Alt Küme sayısı formulü ispatı

Etiketler :
Bir kümenin bütün elemanları o kümeden farklı olan başka bir kümenin de aynen elemanları oluyorsa bu küme diğer kümenin alt kümesi olur. Alt küme sayısı kümenin eleman sayısı n olmak üzere, 2n  formülü ile hesaplanır. 

A={a,b,c} kümesinin alt küme sayısı 2^3=8 olarak bulunur.

Bu formülün ispatında kombinasyon konusundan yararlanılır. Kümenin alt kümelerini seçerken önce hiç elemanı olmayan boş küme seçilir. 
Hiç elemanı olmayan alt küme sayısı= C(n,0)
Daha sonra sırasıyla 1 elemanlı alt küme sayısı= C(n,1)
2 elemanlı alt küme sayısı= C(n,2)
3 elemanlı alt küme sayısı= C(n,3)
4 elemanlı alt küme sayısı= C(n,4)
......................................................
......................................................
n elemanlı alt küme sayısı= C(n,n)

şeklinde devam edildiğinde en son kümenin kendisi de bir alt küme olacağından en son olarak C(n,n) seçimi yapılır.
Buna göre yukarıda yazılan tüm alt kümeleri sayısı toplandığında;

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+C(n,4)+....................+C(n,n) toplamı elde edilir. Bu toplam da Hayyam üçgeni olarak bilinen Pascal özdeşliğindeki katsayıları ifade eder ki bu katsayılar aynı zamanda (Hayyam üçgeni için ayrıntılı bilgi için bakınız.)

(1+x)n=C(n,0)xn+C(n,1)xn1+..............+C(n,n).1 açılımının katsayılarını verir.
Bu açılımda özel olarak x=1 yazıldığında 2formulü elde edilmiş olur. 
Aşağıdaki Hayyam üçgeni tablosundan da ispat görülebilir.açmının katsayılarını verir.

0 yorum:

Popüler Yayınlar

Sosyal Paylaşım

Icon Icon Icon Icon

Lütfen yazılarımızla ilgili yorum yapmaktan çekinmeyin. Kırık linkleri ve hatalı içerikleri mutlaka bize ilgili sayfa altında yorum yaparak bildiriniz. Blog sayfalarımızda ilginizi çekebilecek diğer yazılar için blog arşivimizi kullanabilirsiniz.

Son Yorumlar

Yararlı Linkler