Riemann Toplamı

Bir düzgün geometrik şeklin alanı kolayca formüle edilebilir. Kenarları düzgün olmayan kapalı bir bölgenin alanını bulmak için bu bölge kenarları düzgün olan daha küçük kapalı bölgelere ayrılır. Küçük bölgelerin alanları yardımıyla büyük bölgenin alanı hesaplanabilir. Herhangi bir [a, b] aralığı verilmiş olsun. n ∈ N ve a = x0 < x1 < x2 < … < xn – 1 < xn = b ise; P = {x0, x1 , …, xn}sonlu kümesine, [a, b] nın bir bölüntüsü denir.; [x0, x1 ], [x1 , x2], …, [xn – 1 , xn] kapalı aralıklarının her birine de [a, b] nın P bölüntüsüyle ilgili alt aralıkları denir.Bu tanımdaki alt aralıkların uzunlukları; Δx1 = x1 – x0 , Δx2 = x2 – x1 , ..., Δxn = xn – xn–1 dir. Δx1 = Δx2 = ... = Δxn ise yani kapalı aralık eşit olarak aynı ölçüde alt aralıklara ayrılmışsa P bölüntüsüne düzgün bölüntü denir. Örneğin [0,1] kapalı aralığını herbiri 1/5 birim olacak biçimde {0, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5 , 1} şeklinde bölerek oluşturduğumuz bir P, [0, 1] aralığının bir düzgün bölüntüsü olur. Δx değeri verilen aralığın uç değerlerinin bölüntü sayısına bölümü ile bulunur. Bir kapalı [a, b] aralığı için n bölüntü sayısına göre Δx=(b-a)/n formüle edilebilir. Genelde düzgün bölüntüler hesaplamada daha kolay işlem yapabildiğimiz için tercih edilir. Düzgün ve düzgün olmayan bölüntünün daha net anlaşılması için bir örnek verelim. Aşağıdaki örnekte P1 düzgün bölüntü, P2 de düzgün olmayan bir bölüntü örneğidir. 
Bölümlemeler ne kadar küçülürse o kadar sık diziler meydana getirilir. Bu şekilde bir kapalı aralığı giderek incelenmiş parçalanmalardan oluşan elemanların oluşturduğu diziye de incelme dizisi denir.
f: [a, b] → R, sınırlı bir fonksiyon olsun. P parçalanmasına ait olan bir eğrinin altına çizilen dikdörtgenlerin alanlarının tamamının toplamına alt toplam, eğrinin üst tarafında kalan alanların toplamına da üst toplam adı verilir.


Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866): Matematik ve geometri dalında çok önemli çalışmaları ile modern kuramsal fiziğin gelişmesine önemli katkıları olmuştur. Riemann integrali olarak bildiğimiz belirli integral kavramını literatüre kazandırmıştır.
Riemann toplamında alt ve üst toplamlar arasında şu şekilde bir ilişki vardır. Eğrinin altındaki gerçek alanın alt ve üst toplam arasındaki bağıntısı;  R alt toplamı < Gerçek Alan (integral Değeri) <R üst toplam  (eşitlik de yazılabilir) şeklinde ifade edilir. 
Riemann toplamının nasıl uygulandığını daha rahat anlayabilmek için bir örnek üzerinde çalışalım.Verilen bir fonksiyonun grafiğinin eğrinin alt ve üst bölgelerinde dikdörtgenler çizerek toplam alanı bulmaya çalışalım. Çizilen dikdörtgen sayısı ne kadar fazla ise oluşacak olan alan toplamı da o kadar net sonuç verecektir.
Aynı kapalı aralık çok daha fazla dikdörtgen alanlarına ayrılırsa daha net alan değeri ile karşılaşırız. Eğrinin altında kalan alanlar (A) ve ve eğrinin üst bölgesinde kalan alanalar (Ü) değeri Parça sayısına göre değişiklik gösterecek ve bölüntü ne kdar çok olursa eğrinin altında kalan alan değeri de o kadar net sonuç verecektir. Aşağıdaki tabloda eğrinin altındaki dikdörtgen sayılarının değişimi ve buna bağlı olarak da alt ve üst toplamın değeri gösterilmiştir.
Tablo incelendiğinde eğrinin altı, daha çok sayıda eşit uzunluktaki alt aralıklara böldüğümüzde eğrinin alt toplamlar değeri artarak üst toplamlar değeri de azalarak aynı sayıya yaklaşmaktadır. Bu sayı tablodan da görüldüğü üzere 9 dur. Alt ve üst toplamlarının ulaştığı bu limit değerine fonksiyonun o kapalı aralıktaki belirli integrali denir. Burada belirtilen alan hesabının görsel olarak geogebra yazılımıyla da rahatlıkla görebilirsiniz. https://www.geogebra.org/m/cfQQKDx7 Materyali indirip geogebra yazılımında kendiniz de çalıştırıp görebilirsiniz.

Riemann İntegrali alt ve üst toplamlarını bulduktan sonra parçalanma bölüntüsünü sonsuz sayıda tekrarladığımızda limit değerine ulaşmış oluruz ve kesin alanı net olarak hesaplamış oluruz. Bu nedenle Riemann integrali limit yaklaşımıyla belirli integrale dönüşür ve şu şekilde formüle edilir. 

Aşağıda Riemann toplamının kullanıldığı çeşitli örnekler verilmiştir. Konuyu anlamak için örnekleri dikkatlice inceleyiniz. Bazı integral alma sonuçları belirsiz integral kuralları kullanılarak alınmıştır. Bu nedenle türev ve integral arasındaki ilişkiyi iyi bilmek, bu konuyu anlamada büyük fayda sağlayacaktır.

Örnek: Bir fonksiyonun  [0,4] aralığındaki eğri altında kalan alanı 4 eşit parçaya ayıracak biçimdeki düzgün parçalanma bölüntüsü P kaçtır?

Çözüm:
Δx = (4-0)/4=4/4=1 eşit olan aralıkların uzunlukları bulunur.
Dolayısıyla parçalanma P={0,1,2,3,4} olur.


Örnek: [0,4] aralığından R 'e tanımlı bir fonksiyon olan f(x)=3x fonksiyonun grafiğinin altını bu aralıkta 4 eşit parçaya ayıran P parçalanmasına ait olan alt ve üst toplamları bulunuz.

Çözüm:
Δx = (4-0)/4=4/4=1 eşit olan aralıkların uzunlukları bulunur.
Dolayısıyla parçalanma P={0,1,2,3,4} olur.
f(1)=3.1=3
f(2)=3.2=6
f(3)=3.3=9
f(4)=3.4=12

R(A)= 1.3+1.6+1.9=18
R(Ü)=12.1+9.1+6.1+3.1=30


Alt dikdörtgenlerin ve üst dikdörtgenlerin toplam alanlarının, [0, 4] aralığındaki f(x) = 3x fonksiyonunun grafiğinin x-ekseni ile arasındaki alana yaklaştığı görülmektedir. Dolayısıyla buradan f: [0, 4] → R, f(x) = 3x fonksiyonunun grafiğinin, x-ekseni ile arasında kalan alan Riemann toplamı yardımıyla 24 birimkare olarak tahmin edilebilir.
Çözüm: R alt toplamı < Gerçek Alan (integral Değeri) <R üst toplam  (eşitlik de yazılabilir) Soruda [1,4] kapalı aralığındaki eğrinin bir parçalanmasına air gerçek alan değeri 10 olarak verilmiştir. Buna göre Alt toplamı<integral değeri< üst toplam eşitsizliğine göre verilen ifadeleri düzenlersek;
alt toplam<10<üst toplam
alt toplamın maksimum değeri x<10 buradan x=9 olur.
10<üst toplam
üst toplamın minimum değeri  10<y buradan y=11 olur. 2x-y=2.9-11=7 bulunur.


Tümevarım İspat Yöntemi ve Örnekleri

Matematiğin en temel ve en önemli işlerinden biri, teoremleri ispatlamaktır. Varlık bildiren teoremler hariç, bir teoremin doğru olduğunu gösteren tek bir örnek vermek hatta örnekler göstermek bir teoremin ispatı için yeterli değildir. Çünkü teorem, verilen bu örnek veya örnekler için doğrulandığı halde başka bir örnek veya örnekler için doğrulanmayabilir. Bu nedenle verilen bir hükmün doğruluğu matematikte kesin olarak gösterilmek durumundadır. Bu uygun akıl yürütme etkinliklerine de ispat denir. Tümevarım yöntemi de ispat yöntemlerinden bir tanesidir. Tümevarım yöntemi genellikle domino taşlarına benzetilerek akılda somut hale getirilebilir. Bildiğimiz üzere, ilk domino taşı istenilen yönde itildiği zaman, diğer domino taşları da sırasıyla düşmektedir. Bütün domino taşlarının düştüğünden emin olmak için iki temel önermeyi bilmemiz yeterlidir: 1) İlk domino taşı düşer. 2)Herhangi bir domino taşı düştüğünde onun ardışığı olan domino taşı da düşmelidir. İşte; matematiksel tümevarım ilkesinin temeli, bu iki temel önermeyi içine alan domino taşlarının düşmesi durumuna benzetilmektedir.
Matematiksel olarak tümevarım ilkesi şu şekilde özetlenebilir. Her n pozitif tamsayısı için herhangi bir P(n) önermesi verildiğinde; bu önermede P(1) doğru ve bir k pozitif tamsayısı için P(k) doğru ise P(k + 1) de doğrudur. O zaman her n pozitif tamsayısı için P(n) doğru olur. Bu ispat yöntemine, matematiksel tümevarım ilkesi denir. 
ise (⇒) bağlacı ile kurulan bileşik önermesi mantık kuralları gereği 1⇒0 durumunda kesin olarak yanlış olacağı için; P(k)⇒P(k+1) bileşik önermesinin doğru olduğunu göstermek için; P(k) önermesi doğru varsayıldığında (kabul edildiğinde) , P(k + 1) önermesinin de matematiksel olarak doğru olduğunu göstermemiz gerek ve yeter şarttır. Tümevarım yöntemiyle ispat yaparken bu basamağa dikkat edilmesi gerekir. Matematiksel tümevarım ilkesinin yukarıda sayılan üç basamaktan  birincisi olan i) basamağına temel basamak, ikincisi olan (ii) basamağına ise tümevarım basamağı denir. Yukarıda gösterilmiş olan tümevarım ilkesinde (ii). adımdaki, P(k)⇒P(k + 1) koşullu önermesini ispatlamak için genellikle doğrudan ispat yöntemleri kullanılır.
Tümevarım bir ispat yöntemi olarak, önceki yüzyıllarda matematik dünyasını ciddi manada meşgul etmiş olmasına rağmen sonraki yüzyıllardaki matematikçiler ve felsefeciler tarafından eleştirilere de maruz kalmıştır. Bir matematikçi olan B. Russell tümevarım yönteminin acizliğini Hristiyan dünyasına şöyle bir misalle aktarmıştır.“…Mantıklı bir hindi çiftliğe varır varmaz her sabah saat 9′da yem verildiğini fark etti. Ama iyi bir tümevarımcı olduğu için hemen bir sonuca varmak istemedi. Bekledi ve her gün tekrar tekrar gözlemledi. Bu gözlemlerini değişik koşullarda tekrar etti: Çarşambaları, perşembeleri, sıcak ve soğuk günler, yağmurlu ve yağmursuz günler. Her gün yeni bir gözlem ekledi ve sonunda bir sonuç çıkardı: “Her sabah saat 9′da yemek veriliyor bana”. Fakat bir yılbaşı günü kural bozuldu: Mantıklı hindi saat 9′da yemini beklerken boynu kesildi….”
Matematikçi ve epistemolog Bertrand Russell‘ın bu örneği bize tümevarım yönteminin zayıflığını ispat etmeye yetecek bir örnektir. Yukarıda verdiğimiz domino taşı örneğinde domino taşlarının her zaman ve durumda ardışık olarak yıkılmasını gerektirecek bir olay ortaya çıkmış olmayabilir. Bu örneğin oluşabilmesi için hiçbir tesir ve etkinin olmadığı herşeyin aynı şekilde devam edeceği bir his ile bu ispatlamalarını yapıldığı tezi vardır ki bu özellikle sosyal bilimler için kesinlikle yanlış bir tez olur. İçinde yaşadığımız dünyada gelecek olayların hep bir sebep sonuç çizgisi içinde anılması ve bu şekilde hayatımızın irdelenmesi aslında yetersiz bir anlayışın ürünüdür. Geçmişte yaşanmış sebepler ve olmuş şeylere bakarak gelecekteki olacak olan olayları kestirmeye çalışmak her zaman doğru sonuçlar vermeyebilir. Tümevarım yöntemi bu şekilde işlediğinden son dönemlerde daha tutarlı sonuçlar veren farklı ispat yöntemlerinin de kullanılmaya başlandığı pratikte ve teoride ortaya çıkmıştır. Burada tümevarım yöntemiyle ispat edilebilen bazı matematiksel önermeleri göstermeye çalışalım.















Bazen bazı formüller 1 sayısından başlamayabilir. Bu durumlarda formülün hangi sayıdan itibaren sağlanacağı formül üzerinde belirtilir. Dolayısıyla tümevarımla bu şekilde bir formülün ispatı yapılırken de 1 den başlanarak ispat yapılmaz. Çünkü verilen formül zaten 1 için sağlanmayacaktır. Formülde verilen sayıdan itibaren ispat basamağının temel basamağı yazılarak tümevarım ispatına başlanır.





Bazı Ardışık Toplam Formülleri

Bilinen hikayeye göre Alman matematikçi Gauss'un, 1 den başlayarak herhangi bir sayıya kadar olan ardışık sayıların toplamı şeklinde (1+2+3+4+5.....100 gibi) yazılan ifadeyi formüle etmesiyle birlikte diğer ardışık toplamların da aynı şekilde formüle edilebileceği gözlemlenmiş ve matematikçiler tarafından bu kavramlara kafa yorulmuştur. Tümevarım ispat yönteminin geliştirilmesiyle birlikte ardışık olarak gelen terimler arasındaki toplam formülleri daha net olarak gözlemlenmiştir. Daha kolay hesaplama yapmak için formüller bazen çok elzem olabilmekte lakin bütün bu formüllerin ezberlenerek zihnimizi doldurmaya çabalamasına da izin vermemiz bizden beklenen bir davranıştır. Matematiksel alt yapısını bilmeden kuru bir ezber iyi bir matematik çalışma stratejisine uygun olmayacaktır. Burada paylaştığımız tüm formüller tümevarım yöntemi ile ispat edilerek ortaya rahatlıkla çıkarılabilir. Tümevarım yöntemi matematik gibi ilimlerde doğruluğunu gösterse de diğer ilim dallarında tutarlı sonuçlar vermekten uzak kalmıştır. Ayrıntılı bilgi için tümevarım ispat yöntemi yazımızı okuyabilirsiniz. Aşağıda işlemlerde zamandan kazanmak maksadıyla kullanılmak için bazı ardışık toplam formülleri verilmiştir. Bu formüller kullanım sıklıklarına göre sıralanmıştır. 

Burada yer alan formüllerin ispatları için Tümevarım ispatları yazımıza bakabilirsiniz.

Değişen Matematik Müfredatı (2017)

2017-2018 eğitim öğretim yılından itibaren değişen matematik müfredatıyla birlikte lise matematik konularında bir sadeleşmeye gidilmiş ve konular lise öğrencileri seviyesine göre yeniden sıralanarak düzenlenmiştir. Geçmiş senelerin müfredatına göre ciddi anlamda değişiklikler olmasa da bazı konuların konu bütünlüğü açısından birleştirilmesi, bazı konuların da tamamen çıkarılarak lise seviyesine uygun hale getirilmiş olması , bazı kazanımlarda değişikliklerin yapılması matematik dersinin öğrenci gözündeki algısının daha farklı bir boyut almasına bir nebze katkı sağlayacaktır. 2017 Müfredatında; matematik dersi işlenişinde zaman zaman değerler eğitimi ve Turk-İslam matematikçilerinin çalışmalarına da yer verilmiş olması milli benlik oluşumu açısından olumlu bir gelişme olarak göze çarpmaktadır. Güncellenen matematik müfredatıyla birlikte ders kazanımlarında değişiklik olmuştur. En güncel müfredat bilgisi için MEB Talim Terbiye Kurulu'nun sitesindeki öğretim programlarını mutlaka inceleyiniz. Genel bir taslak olarak biz burada matematik konularının sınıflara göre nasıl dağıldığını gösteren tabloları paylaşalım.




Güncellenen müfredat: 28/08/2017

Üniversite tercihi yapacaklara tavsiyeler

Üniversite tercih haftalarına girdiğimiz şu günlerde adaylarımızın kafası oldukça karışık. Her sene tercih zamanı adaylardan daha çok çevteden sesler yükseliyor. Aday kendi isteklerini bir kenara bırakıp eş dost akraba tercihleri ile bir geleceğe adım atıyor. Öncelikle konu ile ilgili birkaç tavsiyeyi aşağıda not olarak düşüyorum. Dikkate alabilirsiniz.

#Öncelikle ne okumak istediğinizi ve nerede okumaktan mutlu olacağınızı belirleyin. Hangi iş ve deneyimlerde kendinizi daha huzurlu hissedeceğiniz hususunda kafa yorun. Puana göre uzun yıllar sizi meşgul edecek bir meslek seçimi yapılmaz.

#Sevdiğiniz ve istediğiniz bölüm tercihi yapınız. Beceri ve yeteneklerinizi mutlaka tercihlerinizde göz önünde bulundurun. Popüler meslekler sizin yeteneklerinize uygun değilse asla tercih etmeyin.

#Sırf üniversite okudu desinler diye istemediğiniz bir alanda tercih yapmayın. Bazen tekrar hazırlanmak daha iyi sonuçlar verebilir. Burada sizin azim ve kararlılığınız son derece önemlidir. Sonradan pişman olmamak için kırk kere düşünüp bir kere karar verin.

#Üniversite tercihlerinde şehir imkanları ve özellikle yurt ve barınma şartları sizin için son derece önemlidir. Üniversitelerin internet sayfalarından bu konuda bilgi alabilirsiniz. 

#Üniversite tercihlerini yaparken puandan ziyade başarı sırasına dikkat edin. Üniversite bölümlerinin puan ve başarı sıralamaları arasında da afaki farklar olmamasına da özen göstermek gereklidir. Puanlar o sene yapılan sınavın zorluk derecesine göre değişiklik gösterir. Başarı sırası ise o alanda sizin diğer adaylar arasındaki tam olarak yerinizi ifade ettiği için daha tutarlı bir sonuç verir.

#Hangi bölümleri istiyorsanız bunları ösym klavuzu ile bulup tercih yapılmalıdır. Başka internet sitesinde yer alan tercih bilgilerinde yanlışlık olabilir. Bölümlerin yanlarında bulunan özel şartları mutlaka ama mutlaka kılavuzdan okuyun. YÖK tarafından yayınlanan öğretim programları atlas da tercih aşamasında size yardımcı olabilir. https://yokatlas.yok.gov.tr/

#Tercihlerde üniversitenin yabancı dil, çift ana dal, yan dal, yurt dışı öğrenimi, staj ve çalışma koşulları hakkında ilgili üniversitenin web sitesini ziyaret edin. Mümkünse yabancı dil imkanları fazla olan üniversite bölümlerini tercih edin. Unutmayın; bir dil bir insan, iki dil iki insan.

#Tercih yaparken başarı sıranızın biraz üstünden başlayıp, başarı sıranızın altına doğru gittikçe azalacak şekilde ilgi ve isteklerinize uyacak şekilde sıralama yapınız. Tercih sırası burada çok önemlidir. İstemediğiniz, yeterliliklerinize uymayan bölümleri başarı sırasına bakarak yazmayın. Tercihlerde illa ki yerleşmek ve açıkta kalmamak istiyorsanız başarı sıranızdan daha düşük sıralamalara da yer verilmesi netice almayı sağlayabilir.

#Üniversite bölümlerinde Ösym tarafından belirlenen puan barajları mutlaka kılavuzdan kontrol edilmeli ve ona göre tercih yapılmalıdır. Örneğin Tıp fakülteleri, hukuk fakülteleri, mühendislik ve eğitim fakülteleri için başarı sıraları kılavuzda ayrı olarak belirlenmiştir. 

#Tercihlerde birkaç liste hazırlayıp içlerinden eleme yaparak en son listenizi oluşturabilirsiniz. Son tercih listesini oluşturduktan sonra Ösym sayfasındaki kılavuz eşliğinde tercihlerinizi yapıp onaylayınız. İsterseniz tüm tercih hakkını doldurabilir, isterseniz belli bir adet kadar tercih yapabilirsiniz.

#Kazandıktan sonra gitmek istemeyeceğiniz bir bölümü asla yazmayınız. Böyle bir durumda kalırsanız bir sonraki sene tekrar sınava girdiğinizde yerleştirme puanınızda kesinti oluşur. Bu nedenle laf olsun diye tercih yapmayın.

# Tercihlerde eğer büyük köklü üniversitelerde okuma şansınız yoksa evinize yakın üniversitelerden uzağa doğru bir tercih yapabilirsiniz. Aileye yakın olmak güvenlik, barınma ihtiyaçları, maddi/manevi sebepler ve iletişim şartları açısından önemlidir. Burada üniversite imkanlarına bakmak da fayda var. Tek bir üniversite ismine ya da sadece bir yere bağlı kalırsanız puanınız size zorluk çıkarabilir. 

#Farklı il tercihinde bulunanlar daha sonradan gittikleri yerde başarılı olmaları şartıyla yatay geçiş şartlarını düşünerek tekrar istedikleri ile veya üniversiteye gelebilir. Bunun için kazandıktan sonra üniversitelerin dönem sonlarında yapılan duyuru ve ilanlarını takip etmek gerekir. Ayrıca yatay geçiş başvurularında ders başarınızın iyi olması için çok çalışmanız gerekecektir.

#Tercihlerde her zaman büyük köklü devlet üniversitelerini yazmak daha mantıklıdır. Bazen de özel üniversitelerin reklam ve alternatifleri cazip hale gelebilir. Eğer maddi imkanınız varsa vakıf/özel üniversitelerini de yazabilirsiniz. Unutmayın ki diplomanız o özel /vakıf üniversitesinin kimliğini ve görüşünü daima yansıtacaktır. Bu nedenle özel üniversite tercihlerinde dikkatli olmakta yarar vardır.

#Yeni açılan veya yerleştirme puanı değişen bölüm tercihlerinde geçmiş yılların istatistik bilgileri dikkate alınmalıdır. Bu bölümlere benzer bölümlerin de başarı sıraları tercih aşamasında size yardımcı olabilir. Tercih listesini hazırlarken bu tip yerlerin isteklerinize göre yazılması önemlidir. Bu bölümlerin başarı sıraları ilk defa oluşacağı için biraz şans faktörü de dikkate alınmalıdır. Nasibinizde varsa olur.

#Geçmiş yıllara göre kontenjanı artan bölümlerin başarı sıralamalarında biraz rahatlama olacaktır. Daha düşük başarı sıralaması ile kontenjanı artmış olan bölümlere yerleşme durumu olacaktır. Üst başarılara sahip bölümlerin kontenjanın artması durumu doğal olarak alt başarı sıralarını da olumlu etkileyecektir.

#Okul birinciliği kontenjanı olan bölümleri tercih eden adaylar kendi aralarında yarış halinde olacaktır. Okul birincilik kontenjanı fazla olan bölümleri tercihlerde ön sıralara yazmak olumlu bir sonuç verebilir. Bu adayların yerleşme puanı, diğer adaylara göre bazen daha düşük puan ve başarı sırası ile neticelenebilir.

#Vakıf/Özel üniversitelerin ve devletin ikinci öğretimlerin puanları, diğerlerine göre düşüktür. Bu tercihler ailenizi maddi olarak ciddi anlamda zora sokabilir. İkinci öğretimin genel olarak akşam saatlerinde olduğunu unutmayın. 

#Klavuzda vakıf/özel üniversitelerin burslu bölümlerinin belli şartları vardır. Bu şatları okumadan ve ilgili üniversiteden araştırma yapmadan bu bölümleri tercih etmeyin.

#Yurt dışı üniversite tercihi yapacak olanlar da diplomanın denklik durumunu ve öğrenim şartlarını kılavuz üzerinden ve ilgili web adreslerinden araştırma yapmalıdır.  Bu konuda mağduriyet yaşanmaması için üzerinde dikkatle durulması gerekir.

#Tercih yaparken illa ki para kazanma, ilerde atanma ve iş bulma odaklı olarak düşünülmemeli, üniversitenin akademik lisans üstü eğitimleri de akılda tutulmalıdır. Her zaman atama ve iş odaklı düşünmek insanı büyük strese sokar. Girişimci ruh ile kendini yetiştirip akademik kariyer planlayanlar da her bölüm/program içinde çok büyük başarılara imza atabilirler. Önemli olan hedefleriniz uğruna ne kadar çaba gösterdiğinizdir. Aklınızın bir köşesinde akademik kariyer imkanını da not olarak bulundurun.

Şimdiden herşey gönlünüze göre hayırlısıyla olsun diyelim. İyi tercihler...
17/07/2017
Kadir PANCAR

Konu ile ilgili yazılmış bir köşe yazısı da tercih yapacaklara fikir vermesi açısından sizlere yararlı olacaktır. Köşe yazısı öğrencilere hitaben genel bir mektup şeklinde yazılmıştır.
"Sevgili genç arkadaşım.
Öncelikle seni tebrik ederim. Zor olanı başardın ve tercih yapacak sayılı öğrenciler arasına girdin. Şimdi herkes tepene üşüşüyor, sana bu tercihin ne kadar hayati olduğunu anlatıyor. Bence hepsi yanılıyor. Rahat ol... Bu tercih hayati bir seçim değil! Çünkü hayat çoktan seçmeli bir sınav değil. Hayatta yaptığımız tercihlerde doğru seçimin ne olduğunu çoğu zaman kimse bilmiyor. Bilenler de zaman içinde yanılıyor. O nedenle benim size ilk tavsiyem tercih yaparken rahat olmanız. Kariyerinize dair, geleceğinize dair daha pek çok tercih yapma fırsatınız olacak. Üniversite tercihi o kararlardan ilki; ama en önemlisi değil.
Meslek değil, disiplini seçin. 
Benim sana ikinci tavsiyem meslek seçimine çok kafayı takmaman. Eskiden, babanızın dedenizin zamanında üniversite tercihi demek, meslek tercihi demekti ve o tercih de hayatınızı ciddi ölçüde belirliyordu. Doktor, mühendis, öğretmen vs. olarak mezun olanlar bir ömür o işi yapıyordu. Artık öyle bir hayat yok. İnsanlar hızla meslek değiştiriyor. Çünkü meslekler hızla değişiyor. Hesap şu ki sizin kuşak en az üç, belki daha çok meslek değiştirecek! Şu an size tercih olarak sunulan pek çok meslek, siz iş hayatına başladığınızda olmayacak ve şu an size tercih olarak sunulmayan pek çok meslek iş piyasasında sizi bekliyor olacak. Dilerseniz İnsan Kaynakları sayfalarını dolaşın. Oradaki iş ilanlarınına bir bakın. Aranan elemanların pek çoğu üniversite tercih rehberinde olmayan ‘mesleklerden’ oluşuyor. O nedenle tercih yaparken mesleği değil, okuyacağınız disiplini seçin.
Taban puana değil, aynaya bakın!
Taban puanları geçen sene sınava girenlerin belirlediği bir referans. Başkalarının tercihleri yani. Kimbilir hangi nedenle yıllar önce öne çıkan bir bölüm, bir bakıyorsunuz orada takılıp kalmış. Yıllardır taban puanda zirvede olan öyle bölümler var ki eski halinden hemen her şeyi kaybetmiş ama zirvedeki yerini kaybetmemiş. Hocalar gitmiş, okul geriye gitmiş... Neyse konumuz bu değil. Diyeceğim şu: Sadece taban puan ile tercihlerinizi belirliyorsanız geçmişte bozulup kalmış bir pusulayla yolunuzu arıyorsunuz demektir. Size tavsiyem bu sıralamaları bir kenara bırakın ve aynaya bakın.
Nedir tutkunuz? Nedir beklentiniz? Hayalleriniz? Zamanı ve mekanı unuttuğun uğraş nedir? Bu soruya yanıt vermeden tercih yapma! 
Sevgili kardeşim, biliyorum hayal, tutku falan soyut kavramlar. Aynaya bak deyince belki ne demek istediğim çok açık değil. O nedenle biraz daha somut olarak şu basit soruya yanıt verin derim: En son yaparken saate hiç bakmadığn, öğün atladığın, nerede olduğunu unuttuğun uğraş neydi? Bir alanda zirveye çıkmanın sırrı bu soruda yatıyor. Çünkü ancak yaptığı işe tutkuyla bağlı olanların başarılı olduğu bir çağda yaşıyoruz. Şimdi bu mektubu bir kenara koyun ve açık zihinle yukarıdaki soruya yanıt arayın. Unutmayın, sradan bir tıp doktoru olacağınıza mesleğine tutkuyla bağlı bir hemşire olmak hem sizi daha çok mutlu edecek hem de size daha iyi bir maddi gelecek sunacak. Sıradan bir gıda mühendisi olacağına, işine tutkuyla bağlı bir şef ol. Hem daha başarılı olursun hem de daha zengin. Evet bu çağda tutku para da kazandırıyor! 

Bölüm değil üniversite seçin!
Bunu yıllardır söylüyorum. Tek başına bölümde alınan eğitimle üniversiteli olunmuyor. Üniversite dediğiniz kavram, bir ekosistem sonuçta. Bölüm elbette önemli ama bölümden daha önemli olan şey hangi ortamda okuduğunuz. Kimlerle oturup kalkacaksınız? Hangi sosyal networklara dahil olacaksınız? Sosyal sermayeden sözediyorum. Üniversitenin bu çağda size kazandıracağı en önemli kazanım bu: Sosyal Sermaye! Harvard’a gidenler, orada alacağı dersler kadar orada edineceği arkadaşlar için onca parayı veriyor. O nedenle tercihinizi yaparken bölümden çok üniversiteye odaklanın. Sıradan bir üniversitenin iyi bir bölümündense, iyi bir üniversitenin sıradan bir bölümünü tercih edin.
Global düşünün!
Son olarak, Türkiye gibi jeopolitik konumu gereği dünya ile entegre bir ülkede sizin için en büyük fırsat Türkiye sınırlarını aşan bir üniversite eğitimi almak olmalı. Bunun artık pek çok yolu var. Erasmus programları var, yurtdışında yaz okulları var. Üniversitelerin yurtdışı kampüsleri ve öğrenci değişim programları var. Tercih yaptığınız üniversitenin bu seçenekleri size sunup sunmadığına bakmanızda yarar var. Dört yılı tek bir şehirde geçirmek, üniversite eğitiminde yapacağınız en büyük hata olacaktır.
Sevgili kardeşim, hepimiz kendi hikayemizi yazıyoruz. Senin hikayeni de en iyi sen yazarsın. O nedenle senin için en doğru kararı vereceğinden kuşkum yok. Yolun açık olsun."
Selçuk Şirin 17/07/2017
http://hurriyet.com.tr/yazarlar/selcuk-sirin/universite-tercihi-yapacak-adaylara-acik-mektup-2017-40522193

Meryem Mirzakhani

İranlı kadın matematikçi Meryem Mirzakhani'nin vefatı bu alanda çalışma yapanları derinden etkiledi. Daha yakın zamanlarda Fields maalyasını alan ilk kadın matematikçi diye haberi yapılan bu nisbeten kısa hayatın ardından şimdilerde ne kadar haberi yapılsa artık geçmiştir. (Bkz. Fields Madalyası ve Meryem Mirzakhani) Mirzakhani yaşamında matematiğin anlamı hakikaten bir film senaryosuna konu olacak cinsten anlamlıydı. Matematik çalışmaları ile bu dünyada manadar bir yer edinmeye çalışan Mirzakhani, bilim dünyasında yeterince tanınmış mıydı bilemiyoruz. Kadın olması hasebiyle belki de medyada ilgi gören biriydi Mirzakhani. Belki de İranlı olması Doğudan bir bilim insanı çıkmış olması Batı insanlarını bu kadar heyecanlandırmıştı. Daha önce de Mirzakhani'nin hayatı ve aldığı ödül ile ilgili bir yazıyı blogda paylaşmıştık. İlginin sebebi şimdilerde meçhul biz matematiksel yönü üzerinde düşünüp konu ile ilgili yazılmış bir köşe yazısına bakalım. Biz öğretmenlerin de bu biyografi üzerinde düşünüp, matematik ilgisi zayıf öğrencilerimize küçük anlamlı bir dokunuşla nasıl büyük dehalar ortaya çıkarabileceğimizi ve bilim dünyasına bu sebeple katkılar sunabileceğimizi farketmemiz yerinde olacaktır. 

"Üniversitede 151 ve 152 kodları ile okutulan matematik dersinin kitabı ‘calculus’ benim için bir kâbustu ama matematikçilere duyduğum hayranlığın da en büyük kaynağıydı. Bu yüzden matematikçilerin yaşam öykülerini okumaya bayılırım. Bu konudaki filmleri tekrar tekrar izlerim. ‘Oyun Teorisi’ ile ekonomi alanında Nobel Ödülü alan ünlü matematikçi John Nash’in hayatını anlatan ‘Beautiful Mind’ filmi mesela. Bir insan beyninin taşıdığı dehaya oynadığı oyunlar ile o dehanın verdiği mücadeleyi muhteşem yansıtıyordu. 2. Dünya Savaşı sırasında İngiltere’de Bletchley Park’ta Alman haberleşme kodlarını çözen matematikçileri anlatan ‘Enigma’ filmi de favorimdir. Bir de ‘Imitation Game: Enigma’ filmi... Bletchley Park’taki matematikçilerden Alan Turing’in yaşamına odaklanıyor. Benim favorilerimden biri Hindistan’da yoksul bir çocukken keşfedilen ve dünyanın sayılı matematikçilerinden biri haline gelen Srinivasa Ramanujan’ı anlatan 2015 yapımı ‘The Man Knows Everything About Infinity’ filmi. Türkiye’de ‘Sonsuzluk Teorisi’ olarak gösterilmişti. Öyle görünüyor ki yakında bu matematikçi biyografisi filmlerine yeni biri eklenecek: Meryem Mirzahani...
"15 Temmuz gündemi içinde bazı gazetelerde bir sütuna 10 santim haber oldu Meryem Mirzahani. Ne yazık ki 40 yaşında göğüs kanserine yenik düşerek öldüğü haberiydi bu... En son ABD’deki ünlü Stanford Üniversitesi’nde matematik profesörü olarak görev yapıyordu. Yaşam öyküsünü Quanta Magazine adlı bilim dergisinde okudum. İran’da 1977’de doğmuş, ilkokulu, ortaokulu ve liseyi, hatta üniversiteyi İran’da okumuş. İlkokuldan sonra gittiği ‘üstün yetenekliler okulu’nun ilk yılında matematik öğretmeninin motivasyonunu kıran tepkileri nedeniyle matematikten uzaklaşmış. Okumaya ve yazmaya yönelmiş. Okulun ilk haftasında tanıştığı ve yaşamı boyunca arkadaş olduğu (halihazırda St. Luis’teki Washington Üniversitesi’nde matematik profesörü olan) Roya Beheshti ile bütün boş vakitlerini kitapçılarda geçirmiş. Bulduğu, satın alabildiği her kitabı okumuş. Bir sonraki yıl matematik öğretmeni değişmiş ve yeni öğretmeni Mirzahani’yi teşvik etmiş. 1’den 100’e kadar olan ardışık sayıların pratik bir şekilde toplanmasını sağlayan ünlü Gauss kuralı da Meryem’in matematiğe bakışını değiştirmiş.

Geometri ile yatıp kalkmaya, değişik yüzeylerin alanlarını hesaplamaya, teorileri ispatlamaya çalışmış. 1994’te arkadaşı Roya ile birlikte okul müdürünün kapısına dayanmış, “Biz Uluslararası Matematik Olimpiyatları’na (UMO) katılmak istiyoruz” demiş. Meryem’in bir söyleşisinde “Çok sağlam duruşlu biriydi” diye anlattığı okul müdürü başta tereddüt etmiş ama sonunda “Neden olmasın” diyerek iki öğrenci için UMO’ya başvurmuş. Meryem, 1994’te katıldığı olimpiyatlarda 6 testten 5’inden tam puan almış ve 41 puanla altın madalyayı hak etmiş. O yıl arkadaşı Roya ise 35 puan toplayarak gümüş madalyayı almış. Meryem bu başarısından sonra matematikle daha çok haşır neşir olmuş ve 1995 UMO’da testlerin tamamını hatasız yaparak 42 puan toplamış ve yine altın madalyayı İran’a götürmüş.
Üniversite sonrasında birçok dâhi gibi ABD’ye gitmiş Meryem. Harvard, Princeton ve Stanford’da çalışmış. Ancak hayatını değiştiren, tarihe geçmesini sağlayan olay 2014’te yaşanmış. O tarihte 37 yaşında olan Meryem, dört yılda bir toplanan Uluslararası Matematikçiler Birliği’nin ‘Fields Madalyası’ ile ödüllendirilmiş. 40 yaş altındaki matematikçilere verilen ödülü alan 54’üncü bilim insanı olan Meryem, daha önceki 53 kişinin aksine bu ödülü alan ilk kadın olmuş. Bu ödülü kazanmasına neden olan çalışmaları anlatmaya benim zekâm ve donanımım yetmez. Eminim ilgilenenler internet ortamında çok daha ayrıntılı makaleler bulabilir. Ancak şunu söyleyebilirim; doğru eğitim ve motivasyon sadece çocukların değil, toplumların geleceklerini şekillendirir.
Bazen küçük bir dokunuş, kritik bir karar çok şeyi değiştirir. Tıpkı, okul müdürünün verdiği o kritik karar gibi.
Deniz Zeyrek-17/07/2017
http://hurriyet.com.tr/yazarlar/deniz-zeyrek/cok-ders-cikarilacak-bir-deha-hikayesi-40522168

LYS-2017 Matematik Çözümleri

LYS-2017 matematik soruları işlem becerisi gerektiren ve iyi bir temel matematik becerisine sahip hızlı düşünüp anlamayla çözülebilecek sorular dan oluşmaktadır. Zorluk düzeyi geçmiş senelere göre biraz daha zorlaştırılmış olmakla birlikte, genel olarak lise bilgileri içerisinde yapılabilecek olan sorulardan oluştuğu gözlemlenmiştir. 

Soru dağılımı matematik müfredatı içerisinde yer alan bütün konuları kapsayacak biçimde geniş bir dağılım göstermektedir. Matematik lise müfredatında geniş bir şekilde anlatılmayan uzayda doğru ve düzlem konusundaki doğru ve düzlem denklemlerinden de 2 tane soru, toplam sembolünün kulllanımı ile alakalı 1 soru gelmiş ve bu sorular sınav sonrasında tartışmalara konu olmuştur.  Sınavın soru dağılımı aşağıda gösterilmiştir.

LYS MATEMATİK (LYS 2017) Soru Adedi
Temel Kavramlar 1
Faktöriyel 1
Bölme ve Bölünebilme 1
OBEB-OKEK 1
Rasyonel Sayılar 1
Basit Eşitsizlikler 2
Mutlak Değer 1
Üslü İfadeler 1
Köklü İfadeler 2
Çarpanlara Ayırma 1
Oran-Orantı 1
Fonksiyonlar 3
Kümeler 2
Perm-Komb-Binom-Olasılık 2
Mantık ve İspat Yöntemleri 2
Modüler Aritmetik 1
2.Dereceden Denklemler 1
Eşitsizlikler 2
Polinomlar 3
Parabol 0
Trigonometri 4
Karmaşık Sayılar 2
Logaritma 3
Toplam Çarpım Sembolü 1
Diziler-Seriler 1
Limit 2
Türev ve Uygulamaları 5
İntegral 5
Konikler (Elips,Hiperbol,Parabol) 1
Üçgenler 6
Dörtgenler 5
Çember ve Daire 3
Katı Cisimler 2
Doğrunun analitik İncelenmesi 2
Çemberin Analitik İncelenmesi 1
Vektörler 2
Uzayda Doğru ve Düzlem 3
Açık Uçlu Sorular
Üçgenler 1
Bölme ve Bölünebilme 1
İntegral 1
TOPLAM 80


LYS-2017 Matematik Sorularının çözümlerine ulaşmak için tıklayınız.

LYS Sorularının tamamına OSYM'nin resmi web sayfasından ulaşabilirsiniz. Burada yer alan Matematik soruları; ÖSYM web sayfasında yayınlanan "LYS Matematik sınavı" sorularının PDF dokümanı üzerinden çözülmüş halidir. Soruların aslına ulaşmak için www.osym.gov.tr/ adresini kullanınız. 

Elipsin Analitik incelenmesi

Düzlemde sabit iki farklı noktaya  uzaklıkları toplamı sabit olan noktaların geometrik yerine elips denir. Sabit olan bu noktalara elipsin odakları denir. Herhangi bir noktanın, elipsin odaklarına uzaklıkları toplamı, elipsin asal eksen uzunluğu olarak tanımlanır. Elipsin odakları x ekseni üzerinde ise bu elips yatay elips olarak isimlendirilir. Eğer Elipsin odakları y ekseni üzerinde ise bu elips; düşey elips olarak isimlendirilir. 

Yatay elipsin bir köşesi olan y ekseni üzerindeki B noktasından odaklara birer doğru parçası çizilirse burada bir köşesi orijinde olan iki adet dik üçgen meydana gelir ve pisagor bağıntısı bu üçgenler için geçerli olur.
Elipsin grafiği çizilirken öncelikle köşe noktaları, ve odak noktalarının koordinatları belirlenip düşey ya da yatay elips olma durumuna göre, elips koordinat düzleminde çizilir.
Merkezi orijin olan ve odakları x ekseni üzerinde olan elipse merkezil yatay elips denir. Merkezi orijin olup odakları y ekseni üzerinde olan elipse de merkezil düşey elips adı verilir. Bu iki elipsin de denklemleri aynı şekilde yazılır.
Elipsin denklemi yazılırken elips üzerinde alınan rasgele bir P(x,y) noktası alınıp bu noktanın odak noktalarına olan uzaklıkları toplamı asal eksen uzunluğuna eşit olacaktır. Ayrıca daha önce belirttiğimiz pisagor bağıntısı da yerine yazılıp sadeleştirilerek elipsin genel denklemi bulunmuş olur.
Elips denkleminde eşitliğin karşı tarafında bazen 1 olmayabilir bu durumda genel denklem formatına uygun olmasını istediğimizde, eşitliğin diğer tarafında bulunan sayı ile eşitliğin her iki tarafı da ayrı ayrı bölünür. Bazı özel durumlarda tam kare ifadeye dönüştürme işlemleri yapmak gerekebilir. Bu işlemler genellikle merkezil olmayan ötelenmiş elipslerde daha çok karşımıza çıkar.

Aşağıda verilen bazı elips denklemleri için odak noktaları arasındaki uzaklık, asal eksen uzunluğu ve yedek eksen uzunluğu ölçümleri hesaplanmıştır. Burada elipsin denklemine göre asal eksen, yedek eksen ve odaklar arası mesafenin nasıl hesaplandığı verilmiştir.
Elips ile Doğrunun Durumu; Bir elips ile herhangi bir doğrunun veya çemberin kesim noktası bulunurken iki denklemden bir bilinmeyen diğerinde yerine yazılarak ortak bir denklem oluşturulur. Ortak çözümle oluşan denklemin varsa kökleri bulunur. Bulunan bu kökler kesim noktalarıdır. Kesim noktasının olmaması için de ortak denklemin diskriminant değeri sıfırdan küçük olmalıdır. Yani denklemin kökleri olmadığında elips ve doğru (veya çember) kesişmezler.
Elips denkleminde x ve y bileşenleri, bir sabit değişkene bağlı olarak yazılırsa, bu tip denklemlere parametrik denklemler denir. Bu denklemlerde ortak parametre her iki denklemden birbirine uyumlu hale getirilecek şekilde ayrı ayrı işlemler yapılarak biribirne eşitlenmeye çalışılır. Özdeşlikler yardımıyla parametreden kurtularak elipsin genel denklemi yazılır.
Bazı elipsler;  orijinden x ve y ekseninde belli miktar kadar ötelenmiş bir merkeze sahip olabilir. Yani merkezi orijin üzerinde olmayan elipsler de mevcuttur. Bu tip elipslerin genel denklemleri de merkezil elipsin ötelenme miktarına göre hesaplanır.

Popüler Yayınlar

Son Yorumlar