Bir dörtgende köşegenler birbirini dik olarak keser ise dörtgenin karşılıklı kenarlarının kareleri toplamı birbirine eşit olur. Bütün konveks dörtgenlerde bu genel özelliktir. Kuralın geçerli olması için köşegenlerin birbirini dik olarak kesmesi gerekir. Konkav dörtgende de aynı bağıntı geçerlidir. İspatı yapılırken dörtgenin iç bölgesinde oluşan üçgenlerde ayrı ayrı pisagor teoreminden yararlanılır.
** Bu şekildeki bir dörtgenin alanı da köşegenleri çarpımının yarısı kadardır. Köşegenler dik kesiştiği için Üçgende sinüs alan formülünden sin 90=1 olduğundan iki parça halinde üçgen toplamı olarak verilen dörtgen düşünülürse; köşegenleri dik kesişen dörtgenin alanı köşegenler çarpımının yarsı olur.
Yukarıda verilen kenar teoreminin özel bir durumu olarak konveks bir çokgende kenar uzunlukları a,b,c,d ve köşegen uzunlukları e ve f olarak verildiğinde; bu şekil üzerinde köşegenlerin orta noktalarını birleştiren bir doğru parçası çizildiğinde (x) bu doğru parçasının dört katının uzunluğu ile köşegenlerin karelerinin toplamı, dörtgenin kenar uzunluklarının karelerinin toplamına eşit olur. Bu durum teoremin özel halidir. Şekli aşağıda gösterilmiştir.
**Bir ABCD dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirildiğinde ortaya çıkan dörtgen KLMN dörtgeni paralelkenardır. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit olan bu KLMN dörtgeninde üçgenlerde benzerlikten yararlanarak orta taban özelliğinden iç bölgede oluşan KLMN dörtgenin çevresi büyük dörtgenin ABCD dörtgenin, köşegenlerinin toplamı kadar olur.
ABCD dörtgenin köşegenleri uzunlukları birbirine eşit ise iç bölgede oluşan KLMN dörtgeni eşkenar dörtgen olur ki bu dörtgenin bütün kenar uzunlukları birbirine eşit olur. ABCD dörtgenin köşegenleri dik kesişen bir dörtgen ise iç bölgede bu şekilde oluşan KLMN dörtgeni dikdörtgen olur. ABCD dörtgenin köşegenleri hem dik kesişen hem de köşegenleri birbirine eşit uzunlukta ise iç bölgede bu şekilde oluşan KLMN dörtgeni kare olur.
Dörtgenlerde alan özellikleri ile ilgili daha ayrıntılı bilgiyi sitemizde bulabilirsiniz. (Bkz. Dörtgenlerin alan bağıntılarının ispatı)
''Dörtgende Uzunluk Teoremleri ve İspatı'' Bu Blog yazısı;
Şubat 03, 2017 tarihinde 
0 yorum:
Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."
İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...