Elipsin Analitik incelenmesi

Etiketler : analitik geometri elips denklemi geometri konikler koordinat sistemi matematik

Düzlemde sabit iki farklı noktaya  uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yerine elips denir. Sabit olan bu noktalara elipsin odakları denir. Herhangi bir noktanın, elipsin odaklarına uzaklıkları toplamı, elipsin asal eksen uzunluğu olarak tanımlanır. Elipsin odakları x ekseni üzerinde ise bu elips yatay elips olarak isimlendirilir. Eğer Elipsin odakları y ekseni üzerinde ise bu elips; düşey elips olarak isimlendirilir. 

Yatay elipsin bir köşesi olan y ekseni üzerindeki B noktasından odaklara birer doğru parçası çizilirse burada bir köşesi orijinde olan iki adet dik üçgen meydana gelir ve pisagor bağıntısı bu üçgenler için geçerli olur.

Elipsin grafiği çizilirken öncelikle köşe noktaları, ve odak noktalarının koordinatları belirlenip düşey ya da yatay elips olma durumuna göre, elips koordinat düzleminde çizilir.

Merkezi orijin olan ve odakları x ekseni üzerinde olan elipse merkezil yatay elips denir. Merkezi orijin olup odakları y ekseni üzerinde olan elipse de merkezil düşey elips adı verilir. Bu iki elipsin de denklemleri aynı şekilde yazılır.

Elipsin denklemi yazılırken elips üzerinde alınan rastgele bir P(x,y) noktası alınıp bu noktanın odak noktalarına olan uzaklıkları toplamı asal eksen uzunluğuna eşit olacaktır. Ayrıca daha önce belirttiğimiz pisagor bağıntısı da yerine yazılıp sadeleştirilerek elipsin genel denklemi bulunmuş olur.

Elips denkleminde eşitliğin karşı tarafında bazen 1 olmayabilir bu durumda genel denklem formatına uygun olmasını istediğimizde, eşitliğin diğer tarafında bulunan sayı ile eşitliğin her iki tarafı da ayrı ayrı bölünür. Bazı özel durumlarda tam kare ifadeye dönüştürme işlemleri yapmak gerekebilir. Bu işlemler genellikle merkezil olmayan ötelenmiş elipslerde daha çok karşımıza çıkar.

Aşağıda verilen bazı elips denklemleri için odak noktaları arasındaki uzaklık, asal eksen uzunluğu ve yedek eksen uzunluğu ölçümleri hesaplanmıştır. Burada elipsin denklemine göre asal eksen, yedek eksen ve odaklar arası mesafenin nasıl hesaplandığı verilmiştir.

Elips ile Doğrunun Durumu; Bir elips ile herhangi bir doğrunun veya çemberin kesim noktası bulunurken iki denklemden bir bilinmeyen diğerinde yerine yazılarak ortak bir denklem oluşturulur. Ortak çözümle oluşan denklemin varsa kökleri bulunur. Bulunan bu kökler kesim noktalarıdır. Kesim noktasının olmaması için de ortak denklemin diskriminant değeri sıfırdan küçük olmalıdır. Yani denklemin kökleri olmadığında elips ve doğru (veya çember) kesişmezler.

Elips denkleminde x ve y bileşenleri, bir sabit değişkene bağlı olarak yazılırsa, bu tip denklemlere parametrik denklemler denir. Bu denklemlerde ortak parametre her iki denklemden birbirine uyumlu hale getirilecek şekilde ayrı ayrı işlemler yapılarak biribirne eşitlenmeye çalışılır. Özdeşlikler yardımıyla parametreden kurtularak elipsin genel denklemi yazılır.

Bazı elipsler;  orijinden x ve y ekseninde belli miktar kadar ötelenmiş bir merkeze sahip olabilir. Yani merkezi orijin üzerinde olmayan elipsler de mevcuttur. Bu tip elipslerin genel denklemleri de merkezil elipsin ötelenme miktarına göre hesaplanır.