Binom Teoremi ve İspatı

Etiketler :
Tarihte Çin ve Hint aritmetiğinde kullanıldığı düşünülen binom teoremi ilk defa sistemli bir şekilde Ömer Hayyam (1044-1123) tarafından kullanılmştır. Olasılık kuramı ve istatistik bilim kollarında, binom dağılımı n sayıda iki kategori (yani başarı/başarısızlık, evet/hayır, 1/0 vb) sonucu veren denemelere uygulanır. Araştırıcının ilgi gösterdiği kategori başarı olarak adlandırılır. Bu türlü her bir deneyde, bağımsız olarak, başarı (=evet=1) olasılığının p olduğu (ve yalnızca iki kategori sonuç mümkün olduğu için başarısızlık olasılığının 1 - p olduğu) bilinir. Bu türlü bağımsız n sayıda denemeler serisi içinde elde edilen başarı sayısının ayrık olasılık dağılımı binom dağılım olarak tanımlanır. Bir binom dağılım sadece iki parametre ile, yani n ve p, ile tam olarak tanımlanır.
Binom dağılımı için en basit örnek bir zarın 10 defa atılıp kaç tane 6 elde edildiğinin sayılmasıdır. Bu rastlatısal sayının (yani 10 deneyde kaç tane 6 elde edilmesi) dağılımı, n=10 ve p=1/6 parametreleri olan bir binom dağılımdır. Diğer bir örnek, çok büyük bir halk kitlesinin içinde yeşil gözlü olanların incelenmesinden ortaya çıkar. Araştırmamız yeşil gözlüler hakkında olduğu için başarı kategorisi yeşil gözlü kişi gözlemi için kullanılır ve başarısızlık kategorisi yeşil gözlü olmayan kişi gözlemi karşılığı olarak ele alınır. Bu halk kitlesi içindeki yeşil gözlüler oranının, (yani başarı olasılığının) %5 olduğu bilinsin. 100 kişiyi kapsayan bir basit rastgele örneklem seçelim ve örneklem içinde bulunan her bir kişinin göz rengini gözleyelim. Bu işlemin binom dağılım açıklamasına göre karşılığı 100 tane bağımsız deneme yapılmasıdır yani n=100 dur. Bu örnekde içinde gözlemi yapılan yeşil gözlü kişi sayısı, 0 ile 100 arasında değerler alabilen, X rastlantısal değişken olarak kabul edilsin. X için olasılık n=100 ve p=0.05 parametreleri olan bir binom dağılım ile bulunur. Binom dağılımını iki değişkenli harfli ifadede gösterdiğimizde;
Verilen bir harfli ifadenin açılımı yapılırken Pascal (Hayyam) üçgeninde gösterilen katsayılardan yararlanılır. Lakin buradaki katsayılar kuvvet büyük olduğu zaman soruların çözümünde kullanışsız hale gelebilir. Bu nedenle daha kolay bir şekilde belli terimlerin katsayılarını bulmak için binom teoreminden yararlanılır. Binom açılımlarına örnek vermek gerekirse;
Binom teoreminde kombinasyondan yararlanılarak, kaçıncı terimin katsayısı isteniyorsa kuvvete göre baştan veya sondan o terimin kuvvetle olana ilişkisinden yola çıkarak "r" sayısı tespit edilerek kolayca işlem yapılarak istenen terimin katsayısı bulunabilir.
Binom teoreminin ispatı yapılırken şu adımlar izlenir.

3 yorum:

  1. binom açılımında 15x2y4-6xy5 işleminde eksi artı olmayacakmı

    YanıtlaSil
    Yanıtlar
    1. İşlemde (-y) nin 5.kuvveti negatif olur.

      Sil
  2. eyw sınavdan önce iyi tekrar oldu abi

    YanıtlaSil

Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."

İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!

  • Ve Kudüs Şehri-Sezai Karakoç (Alınyazısı Saati)22.10.2023 - 0 YorumVe Kudüs Şehri.Gökte yapılıp yere indirilen şehir.Tanrı şehri ve bütün insanlığın şehri.Altında bir krater saklayan şehir.Kalbime bir ağırlık gibi çöküyor şimdi.Ne diyor ne diyor Kudüs bana şimdiHani Şam´dan bir şamdan getirecektinDikecektin…
  • Belirsiz İntegral28.06.2024 - 0 YorumTürevi verilmiş bir fonksiyonun kendisini bulurken yapılan işleme “ters türev alma” ya da daha genel anlamı ile “integral alma” işlemi denir. Türev alma işleminde yapılan bir işlemin tersini bulmak için şöyle bir soru sorulabilir: "Türevi…
  • Platon Katı Cisimleri18.04.2013 - 0 Yorum Platon Cisimleri: Bütün kenarları eşit ve yüzeyleri düzgün çokgen olan katı cisimlere Düzgün Katı Cisim denir.Beş Katı cisim olarak bilinen bu geometrik cisimlere, Platonik Cisimler de denir.Şimdiye kadar bilinen düzgün katılar 5…
  • Perspektif Çizimi Temel Elemanları11.02.2015 - 1 Yorum İzdüşüm: Bir nesnenin bir düzlem üzerine düşürülen görüntüsüne izdüşüm denir. Perspektif izdüşüm: Cisimlerin görünüşünü iki boyutlu düzlem üzerinde, insan gözünün gördüğü gibi üç boyutlu olarak çizebilme olanağını sağlayan izdüşüm…
  • İlitam 2.sınıf 2.Yarıyıl Final Soruları 201402.06.2014 - 0 YorumANKARA ÜNİVERSİTESİ (YARIYILLIK)  İLAHİYAT LİSANS TAMAMLAMA UZAKTAN EĞİTİM  PROGRAMI 2013-2014 EĞİTİM- ÖĞRETİM YILI BAHAR YARIYILI FİNAL SINAVI  SORULARI    31.05.2014-01.06.2014 soruları  İndirmek için…
  • Matematikten Korkmayın16.02.2016 - 0 Yorum "Matematik, zorlanılan dersler arasında yer alıyor. Lübnan’daki Amerikan Teknoloji Üniversitesi’nde Sanat ve Beşeri Bilimler Bölüm Başkanı ve Uluslararası İlkokul Eğitimi Lisans Bölümü resmi danışmanı Dr. Marjorie Henningsen’e göre, ‘matematiğin…
  • Matematik Eğitiminde Yapılandırmacılık14.08.2011 - 0 Yorum "Öğrenmenin yapılandırmacı teorisi; bizler kendi kendimize öğrenirken yeni bilgiyi aktif bir şekilde inşa ettiğimizi ifade eder. Bu öğrenme teorisine göre, öğrenme= inşa etmedir. Bizler geçmiş deneyimlerimizin zeminindeki duyusal verilerle…
  • Çemberler Yardımıyla Fraktal Oluşturma18.04.2013 - 0 Yorum Fraktal parçalanmış ya da kırılmış anlamına gelen Lâtince fractus kelimesinden gelmiştir. İlk olarak 1975'de Polonya asıllı matematikçi Benoit Mandelbrot tarafından ortaya atıldığı varsayılır. Kendi kendini tekrar eden ama sonsuza kadar küçülen…