Koni Alan ve Hacmi

Bir düzlem içindeki dairenin her noktasını, düzlem dışındaki bir noktaya birleştiren doğru parçalarının meydana getirdiği geometrik şekle koni adı verilir. Yüksekliği tabanın ağırlık merkezinden geçen koniye dik dairesel koni denir. Dik üçgenin bir dik kenarı etrafında 360 derecelik açıyla döndürülmesiyle elde edilen koniye, dik dairesel koni veya kısaca dönel koni denir.
Koniler, tabanlarına göre; tabanı daire ise dairesel koni, tabanı elips ise eliptik koni gibi isimler alırlar. Dairesel bir dik koninin taban merkezini tepe noktasına birleştiren doğru parçasına, bu koninin ekseni veya yüksekliği denir. 

Taban çevresinin herhangi bir noktasını tepeye birleştiren doğru parçasına koninin ana doğrusu veya apotemi adı verilir. Taban çevresinin her noktasını tepeye birleştiren doğru parçalarının meydana getirdiği yüzey, koninin yanal yüzeyi adını alır. Yanal yüzeyin alanı, taban çevresi ile apoteminin çarpımının yarısına eşittir. Taban yarıçapının uzunluğu r, ana doğrusu-apotemi uzunluğu a ise yanal yüzey alanı= π.a.r formülü ile bulunur. Bir dairesel dik koninin hacmi piramid hacmi gibi bulunur. Bu nedenle tabanda bulunan dairenin alanı bulunduktan sonra, taban alanı ile yüksekliğin çarpımının üçte biri alınarak hacmi elde edilir.

Kesik koni hacmi bulunurken formülü hiç kullanmadan sadece benzerlik bilgileri yardımıyla da kesik koni hacmi hesaplanabilir.

Döndürme sorularında oluşacak şeklin taban yarıçapı ve yüksekliğinin iyi tespit edilmesi gerekir. Bu nedenle dönme eksenine göre yarıçap ve yükseklik belirlenir. Dönme açısı 360 dereceden daha az ise hacim sorularındatüm hacim 360 dereceye karşılık geleceğinden orantı yardımıyla istenen açıya karşılık gelen cismin hacmi bulunur. Örneğin 120 derecelik  bir dönme yapıldığında hacim 120/360 oranında olacaktır.

Archimides (MÖ 287-212)

İlginç bir hayat !!! Arşimed, belki de suyun kaldırma kuvvetine ilişkin ilk fizik yasasını bulduğu için hepimizin tanıdığı bir matematikçi. Arşimed hakkında günümüze kalan bilgiler hiçbir Eski Çağ bilim adamının hayatıyla karşılaştırılamayacak kadar çoktur. Ancak bu bilgilerin yanı sıra onun hakkındaki yakıştırma öykülerce de bolcadır ; kimilerine göre bir hamamda yıkanırken suyun kaldırma kuvvetini bulup Eureka (buldum) nidalarıyla hamamdan yarı çıplak fırlamıştır. Başkalarına göre ise bu, Arşimed'in Kral Hieron'un tacındaki altın oranını saptamak için bir yöntem bulduğunda gerçekleşmiş bir olaydır. Asla böyle bir olay olmamasına rağmen savaşta Roma'lıların gemilerini dev aynalarla yakma fikri yine onun kafasından çıktığı söylenir.  Bu öyküler içerisinde en fazla bilineni ve meşhur olanı hamam öyküsüdür ki aşağıda buna değinilmiştir.

Arşimed, gençliğinin bir kısmını o zamanların bilim merkezi İskenderiye'de geçirmiş, daha sonra hayatının geri kalan kısmını yaşadığı, doğduğu Yunan kenti olan Syrakusa'ya dönmüştür. Syrakusa kentinin kralı II.Hieron'un yakın dostu olduğu biliniyor. Arşimed, MÖ 213'te başlayan Roma kuşatmasında,ilginç bazı savaş araçları yaparak Syrakusa'nın düşmesini uzun süre engellemiş ancak kent Roma'lıların eline geçtiğinde ise Roma'lı bir asker tarafından öldürülmüştür. Bu konuda anlatılan hikaye şudur : Roma'lı asker Arşimed'i kumlara matematiksel bir diyagram çizerken bulur. Askerin teslim ol ikazına karşın Arşimed diyagramıyla ilgilenmeyi sürdürür ve "beni rahatsız etme" der ancak bu davranışını canıyla öder. Son sözünün “Şekillerimi bozmayın!” olduğu anlatılır. 

Arşimet’in mezar taşına silindirin içine konulmuş bir küre çizilmiştir. Çünkü bu, Arşimet’in en çok gurur duyduğunu söylediği buluşudur: bir kürenin hacminin, içine tam olarak sığacağı silindirin hacmine oranı. Bu oranı Arşimet üçte iki olarak bulur ve silindirin hacmi bilindiği için kürenin hacmi tam olarak hesaplanabilir. İşaretli mezarı ölümünden yaklaşık 150 yıl sonra Cicero tarafından bulundu.

Arşimet'in mekanik alanında yapmış olduğu buluşlar arasında bileşik makaralar, sonsuz vidalar, hidrolik vidalar ve yakan aynalar sayılabilir. Bunlara ilişkin eserler vermemiş, ancak matematiğin geometri alanına, fiziğin statik ve hidrostatik alanlarına önemli katkılarda bulunan pek çok eser bırakmıştır. İlk defa denge prensiplerini ortaya koyan bilim adamı da Arşimet'tir. Bu prensiplerden bazıları şunlardır: Eşit kollara asılmış eşit ağırlıklar dengede kalır. Eşit olmayan ağırlıklar eşit olmayan kollarda aşağıdaki koşul sağlandığında dengede kalırlar: Bu çalışmalarına dayanarak söylediği "Bana bir dayanak noktası verin Dünya'yı yerinden oynatayım." sözü yüzyıllardan beri dillerden düşmemiştir. Geometriye yapmış olduğu en önemli katkılardan birisi, bir kürenin yüzölçümünün ve hacminin formüllerinin kanıtlamasıdır. Bir dairenin alanının, tabanı bu dairenin çevresine ve yüksekliği ise yarıçapına eşit bir üçgenin alanına eşit olduğunu kanıtlayarak pi değerinin yaklaşık olarak 3+l/7 ve 3+10/71 arasında bulunduğunu göstermiştir. Başka bir değişle bu formülleri suyun hacim kullanma esnasında alabileceği özkütle çapıdır.

Arşimet parlak matematik başarılarından biri de, eğri yüzeylerin alanlarını bulmak için bazı yöntemler geliştirmesidir. Bir parabol kesmesini dörtgenleştirirken sonsuz küçükler hesabına yaklaşmıştır. Sonsuz küçükler hesabı, bir alana tasavvur edilebilecek en küçük parçadan daha da küçük bir parçayı matematiksel olarak ekleyebilmektir. Bu hesabın çok büyük bir tarihi değeri vardır. Sonradan modern matematiğin gelişmesinin temelini oluşturmuş, Newton ve Leibniz'in bulduğu diferansiyel denklemler ve integral hesap için iyi bir temel oluşturmuştur. Arşimet, Parabolün Dörtgenleştirilmesi adlı kitabında, tüketme metodu ile bir parabol kesmesinin alanının, aynı tabana ve yüksekliğe sahip bir üçgenin alanının 4/3'üne eşit olduğunu ispatlamıştır.

Arşimet, kendi adıyla tanınan “sıvıların dengesi kanununu” da bulmuştur. suya batırılan bir cismin taşırdığı suyun ağırlığı kadar kendi ağırlığından kaybettiğini fark ederek hamamdan "eureka" (buldum, buldum) diye haykırarak çırıl çıplak dışarı fırlaması, onunla ilgili en çok bilinen bir hikayedir. Söylendiğine göre, bir gün Kral II Hieron yaptırmış olduğu altın tacın içine kuyumcunun gümüş karıştırdığından kuşkulanmış ve bu sorunun çözümünü Arşimet'e havale etmiştir. Bir hayli düşünmüş olmasına rağmen sorunu bir türlü çözemeyen Arşimet, yıkanmak için bir hamama gittiğinde, hamam havuzunun içindeyken ağırlığının azaldığını hissetmiş ve "evreka, evreka" diyerek hamamdan fırlamıştır. Arşimet'in bulduğu şey; su içine daldırılan bir cismin taşırdığı suyun ağırlığı kadar ağırlığını kaybetmesi ve taç için verilen altının taşırdığı su ile tacın taşırdığı su mukayese edilerek sorunun çözülebilmesi idi. Çünkü her maddenin özgül ağırlığı farklı olduğundan aynı ağırlıktaki farklı cisimler farklı hacme sahiptir. Bu nedenle suya batırılan aynı ağırlıktaki iki farklı cisim farklı miktarlarda su taşırırlar. 

Eserleri Arşimed'in yapıtlarının çoğu Samoslu Konon ve Kyreneli Erastosthenes gibi dönemin ünlü matematikçileriyle yazışma biçiminde ve tamamen kuramsal içeriktedir. Yapıtlarının dokuz tanesinin Yunanca asılları günümüze kadar ulaşmıştır. Arşimed,Küre ve Silindir Yüzeyi Üzerine adlı yapıtında kürenin hacminin kendisini çevreleyen silindirin hacminin üçte ikisine, kürenin yüzey alanının ise en büyük dairesel kesitin alanının dört katına eşit olduğunu gösterdi. Dairenin Ölçümü'nde ise Pi sayısının 3+1/7 ile 3+10/71 arasında olduğunu gösterdi. Düzlemlerin Dengesi Üzerine adlı yapıtında ortaya koyduğu özgün katkıları yüzünden mekaniğin kurucusu olarak gösterilir. Arşimed mekanik, astronomi, matematik gibi alanlarda bir kısmı orijinal yazımıyla günümüze dahi ulaşan çok önemli yapıtlar sundu. Örneğin küçük bir bölümü Yunanca aslıyla diğer kısmı da Latince çevirisiyle günümüze ulaşan iki ciltlik Yüzen Cisimler Üzerine, hidrostatik dalında yazılmış bilinen ilk eserdir. Bu kitabın en önemli yanı Arşimed ilkesi olarak bilinen, 'Katı bir cismin kendisinden daha düşük yoğunlukta bir sıvıya daldırıldığında, katı cismin ağırlığının, yerini aldığı sıvının ağırlığı kadar azalacağını belirten' ilkeyi ilk kez açıklamasıdır. Daha sonraki çağlardan yapılan göndermelerle Arşimed'in, ışığın kırılmasını inceleyen yapıtı, yüzleri çokgenlerden oluşan ve küre içine yerleştirilebilen yarı düzgün  çokyüzlüler (Bkz: Arşimed çok yüzlüleri) ile ilgili çalışmaları olduğu anlaşılıyor.

Arşimed özellikle sıvı içine atılan bir katı cisme taşan sıvının hacmiyle doğru orantılı olarak bir kaldırma kuvveti uygulanması prensibi, kendi adını taşıyan ve suyu yükseltmek için kullanılan burgu, Güneş ve Ay'ın ve gezegenlerin hareketini gösteren iki astronomi küresi gibi buluşlarıyla kendi çağında önemli bir ün edinmişti.

Arşimed neden bu kadar önemlidir? Arşimed'in matematikte kullandığı ispatlar ve problemleri sunuş biçimi son derece çarpıcı ve özgündür. Onun eserlerinde kullandığı biçimin günümüz geometrisinin en yüksek standartlarında olduğu söylenmektedir. Ayrıca astronomi konusunda da ilkçağda önemli bir bilgin sayılmıştır. Bütün bunlara rağmen Arşimed'in ilk çağda matematiğin gelişimi üzerine etkisi, çalışmalarının çapı ve özgünlüğüyle eşdeğer bir boyuta ulaşamamıştır. Onun sunduğu bilgiler örneğin Pi sayısı için gösterdiği yaklaşık değer; 22/7 sayısı ilk çağ ve ortaçağ boyunca kullanılmış, ancak yapıtlarının uzun yıllar karanlıkta kalması nedeniyle matematiğe olan katkısı, eserlerinin 8. yada 9. yüzyılda Arapçaya çevrilmesine kadar gerçekleşememiştir. Örneğin Arşimed'in başka matematikçilere katkı sağlaması amacıyla yazdığı "Yöntem" isimli çok önemli bir eseri 19. yüzyıla kadar karanlıkta kalmıştır. Keza Arap matematikçilerin 9. yüzyıldan sonra yaptığı bazı matematiksel katkılara değin Arşimed'in matematikteki özgün buluşlarına herhangi bir katkı yapılamamıştır. Arşimed'in başka buluşlarınin değeri, kullanım alanları daha sonraki çağlarda anlaşılmış, örneğin matematik konusundaki yapıtları, 16 ve 17.yüzyıllarda yeniden çevrilip basılmaları sebebiyle Kepler, Fermat, Galilei, Descartes gibi matematikçileri derinden etkilemiştir. Son olarak, sizlerinde gördüğü gibi Arşimed binlerce yıl önce verdiği eserleriyle kendisinden sonraki bilimsel çalışmalara yön vermiş ve etkilemiş, günümüz biliminin oluşmasında kendisinden binlerce yıl sonra konuşulan özgün ve yeri doldurulamaz katkılar yapmıştır.

Piramitin Alanı ve Hacmi

Tabanı herhangi bir çokgen olan ve bu çokgenin tüm noktaları çokgen düzleminin dışındaki bir noktaya birleştirildiğinde oluşan şekil piramittir. Piramitler tabanlarına göre adlandırılırlar. Üçgen piramit, kare piramit, altıgen piramit.
Tabanı düzgün çokgen olan ve yüksekliği tabanın ağırlık merkezinden geçen piramitlere de düzgün piramit adı verilir. Taban şekli kare olan piramitlere düzgün kare piramit denir. Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.

Bir dik piramitte eğer tabandaki şekil bir düzgün çokgen (bütün kenar ve açılar eş) ise; dönme simetri açısı 360/(kenar sayısı) formülü ile bulunur. Dik piramidin hacmi, eş tabana ve eş yüksekliğe sahip prizmanın hacminin üçte birine eşittir. Bir piramiti tabana paralel bir düzlemle kestiğimizde, taban ile düzlem arasında kalan kısmına kesik piramit denir.

Kesik piramidin genel hacmi taban alanları ve yüksekliği bilindiğinde aşağıdaki ispatı yapılan formül kullanılarak bulunabilir. Bu formül kullanmadan da kesik piramid; tam piramid gibi düşünülerek, büyük piramid hacminden üstte kalan küçük piramid hacmi çıkarılarak da kesik piramidin hacmi bulunur.

Bir kesik piramitte kesit alanının yüzey alanını bulmak için iki üçgenin benzerliğinden yararlanarak gerekli uzunluklar bulunu ve bundan sonra alanı hesaplanır.

Piramidin hacmi tabanının alanı ile yükseklik uzunluğunun çarpımının üçte biridir. Bir dik piramidin hacmi eş tabanlı ve eş yüksekliği olan bir prizmanın hacminin 1/3 üne eşittir.Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir. Altıgen piramitte yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.
Piramidin hacmi tabanda yer alan şekle göre değişiklik gösterir. Bu nedenle tabanda yer alan şekil ne ise öncelikle onun alanı bulunur daha sonra yükseklik bulunarak prizma hacmi hesaplanıyor gibi taban alanı ile yükseklik çarpılır ve 1/3 ü alınarak piramitin hacmi bulunur.

Kesik piramidin genel hacmi taban alanları ve yüksekliği bilindiğinde yukarıda ispatı yapılan formül kullanılarak bulunabilir. Bu formül kullanmadan da kesik piramid; tam piramid gibi düşünülerek, büyük piramid hacminden üstte kalan küçük piramid hacmi çıkarılarak da kesik piramidin hacmi bulunur.

Dört yüzü de eşkenar üçgen olan piramite düzgün dörtyüzlü denir. Bu piramitin yüzey alanı eşkenar üçgenin alanın dört ile çarpılmasıyla bulunur.Düzgün dörtyüzlüde Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir. Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu düşünürsek piramitlerin yüksekliği; bir piramitin yüksekliğinin iki katı kadar olur.