Alt Küme sayısı formulü ispatı

Etiketler :
Bir kümenin bütün elemanları o kümeden farklı olan başka bir kümenin de aynen elemanları oluyorsa bu küme diğer kümenin alt kümesi olur. Alt küme sayısı kümenin eleman sayısı n olmak üzere, 2n  formülü ile hesaplanır. 

A={a,b,c} kümesinin alt küme sayısı 2^3=8 olarak bulunur.

Bu formülün ispatında kombinasyon konusundan yararlanılır. Kümenin alt kümelerini seçerken önce hiç elemanı olmayan boş küme seçilir. 
Hiç elemanı olmayan alt küme sayısı= C(n,0)
Daha sonra sırasıyla 1 elemanlı alt küme sayısı= C(n,1)
2 elemanlı alt küme sayısı= C(n,2)
3 elemanlı alt küme sayısı= C(n,3)
4 elemanlı alt küme sayısı= C(n,4)
......................................................
......................................................
n elemanlı alt küme sayısı= C(n,n)

şeklinde devam edildiğinde en son kümenin kendisi de bir alt küme olacağından en son olarak C(n,n) seçimi yapılır.
Buna göre yukarıda yazılan tüm alt kümeleri sayısı toplandığında;

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+C(n,4)+....................+C(n,n) toplamı elde edilir. Bu toplam da Hayyam üçgeni olarak bilinen Pascal özdeşliğindeki katsayıları ifade eder ki bu katsayılar aynı zamanda (Hayyam üçgeni için ayrıntılı bilgi için bakınız.)

(1+x)n=C(n,0)xn+C(n,1)xn1+..............+C(n,n).1 açılımının katsayılarını verir.
Bu açılımda özel olarak x=1 yazıldığında 2formulü elde edilmiş olur. 
Aşağıdaki Hayyam üçgeni tablosundan da ispat görülebilir.açmının katsayılarını verir.

0 yorum:

Popüler Yayınlar

Son Yorumlar