Dikdörtgen ve Özellikleri

Etiketler : açılar alan formülleri çokgenler dikdörtgen dörtgenler geometri köşegen matematik

Tüm açılarının ölçüsü, 90 derece olan paralelkenara dikdörtgen (mustatil) adı verilir. Paralelkenarın bütün özelliklerini taşır. Karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşittir. Her dikdörtgen, aynı zamanda bir paralelkenardır. Bu ifadenin tersi doğru olmaz. Yani her paralelkenar, her zaman bir dikdörtgen olmaz. Kare şekli de özel bir dikdörtgen formatıdır.

Dikdörtgenin tüm iç açıları dik açı olduğundan, dikdörtgende köşegenler birbirine eşit olur. Köşegenlerin birbirine eşliği, dikdörtgenin iç bölgesinde meydana gelen üçgenlerin kenar uzunluklarındaki, eşlik bağıntıları gereğince yazılarak elde edilir.  Yine köşegenlerin birbirine eşitliğini, pisagor bağıntısı yardımıyla da gösterebiliriz. (Bkz. Eşlik ve Benzerlik Teoremleri)

Dikdörtgende köşegen uzunlukları birbirine eşit olmakla birlikte, aynı zamanda birbirini ortalar. Köşegenler çizildiğinde ikizkenar üçgenler meydana gelir. Aynı açıların karşısına aynı açılar gelecek şekilde, köşegenler yardımıyla eş üçgenler çizilebilir.

TEOREM: Dikdörtgenin iç bölgesinde alınan rastgele bir noktadan, dikdörtgenin köşelerine çizilen doğru parçalarının karşılıklı köşeler için kareleri toplamı, birbirine eşit olur. 

İspatı yapılırken rastgele verilen bir noktadan dikdörtgenin kenarına paralel bir doğru parçası çizilerek dik üçgenler oluşturulur ve bu oluşan dik üçgenelerde, pisagor bağıntıları ayrı ayrı yazılarak karşılıklı olarak toplanır. Elde edilen toplam sonuçlarının birbirine eşit olduğu görülür.

Yukarıda belirtilen özellik, P noktası (rastgele nokta) dikdörtgenin dış bölgesinde verildiğinde de sağlanır. İspatı aynı şekilde gösterilebilir. Dikdörtgenin kenarlarına paralel doğrultuda çizilen dik üçgenlerdeki pisagor bağıntıları yazıldığında doğru parçalarının karşılıklı kareleri toplamı birbirine eşit olur.

Dikdörtgenin çevresi, bütün kenarlarının toplamı kadardır. Sonuç olarak uzun ve kısa kenarların toplamının iki katı alınarak, dikdörtgenin çevresi hesaplanır.

Dikdörtgenin alanı, dikdörtgenin uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımı ile bulunur. Eğer köşegenleri verilirse, köşegenler çarpımı ile köşegenlerin arasındaki açının sinüs değerinin çarpımının yarısı ile hesaplanır.

Dikdörtgende dik açılar bulunduğundan, sorularda sıklıkla pisagor ve öklid bağıntıları kullanılır. Özellikle köşegen üzerinde dikme çizilerek, öklid bağıntısı kullanımına dikkat edilmelidir.

Katlama sorularında açıortay ve eş/benzer üçgenlerin oluşacağı unutulmamalıdır. Katlama eksenine göre oluşan üçgenler belirlendikten sonra, eş ölçülü olanlar yazılarak soru çözümü yapılmalıdır. Bazen sorularda hiç şekil verilmeden sadece sözel bir dille problem çözümü istenebilir. Bu durumda probleme uygun şekil çizimi yapıldıktan sonra verilen ölçüler şekil üzerinde yazılıp, sorunun çözümüne öyle geçilmelidir. (Bkz. Katlama Soruları Genel Özellikleri)

Dikdörtgenin alanı, vektörlerde iç çarpım yoluyla da gösterilebilir. Bunun için dikdörtgenin taşıyıcı vektörleri olan uzun ve kısa kenar vektörleri iç çarpım özelliklerinden yararlanılarak dikdörtgenin alanı yazılır. AB ve AD vektörlerinin arasındaki açı 90 derece olduğundan, AB ve AD vektörleri birbirine dik olur ve cos90=0 olduğundan, <AB , AD> = ||AB|| . ||AD|| . cos90° = ||AB|| . ||AD|| . 0 = 0 bulunur. Buradan da dikdörtgenin alanı A(ABCD) uzun ve kısa kenarların taşıyıcı vektörlerinin normunun çarpımına eşit olur. A(ABCD)=||AB|| . ||AD|| olur. (Bkz. Vektörlerde İç Çarpım) (Bkz. Vektörün Normu)

Kare dışındaki tüm dikdörtgenlerin iki tane simetri ekseni bulunur. Bunlar şekli tam ortadan olacak şekilde enine ya da boyuna bölen simetri doğrularıdır. Kare özel bir dikdörtgen biçimidir. Buna göre Kare gibi tüm kenarları birbirine eşit olan dikdörtgenlerde, enine ve boyuna simetri eksenlerinin yanında köşegenler de birer simetri ekseni olur. (Bkz.Geometrik Cisimlerin Simetrisi)