Binom Teoremi ve İspatı

Etiketler :
Tarihte Çin ve Hint aritmetiğinde kullanıldığı düşünülen binom teoremi ilk defa sistemli bir şekilde Ömer Hayyam (1044-1123) tarafından kullanılmştır. Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, binom dağılımı n sayıda iki kategori (yani başarı/başarısızlık, evet/hayır, 1/0 vb) sonucu veren denemelere uygulanır. Araştırıcının ilgi gösterdiği kategori başarı olarak adlandırılır. Bu türlü her bir deneyde, bağımsız olarak, başarı (=evet=1) olasılığının p olduğu (ve yalnızca iki kategori sonuç mümkün olduğu için başarısızlık olasılığının 1 - p olduğu) bilinir. Bu türlü bağımsız n sayıda denemeler serisi içinde elde edilen başarı sayısının ayrık olasılık dağılımı binom dağılım olarak tanımlanır. Bir binom dağılım sadece iki parametre ile, yani n ve p, ile tam olarak tanımlanır.
Binom dağılımı için en basit örnek bir zarın 10 defa atılıp kaç tane 6 elde edildiğinin sayılmasıdır. Bu rastlatısal sayının (yani 10 deneyde kaç tane 6 elde edilmesi) dağılımı, n=10 ve p=1/6 parametreleri olan bir binom dağılımdır. Diğer bir örnek, çok büyük bir halk kitlesinin içinde yeşil gözlü olanların incelenmesinden ortaya çıkar. Araştırmamız yeşil gözlüler hakkında olduğu için başarı kategorisi yeşil gözlü kişi gözlemi için kullanılır ve başarısızlık kategorisi yeşil gözlü olmayan kişi gözlemi karşılığı olarak ele alınır. Bu halk kitlesi içindeki yeşil gözlüler oranının, (yani başarı olasılığının) %5 olduğu bilinsin. 100 kişiyi kapsayan bir basit rastgele örneklem seçelim ve örneklem içinde bulunan her bir kişinin göz rengini gözleyelim. Bu işlemin binom dağılım açıklamasına göre karşılığı 100 tane bağımsız deneme yapılmasıdır yani n=100 dur. Bu örnekde içinde gözlemi yapılan yeşil gözlü kişi sayısı, 0 ile 100 arasında değerler alabilen, X rastlantısal değişken olarak kabul edilsin. X için olasılık n=100 ve p=0.05 parametreleri olan bir binom dağılım ile bulunur. Binom dağılımını iki değişkenli harfli ifadede gösterdiğimizde;
Verilen bir harfli ifadenin açılımı yapılırken Pascal (Hayyam) üçgeninde gösterilen katsayılardan yararlanılır. Lakin buradaki katsayılar kuvvet büyük olduğu zaman soruların çözümünde kullanışsız hale gelebilir. Bu nedenle daha kolay bir şekilde belli terimlerin katsayılarını bulmak için binom teoreminden yararlanılır. Binom açılımlarına örnek vermek gerekirse;
Binom teoreminde kombinasyondan yararlanılarak, kaçıncı terimin katsayısı isteniyorsa kuvvete göre baştan veya sondan o terimin kuvvetle olana ilişkisinden yola çıkarak "r" sayısı tespit edilerek kolayca işlem yapılarak istenen terimin katsayısı bulunabilir.
Binom teoreminin ispatı yapılırken şu adımlar izlenir.

3 yorum:

  1. binom açılımında 15x2y4-6xy5 işleminde eksi artı olmayacakmı

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. İşlemde (-y) nin 5.kuvveti negatif olur.

      Sil
  2. eyw sınavdan önce iyi tekrar oldu abi

    YanıtlaSil

Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."

İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!

  • İntegralde değişken değiştirme yöntemi28.06.2024 - 0 Yorum Bazı integrallerde verilen fonksiyonun mevcut değişkenine göre integralini hesaplamak daha zor olabilir. Bu durumda uygun bir değişken değiştirme işlemi yapılarak integral daha basit bir forma dönüştürülür daha sonra integral alma kuralları…
  • Kaside-i Bürde ve Türkçe anlamı09.05.2012 - 0 Yorum Kaside-i bürde’nin yazarı olan İmam-ı Busayri hazretleri, Sofiyye-i aliyyenin büyüklerindendir. Bir gün felç oldu, bedeninin yarısı hareketsiz kaldı. Resulullah’a tevessül edip, insanların en üstününü öven meşhur kasidesini hazırladı. Rüyada…
  • Alfred Posamentier, Matematik Büyücüsü 06.01.2015 - 0 Yorum "Bu kitap, yazarın, New York Times'ta matematiğin güzelliğini ve büyüleyiciliğini anlatmak adına yayınladığı bir makeleye gelen olağanüstü güzellikteki tepkilerden ilham alınarak ortaya çıktı. 'Matematiğin güzelliği ya da büyüleyiciliği mi olur?'…
  • Yedi Güzel Adam13.05.2010 - 1 Yorum Türk edebiyatında önemli yeri olan Cahit Zarifoğlu'nun şiirinden esinlenerek ortaya çıkan şairler topluluğu; "Yedi Güzel Adam" olarak isimlendirilmiştir. Yedi Güzel Adam Cahit Zarifoğlu’nun soyutlamasıyla yazılmış bir büyük şiirdir. Bu şiirin…
  • Neyi kutluyorsunuz?31.12.2023 - 0 YorumYılbaşı nedir? Neyi kutluyorsunuz arkadaş? Ömrünüzden dökülen bir takvim yaprağı mı, bir daha asla geriye gelmeyecek günleri mi kutluyorsunuz? Neyi kutluyorsunuz? Ölüme adım adım yaklaşıyorsun, sana yazılan günler bir bir eksiliyor. Hesap…
  • Dilsiz şahit hayvanların vebali01.02.2020 - 3 YorumÇeşitli mecralarda sıklıkla bahsedilen hayvan hakları konusu üzerinde çeşitli okumalar sonucu elde ettiğim verileri, özellikle son yıllarda Amerika ve Avrupa kıtalarında yayılmaya başlayan vegan yaşam tarzı ve et tüketimine alternatif arama…
  • Algoritma Örnekleri19.02.2025 - 0 YorumBir problemin çözümüne dair işlem basamakları oluşturulabiliyorsa, o problem çözülmüş demektir. Herhangi bir programlama dilinde, işlem basamaklarını bilgisayarın anlayabileceği şekle dönüştürme yardımıyla problem çözüm işlemi başlamış olur. Bu…
  • Pi Sayısı (3,1415926...)19.03.2009 - 0 Yorum Esrarlı Sayı : Pi Birçoğumuz, resim yaparken dağların ardından parıldayan güneşi, altın sarısı bir daire; gece nuruyla arzı aydınlatan dolunayı da beyaz bir daire olarak çizmişizdir. İrili ufaklı çemberlerin, renk renk dairelerin resimlerimize…