı ile tek tek çarpılarak, bulunan sonuçlar aynı konuma tekrar yazılır.

6. Birim matrisle (etkisiz eleman) çarpma, girdi matrisini değiştirmez (A*I = I*A = A). Birim matrisin kuvveti alınsa dahi yine kendisi oluşur.

7.Matrislerde çarpma işleminde, sıfır matrisi vardır: A*0=0 

8. Skalerle çarpım işleminin toplama işlemi üzerine dağılma özelliği vardır. İki farklı skalerle bir matris çarpıldığı zaman skalerin kendi içinde birleşme özelliği vardır.

 

"0" sıfır skaleri ile çarpım yapıldığında sıfır matrisi oluşur. 1 skaleri ile çarpıldığında matrisin kendisi oluşur, yani 1 matrislerde çarpma işlemine göre etkisiz elemandır. 

9. Matris çarpımı genellikle toplama işlemine göre önceliklidir (A*B + C ≠ A*(B + C)).

10. Bir matrisin tersi olan bir matris  ile kendisi çarpıldığında birim matrisi verir.

11. Bir matrisin başka bir matrisle çarpımının transpozesi, o matrislerin transpozelerinin çarpımında sıraları yer değiştirir.

Burada verilen özellikler matris çarpımının temel matematiksel özelliklerinden bazılarıdır.