Eş veya benzer üçgenlerde yardımcı elemanlar

Etiketler : açıortay benzerlik eşlik teoremleri geometri ispat kenarortay matematik üçgen yükseklik

Bütün kenarları ve bütün açılarının ölçüleri birbirine eşit olan üçgenelere, eş üçgenler denir. Sonuç olarak; "Eş üçgenlerde, eş açılar karşısında eş kenarlar ve eş kenarlar kaşısında da eş açılar bulunur." Eş üçgenlerde karşılıklı açı ve kenar uzunlukları eşit olduğu gibi iki eş üçgende yardımcı elemanlar olan yükseklik, kenarortay ve açıortay da birbirine eşit uzunluktadır.

Teorem: "Eş üçgenlerde karşılıklı açı ve kenar uzunlukları eşit olduğu gibi iki eş üçgende yardımcı elemanlar olan yükseklik, kenarortay ve açıortay uzunlukları da birbirine eşit uzunluktadır." Bu önermenin ispatını yaparken, eşlik teoremlerinden yararlanalım. 

Karşılıklı köşeleri arasında yapılan bire bir eşlemede karşılıklı kenar uzunlukları orantılı ve karşılıklı açıları eş olan üçgenlere, "benzer üçgenler" denir. Benzerlik oranı (k = 1) olan üçgenler, aynı zamanda birbirine eş olan üçgenlerdir. Sonuç olarak "Eş üçgenler aynı zamanda benzerdir." diyebiliriz. Bu ifadenin tersi olan; "Benzer üçgenler eş üçgendir" önermesi, her zaman doğru değildir. Bu durumda, benzer üçgenlerin karşılıklı yardımcı elemanları da yukarıdaki ispatlardan anlaşılacağı üzere, aynı benzerlik oranına sahiptir. 

ABC ve DEF şeklinde birbirine benzer iki üçgen alınırsa, bunların benzerlik oranı k ise, eşlik teoremlerinde kullanılan ispatlara benzer biçimde, bu benzer üçgenlerin yardımcı elemanlarının uzunlukları oranının da benzerlik oranı "k"'ya eşit olduğu gösterilir. Aynı şekilde ispatlanarak; benzer üçgenlerin karşılıklı kenarortaylarının uzunlukları oranı, benzerlik oranına eşittir. Benzer üçgenlerin karşılıklı açıortaylarının uzunlukları oranı, benzerlik oranına eşittir. Benzer üçgenlerin karşılıklı yüksekliklerinin oranı, benzerlik oranına eşittir. Doğal olarak; benzer üçgenlerin çevreleri oranı da benzerlik oranına eşit olur.

Eş veya benzer üçgenlerle ilgili daha ayrıntılı bilgi almak ve eşlik teoremlerini incelemek isterseniz, aşağıdaki bağlantıyı kullanabilirsiniz. (Bkz. Eşlik ve Benzerlik Teoremleri)