Piramitin Alanı ve Hacmi

Etiketler : alan formülleri geometri ispat katı cisimler matematik piramit teorem ispatları

Tabanı herhangi bir çokgen olan ve bu çokgenin tüm noktaları çokgen düzleminin dışındaki bir noktaya birleştirildiğinde oluşan şekil piramittir. Piramitler tabanlarına göre adlandırılırlar. Üçgen piramit, kare piramit, altıgen piramit.
Tabanı düzgün çokgen olan ve yüksekliği tabanın ağırlık merkezinden geçen piramitlere de düzgün piramit adı verilir. Taban şekli kare olan piramitlere düzgün kare piramit denir. Kare piramidin tabanı kare biçimindedir. Yan yüzeyleri ise dört adet ikizkenar üçgenden oluşur.İkizkenar üçgenlerin taban uzunlukları piramidin tabanının bir kenarına eşittir.Tabanı eşkenar üçgen olan piramitlere eşkenar üçgen piramit denir.

Bir dik piramitte eğer tabandaki şekil bir düzgün çokgen (bütün kenar ve açılar eş) ise; dönme simetri açısı 360/(kenar sayısı) formülü ile bulunur. Dik piramidin hacmi, eş tabana ve eş yüksekliğe sahip prizmanın hacminin üçte birine eşittir. Bir piramiti tabana paralel bir düzlemle kestiğimizde, taban ile düzlem arasında kalan kısmına kesik piramit denir.

Kesik piramidin genel hacmi taban alanları ve yüksekliği bilindiğinde aşağıdaki ispatı yapılan formül kullanılarak bulunabilir. Bu formül kullanmadan da kesik piramid; tam piramid gibi düşünülerek, büyük piramid hacminden üstte kalan küçük piramid hacmi çıkarılarak da kesik piramidin hacmi bulunur.

Bir kesik piramitte kesit alanının yüzey alanını bulmak için iki üçgenin benzerliğinden yararlanarak gerekli uzunluklar bulunu ve bundan sonra alanı hesaplanır.

Piramidin hacmi tabanının alanı ile yükseklik uzunluğunun çarpımının üçte biridir. Bir dik piramidin hacmi eş tabanlı ve eş yüksekliği olan bir prizmanın hacminin 1/3 üne eşittir.Tabanı düzgün altıgen olan piramide düzgün altıgen piramit denir. Altıgen piramitte yan yüzeyleri altı adet eş ikizkenar üçgenden oluşur.
Piramidin hacmi tabanda yer alan şekle göre değişiklik gösterir. Bu nedenle tabanda yer alan şekil ne ise öncelikle onun alanı bulunur daha sonra yükseklik bulunarak prizma hacmi hesaplanıyor gibi taban alanı ile yükseklik çarpılır ve 1/3 ü alınarak piramitin hacmi bulunur.

Kesik piramidin genel hacmi taban alanları ve yüksekliği bilindiğinde yukarıda ispatı yapılan formül kullanılarak bulunabilir. Bu formül kullanmadan da kesik piramid; tam piramid gibi düşünülerek, büyük piramid hacminden üstte kalan küçük piramid hacmi çıkarılarak da kesik piramidin hacmi bulunur.

Dört yüzü de eşkenar üçgen olan piramite düzgün dörtyüzlü denir. Bu piramitin yüzey alanı eşkenar üçgenin alanın dört ile çarpılmasıyla bulunur.Düzgün dörtyüzlüde Yükseklik, tabanı oluşturan üçgenin ağırlık merkezine iner.Bütün ayrıtları birbirine eş ve yüzeyleri sekiz eşkenar üçgenden oluşan cisme düzgün sekizyüzlü denir. Cismin, ortak tabanlı iki adet kare piramitten oluştuğunu düşünürsek piramitlerin yüksekliği; bir piramitin yüksekliğinin iki katı kadar olur.