Yamukta Özellikler ve İspatları

En az iki kenarı paralel olan dörtgene yamuk denir. ABCD yamuğunda, [AB] // [CD]’dır. Yamukta karşılıklı köşelerde yer alan açıların ölçüleri toplamı 180 derece olur.

m(A) +m(D) = 180º, m(B) + m(C) = 180º’dir. 

Yamuğun paralel olan kenarları yamuğun tabanlarıdır. Paralel olmayan kenarları eşit uzunlukta olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. İkizkenar yamukta taban açılarının ölçüleri birbirine eşittir. İkizkenar yamukta köşegen uzunlukları eşittir.  Yan kenarlardan biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir. Yamukta paralel olmayan kenarların orta noktalarını birleştiren doğru parçasına "orta taban" denir.

Yamukta alan bağıntıları ve özelikleri ile ilgili yazımıza aşağıdaki bağlantıdan ulaşabilirsiniz.

(Bkz. Yamukta Alan)

Dörtgende Alan Bağıntıları

Herhangi bir dörtgenin alanı köşegen uzunlukları ile köşegenlerin arasında yer alan açının sinüsünün çarpımının yarısı ile hesaplanır.  Burada özel olarak açı 90 derece olarak alınırsa yani köşegenler dik kesişirse o zaman dörtgenin alanı köşegenlerin çarpımının yarsı kadar olur.

Bir dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirildiğinde, ortaya çıkan dörtgenin alanı, büyük dörtgenin alanın yarısı kadardır. Bu şekilde oluşturulmuş dörtgenlerle ilgili kenar ve uzunluk bağıntılarına ait ispatlar, daha önceki yazımızda gösterilmiştir.

(Bkz. Dörtgende Uzunluk Teoremleri)

Dörtgenin alanı köşegen vektörleri verilirse (Bkz. Vektörlerde iç çarpım) ve norm işlemleri yardımıyla da bulunabilir.  Burada önemli olan vektörlerin koordinatlarının bilinmesi ve vektör işlemlerine vakıf olabilmektir. (Bkz.  iki-vektorün vektörel çarpmı)

Herhangi bir dörtgen için  p ve q dörtgenin köşegen vektörleri olmak üzere dörtgenin alanı;

Dörtgenler köşegenleri vasıtasıyla üçgenlere parçalanarak dönüştürülebileceğinden alanı ile ilgili çeşitli özellikler elde edilebilir. Bu bağıntıların tamamı üçgen özelliklerinden elde edilebilecek alan özellikleridir. 

Dörtgenlerin alanları vektörler yoluyla da bulunabilir. Bunun için vektörelerde iç çarpım özelliklerinden yararlanılır. Farklı dörtgen tipleri için ayrı ayrı vektörel alan formülleri elde edilebilir. (Bkz. Dörtgenlerin Vektörel alan formülleri)

Dörtgende Uzunluk Teoremleri ve İspatı

Bir dörtgende köşegenler birbirini dik olarak keser ise dörtgenin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı birbirine eşit olur. Bütün konveks dörtgenlerde bu genel özelliktir. Kuralın geçerli olması için köşegenlerin birbirini dik olarak kesmesi gerekir. Konkav dörtgende de aynı bağıntı geçerlidir. İspatı yapılırken dörtgenin iç bölgesinde oluşan üçgenlerde ayrı ayrı pisagor teoreminden yararlanılır.

** Bu şekildeki bir dörtgenin alanı da köşegenleri çarpımının yarısı kadardır. Köşegenler dik kesiştiği için Üçgende sinüs alan formülünden sin 90=1 olduğundan iki parça halinde üçgen toplamı olarak  verilen dörtgen düşünülürse; köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarsı olur.

Yukarıda verilen kenar teoreminin özel bir durumu olarak konveks bir çokgende kenar uzunlukları a,b,c,d ve köşegen uzunlukları e ve f olarak verildiğinde; bu şekil üzerinde köşegenlerin orta noktalarını birleştiren bir doğru parçası çizildiğinde (x) bu doğru parçasının dört katının uzunluğu ile köşegenlerin karelerinin toplamı, dörtgenin kenar uzunluklarının karelerinin toplamına eşit olur. Bu durum teoremin özel halidir. Şekli aşağıda gösterilmiştir. 

**Bir ABCD dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirildiğinde ortaya çıkan dörtgen KLMN dörtgeni paralelkenardır. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olan bu KLMN dörtgeninde üçgenlerde benzerlikten yararlanarak orta taban özelliğinden iç bölgede oluşan KLMN dörtgenin çevresi büyük dörtgenin ABCD dörtgenin, köşegenlerinin toplamı kadar olur. 

ABCD dörtgenin köşegenleri uzunlukları birbirine eşit ise iç bölgede oluşan KLMN dörtgeni eşkenar dörtgen olur ki bu dörtgenin bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olur. ABCD dörtgenin köşegenleri dik kesişen bir dörtgen ise iç bölgede bu şekilde oluşan KLMN dörtgeni dikdörtgen olur. ABCD dörtgenin köşegenleri hem dik kesişen hem de köşegenleri birbirine eşit uzunlukta ise iç bölgede bu şekilde oluşan KLMN dörtgeni kare olur.

Dörtgenlerde alan özellikleri ile ilgili daha ayrıntılı bilgiyi sitemizde bulabilirsiniz. (Bkz. Dörtgenlerin alan bağıntılarının ispatı)

Dörtgende Açı Özellikleri ve ispatı

Dörtgenler bir çokgen çeşididir. Çokgenler kenar sayılarına göre isimlendirilmesi nedeniyle dört kenarı bulunan çokgene "dörtgen" ismi verilir. Dörtgenin açı özelliklerini bilebilmek için üçgen üzerindeki açı özelliklerini iyice kavramış olmak gerekmektedir.
TEOREM: Herhangi bir konveks dörtgenin iç açıları ölçüleri toplamı düzlem üzerinde 360 derecedir. Aynı şekilde dış açıları ölçüleri toplamı da 360 derecedir. Dörtgenin iç açılarının ölçüsünün toplamının 360 derece olduğunu göstermek için dörtgeni iki parçaya ayıracak şekilde bir tane köşegen çizilir oluşan üçgenlerde iç açılar tek tek yazılarak üçgenin açıları toplamı 180 derece olduğundan çizilen bu iki adet üçgenin iç açıları toplamı 2.180°=360° olarak bulunur. Altta bir çokgenin genel iç açıları toplamı formülünden dörtgenin iç açısı ölçüsü toplamı ispatı verilmiştir. Yukarıda anlattığımız ispat şeklinin matematik dilindeki gösterimidir. 

İSPAT: Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı, (n–2).180° olup  n = 4 kenar için, (4–2).180° = 360° bulunur. Konu ile ilgili aşağıdaki örnekleri inceleyiniz.

Dörtgenin iç bölgesinde alınan bir noktayı köşelere birleştiren köşe açılarının açıortayları arasında kalan açıyı hesaplamak için kısa bir formül kullanılabilir.