Christian Goldbach ve Goldbach Kestirimi

Sayılar teorisi konusunda çalışmalarıyla ünlü Rus matematikçi. Uzun yıllar matematikçileri uğraştıran ve halen daha çalışmaları sorgulanan çözüme kavuşturulmaya çalışılan acayip bir bilim insanı. Goldbach, 18 Mart 1690’da Rusya’nın Konigsberg (şimdiki Rusya, Kaliningrad) şehrinde doğmuştur. 1725 yılında St. Petersburg’da tarih ve matematik profesörü olmuştur. 1728 yılında 2. Peter’e özel dersler vermek amacıyla Moskova’ya yerleşmiş, burada bir süre kaldıktan sonra Avrupa’ya gitmiştir. Avrupa’da, dönemin önemli matematikçileriyle görüşmek üzere dolaşmış, Leibniz, Bernoulli, De Moivre ve Hermann gibi matematikçilerle tanışmıştır. Goldbach’ın önemli çalışmaları Sayılar teorisi üzerinedir. Nerdeyse tüm akademik başarıları, Sayılar teorisi üzerine yaptığı çalışmalardan ve yayınladığı makalelerden dolayıdır.

Goldbach, çalışmalarında dönemin ünlü sayı kuramcısı Euler’le sürekli diyalog halinde olmuştur. Matematikçiye asıl ün kazandıran çalışması, asal sayılar ile ilgili öne sürdüğü varsayımdır. Goldbach’a göre “2’den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebilir.” Goldbach, bu varsayımından 1742’de Euler’e gönderdiği ünlü mektubunda bahseder. Goldbach asal sayılarla ilgili olarak ayrıca, her tek sayının üç asal sayının toplamı olduğunu da söylemiştir (Goldbach hipotezi) Ancak bu iki varsayımıyla ilgili olarak herhangi bir ispat sunmamıştır. Goldbach’ın birinci varsayımı hala doğruluğu kanıtlanmamış bir teori olarak görülmesine rağmen, ikinci varsayımı 1937’de Vinogradov’un çalışmaları sonucu ispatlanmıştır. Goldbach ayrıca, Sonlu toplamlar, Eğriler teorisi ve Denklemler teorisi üzerine de çalışmıştır.20 Kasım 1764’de Moskova’da ölmüştür.[1]

Goldbach hipotezi 1742'de Goldbach, Euler'e yazdığı bir mektupta "2'den büyük her çift sayı, iki asal sayının toplamı şeklinde ifade edilebilir" önermesinin, ya doğru olduğunu ispatlamasını ya da bunu sağlamayan bir örnek göstererek yanlış olduğunu ispatlamasını istedi. Goldbach kestirimi olarak bilinen bu hipotezle asal sayılar dünyasına yeni bir heyecan geldi. Bu heyecan o gün bugündür tüm matematik severleri sardı. Yine de henüz bir cevap bulunamadı. Bu varsayım daha doğrusu kestirim en orjinal haliyle şöyle ifade edilir. ...En azından 2'den büyük her sayı üç asal sayının toplamdır...Goldbach burada 1 sayını da asal kabul etmektedir. (Bu konvansiyon artık terkedilmiştir.) (1 sayısı niçin asal değildir: Çünkü bir asal sayı başka bir asal sayıyı asla tam bölmez. Oysa 1 sayısı diğer asalları da tam böler.)Kuvvetli ikil varsayım, 3'ten büyük her çift doğal sayının iki asal sayının toplamı olarak ifade edilebileceğini öne sürer. Faber and Faber adli şirket bu sanının doğru olduğunu 20 Mart 2000 ve 20 Mart 2002 arasındaki 2 yıllık sürede kanıtlayabilecek ilk kişiye 1.000.000 Amerikan doları ödül vaat etmiştir, fakat halen ispatsız olduğu üzere bu ödülü de kazanan olmamıştır. (2010) [2]

[1] http://tr.wikipedia.org/wiki/Christian_Goldbach

[2] http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/problemler.htm#goldbach

Sıfır Sayısı "Yoktan Yonga Kopmaz"

Sıfır (0) Arapça şafira ya da şifr , Sanskritçe sünya, İngilizce zero(nil-null). Boş, hiç olan; ya da herhangi bir şey olmayan. Batı dillerindeki şifre sözcüğünün kökeni. Günümüz sayı sisteminin merkezine, hangi serüvenleri izleyerek gelip oturduğu aşağı yukarı biliniyor. Matematiğin tarihi,bu sayının, Hint kökenli olduğundan hemen hemen emin. Basamak yerine ilk kullanımı, çok eskilere gitmesine rağmen, bu günkü anlamdakine en yakın kullanımı, Hint matematikçi Brahmagupta'nın Brahmasputha Siddhanta adlı eserinde anlatılmaktadır. 

MS 628 tarihini taşıyan bu eserinde Brahmagupta, sıfır ile dört işlemin kurallarını sıralar. Toplama, çıkarma ve çarpmada sorunsuz sıyrılan Brahmagupta, bölmede zorlanmaktadır. Şöyle diyor:

"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayının sıfır ile bölünmesi durumunda, sonuç paydasında sıfır bulunan bir kesirdir".

"-Herhangi bir pozitif ya da negatif sayı tarafından bölünen sıfır, ya sıfırdır veya payında sıfır, paydasında bir sayı bulunan kesirdir."

"-Sıfır bölü sıfır, sıfırdır." Daha sonraki yıllarda tanımsız olarak kabul edilen sıfırla bölme işlemi gerçekten hala kafalarımızı karıştırmaya devam ediyor. 

Limitte 0/0 belirsizlik olarak tanımlanmakta ve bununla ilgili limit işlemleri ve türev işlemleri anlam kazanabilmektedir. (Bkz. Limitte 0/0 belirziliği)  Halbuki sıfır'ın bir sayıyla bölünmesinde hiçbir sorun yok.0/5=0 diyebiliriz. Sıfır bölü sıfır (0/0) ise sıfır değil; o da matematikte belirsiz olarak tanımlanıyor. Herhangi bir sayının sıfıra bölümü (örn:5/0) ise paydada sıfır olamayacağı için tanımsız olarak belirlenmiştir. Harezmi tarafından Brahmagupta'nın eserini Arapça'ya tercüme ederek günümüz dünyasına sıfır sayısı kazandırılmış oldu. Günümüzde kullandığımız sayı sistemine Hint-Arap sayı sistemi diyoruz. Ondalık basamaklı sayı sistemi, Hindistan'dan Arap yarımadasına, oradan da İslam İmparatorluğu'nun genişlemesine parelel olarak Kuzey Afrika ve Endülüs üzerinden Avrupa'ya ulaşmıştır. Kendisi Becaiye'de (Cezayir) yetişmiş olan ünlü matematikçi Fibonacci, 1202 de yayınladığı Liber Abaci adlı eserinde bu sistemi Avrupa'ya tanıtmıştır.

 

Herhangi bir sayının sıfırla çarpımı sıfır olduğu için, sıfırın yutan eleman olduğunu söyleriz. Oysa duruma şöyle bakalım:

3*2=2+2+2=6 olarak yazılabilir. Benzer şekilde m*0=0+0+...+0(m tane 0'ın toplamı)=0 olur. Burada anlaşılma kolaylığı için m'yi sonlu bir pozitif tam sayı olarak kabul edelim. Sıfır m'yi yutmuyor; m tane sıfır toplanınca sonuç sıfır çıkıyor. Ya da: (m burada sonlu herhangi bir sayı olmak üzere.)

0=m*0

=m*0+(m-m)

=m*0+m*1-m

=m(0+1)-m

=m*1-m

=m-m=0

Sıfırın şifresi: Yoktan yonga kopmaz.

Kaynak: http://www.biltek.tubitak.gov.tr/gelisim/matematik/sayilar.htm

G.Friedrich Bernhard Riemann

(17 Eylül 1826 - 20 Temmuz 1866), analiz ve diferansiyel geometri dalında çok önemli katkıları olan Alman matematikçidir. Söz konusu katkılar daha sonra izafiyet teorisinin geliştirilmesinde önemli rol oynamıştır. Bu matematikçinin ismi aynı zamanda zeta fonksiyonu, Riemann hipotezi, Riemann manifoldları ve Riemann yüzeyleri ile de bağlantılıdır. Almanya'da Dannenberg yakınlarındaki Hanover Krallığının Breselenz kasabasında doğan matematikçinin babası Friedrich Bernhard Riemann idi. Bernhard Riemann altı çocuklu bir ailenin ikinci çocuğuydu. 

Riemann, 1840 yılında büyükannesi ile yaşamak ve Lyceum'u ziyaret etmek için Hanover'e gitti. Büyükannesinin 1842 yılındaki vefatından sonra Lüneburg'daki Johanneum'a giden Riemann, 1846'da yani 19 yaşında Göttingen Üniversitesi'nde filoloji ve teoloji çalışmaya başladı. En küçük kareler yöntemini anlatan matematikçi Gauss'un derslerine katıldı. 1847 yılında Riemann'ın babası ona teolojiyi bırakıp matematik çalışması için izin verdi. 1847 yılında Berlin'e gitti. Burada Jacobi, Dirichlet veya Steiner ders veriyordu. Berlin'de iki yıl kalan matematikçi 1849 yılında Göttingen'e döndü. 

Riemann ilk dersini 1854'te verdi ve bu dersle sadece Riemann geometrisinin temellerini kurmakla kalmadı aynı zamanda daha sonra Einstein'in izafiyet teorisinde kullanacağı yapıların da temellerini attı. 1857'de Götingen Üniversitesi'nde özel profesörlük kademesine terfi etti ve 1859'da profesör oldu. 1862 yılında Elise Koch ile evlendi. Selasca, İtalya'ya doğru gerçekleştirdiği üçüncü seyahatte hayata gözlerini yumdu. Riemann hipotezi (Riemann zeta hipotezi olarak da bilinmektedir), matematik alanında ilk kez 1859 yılında Bernhard Riemann tarafından ifade edilmiş fakat günümüze kadar çözülememiş problemlerden biridir.Bilindiği gibi asal sayılar düzenli bir dağılıma sahip değiller. 

Alman matematikçi G.F.B. Riemann (1826 - 1866) asal sayıların dağılımlarının Riemann-Zeta adını verdiği bir fonksiyon ile çok yakından ilişkili olduğunu gözlemledi. Bazı pozitif tamsayıların kendilerinden küçük ve 1'den büyük tamsayıların çarpımı (örn. 2, 3, 5, 7, ...) cinsinden yazılamamak gibi bir özelliği vardır. Bu tür sayılara Asal sayılar denir. Asal sayılar, hem matematik hem de uygulama alanlarında çok önemli rol oynar. Asal sayıların tüm doğal sayılar içinde dağılımı bariz bir örüntüyü takip etmemektedir.

Riemann toplamı ile ilgili ayrıntılı bilgiye ulaşmak için yazımıza tıklayabilirsiniz. (Bkz. Riemann Toplamı)

Augustin Louis Cauchy

İlk büyük Fransız matematikçisi olan Cauchy, 1789’da Paris’te doğdu. 1814 yılında, karmaşık fonksiyonlar kuramını geliştirdi. Bugün, Cauchy teoremi adıyla bilinen ünlü teoremi ifade ederek ispatladı. Bu alanda integraller ve bunların hesaplama yöntemleri yine Cauchy tarafından verildi. Bu sahadaki eseri 1827 yılında basıldı. 1815 yılında, Fermat’ın bir teoreminin ispatını verdi.1816 yılında sıvılar üzeirnde dalgaların yayılmasının kuramını içeren yaptıyla Akademi ödülünü aldı. 1815 yılında Polytechnique’te analiz öğretmeni ve profesör oldu. Sorbonne’a ve College de France’a girdi. Her işte başarılı oluyordu.
Akademiye haftada iki çalışma sunuyordu. Geliştirdiği ve yaptığı çalışmaları öğrenmek için Avrupa’nın her yanından matematikçiler geliyordu. 1816 yılında Akademiye başkan seçildi.1816 yılından itibaren cebir ve mekanik dersleri vermeye başladı. 1830 devriminden sonra bağlılık andını kabul etmediği için görevinden ayrıldı ve Torino’ya giderek kendisi için açılan matematik kürsüsünde çalışmaya başladı. 1833’te Bordeaux Dükü’nün fen eğitimini yönetmek üzere Prag’a çağrıldı. 1838’de Paris’e döndü. Paris Fen Fakültesi matematiksel gökbilim profesörlüğüne atandı ve 1852 yılına dek bu görevine devam etti. Cauchy, arı ve uygulamalı matematiğin bütün bölümleriyle ilgilendi.
Ama tarihe çözümleme üstüne yaptığı çalışmalarla geçti. 1821’de yayımlanan Cours d’analyse adlı kitabında çözümlemenin ana ilkelerini gözden geçirdi ve bunları yapıcı bir biçimde eleştirdi; böylece elementer fonksiyonların ve serilerin incelenmesine kesinlik kazandırdı. Cauchy herşeyden önce, karmaşık bir değişkenin fonksiyonları kuramının yaratıcısıdır. Bu konuda çıkış noktası karmaşık bölgelerde integrallemeydi (1814 - 1830): eğrisel integrali tanımladı, bunun temel özelliklerini kanıtladı ve kalanlar hesabını ortaya attı. İkinci grup çalışmasında (1830 - 1846) fonksiyonların serilere açılımını ve karmaşık diferansiyelleme ya da analitiklik kavramlarını inceledi. Yaptığı cebir çalışmaları (yerine koyma hesabı, determinantlar ve matrisler kuramı, gruplar ve cebirsel genişlemeler kuramının oluşturulması) XIX. yy tarihsel hareketine, cebirsel yapıların bulunması ve incelenmesi biçiminde geçti. Cauchy mekanik alanında esneklik kuramının matematikle ilgili yönünü düzenledi. Gökbilim hesaplarını kolaylaştırdı ve hatalar kuramını geliştirdi. Fonksiyonlar kuramında da çok yenilikleri olan Cauchy, Cauchy - Riemann denklemleri, Cauchy teoremi, Cauchy integral formülü ve cauchy esas değeri buluşları sayılabilir. Bu saydığımız bağıntılar oldukça geniş buluşlardır. Karmaşık analizde çok uygulaması olan çok derin konuları içine almaktadır. İstenildiği kadar da genişletilip ilmin diğer dallarına uygulanabilirliği vardır.

Pierre de Fermat ve Denklemi

Fermat, 1601’de Fransa’nın Lomagne kentinde doğdu. İlk öğrenimini doğduğu şehirde yapmıştır. Yargıç olmak için çalışmalarına Toulouse’de devam etmiştir...Fermat, memurluğunun yoğun işlerinden geriye kalan zamanlarında matematikle uğraşmıştır. Arşimet’in eğildiği diferansiyel hesaba geometrik görünümle yaklaşmıştır. Bu problem şimdi lise öğrencilerine bile kolaylıkla öğretilebilir. Fakat, bu problemin açtığı çığır önemlidir. Fiziğe uygulamaları da ilginçtir. Eğrilerin çiziminde maksimum ve minimum noktaların önemi bilinmektedir. İşte bu kavramları koyan yine Fermat’tır. Oldukça kolay gibi görülen bu problemin matematik ve fizikte çok geniş ve ileri uygulamaları vardır. Ayrıca, bu kavramları ışık bilmine uygulamasını çok iyi beceren yine odur. Buna bağlı olarak, yansıma, kırılma, geliş ve yansıma açıları üzerine yaptığı bağlılıklar önemini bugün bile korumaktadır. Fermat, analitik geometriyi üç boyutlu uzaya aktarmıştır. Amatör bir matematikçi ve düzenli bir evrak memuru olan Fermat’ın en önemli matematik çalışması sayılar kuramı üzerinedir. Asal sayılar üzerinde de çok durmuştur. Onun bu konuda çeşitli teoremleri vardır. örneğin, (4n + 1) şeklinde yazılan bir asal sayı, yalnızca bir tek şekilde iki karenin toplamı olarak yazılabilir. Bu teoremi daha sonra Euler kanıtlamıştır. "Fermat Teoremi" olarak tanınan meşhur teoremi ise, "p asal bir sayı ve a ile p aralarında asal olduğu zaman, (a^p-1-1)  sayısı p sayısına bölünebilir" biçiminde ifade edilebilir. Bu teoremi Leibniz ve Euler ispatlamışlardır.  

Fermat’nın asıl önemli teoremi ise, xⁿ + yⁿ =zⁿ (burada n x,y,z sayılarının kuvvetidir) denklemi x, y, z ve n’nin pozitif değerleri için n>2 ise imkansızdır" biçimindedir.  Fermat, bütün teoremlerinin ispatlarını vermemiştir. 1879 yılına kadar onun kullanmış olduğu ispat yöntemleri tamamıyla kayıptır; bu tarihte Leiden Kütüphanesi’nde Huygens’in yazmaları arasında bulunan bir belge, Fermat’nın indüktif metodu kullandığını gösterdi. Fermat, bu metodun, özellikle belirli bağıntıların imkansızlığının ispatına uygun olduğunu söylemiştir.

Niels Henrik Abel

Niels Henrik Abel, 1802 ile 1829 yılları arası yaşamış Norveçli bir matematikçidir. O dönemler, genç bir matematikçinin şöhreti yakalayabilmesi için tek çaresi, Paris gibi büyük merkezlerdeki tanınmış kişilerin takdirini kazanabilmek olduğundan, Abel de Paris’te zamanın büyük isimlerinden Cauchy’ye bir çalışmasını takdim eder. Oysa Cauchy kendi ünüyle meşgul, bu kuzeyden gelen genç adamın verdiği çalışmayı okumadan kaybeder. Abel de Berlin’de tanıştığı Crelle adlı bir matematikçinin teklifine uyarak onun yeni çıkaracağı bir matematik dergisine makale göndermeye başlar...
Bugün Crelle Dergisi takma adıyla bilinen bu çek prestijli derginin ilk sayısında altı makale yayınlar ve matematik dünyasında tanınması da bu sayede olur. Abel’in matematiğe katkısı, eliptik integral adıyla bilinen bazı tür integrallerin kavram olarak anlaşılmasını sağlamaktan ibarettir. Bu integrallerin nasıl hesaplanacağı hala bilinmemekle birlikte, altlarında yatan temel kavramların ne olduğu Abel’in ve çağdaşlarının çalışmalarıyla aydınlanmıştır.

Abel’in matematik dünyası dışında da tanınmasını sağlayan çalışması ise beşinci derece polinom denklemlerinin çözümleriyle ilgilidir. Birinci ve ikinci derece polinom denklemlerinin çözümü yıllardır biliniyordu. Üçüncü derece polinom denkleminin çözümünü, 15. Yüzyılda İtalyan matematikçi Cardano, dördüncü derece polinom denklemin çözümünü de Cardano’nun arkadaşı Ferrari, yine katsayılar cinsinden çözmeyi başardı. İnsanlar dördüncü derece denklemlerden sonra beşinci derece denklemlerle tam üç yüzyıl hiçbir sonuç almadan uğraşmışlardır. İşte Abel burada tarih sahnesine çıktı. Abel, beşinci dereceden genel bir polinomun köklerinin bilinen yöntemlerle bulunmasının mümkün olmadığını gösterdi. Bazı özel beşinci derece denklemlerin çözümünün bulunduğu halde, her denkleme aynı şekilde uygulandığında, bize çözümü verecek bir metodun olmadığını ispatladı.

Abel, matematikte elde ettiği parlak sonuçlara rağmen hayatı boyunca doğru dürüst bir iş bile bulamadı. Matematikçi olarak kendisini Avrupa’daki matematik çevrelerine bir türlü kabul ettiremedi. Sonunda 26 yaşında, yokluk içinde veremden öldü. Ölümünden iki gün sonra adına bir mektup geldi. Berlin Üniversitesi’nden gönderilmiş bir mektup, Abel’in ölümünden habersiz, genç matematikçiye çalışmalarının dikkat çektiğini ve kendisine üniversitede iş teklif ettiklerini bildiriyordu. Öldükten sonra anlaşılma olgusunun bu denli tez gerçekleştiği bir daha görülmedi.
Kaynak: www.matematikdosyasi.com

David Hilbert

Bir Alman matematikçisi olan David Hilbert, 1862 yılında Königsberg'de doğdu. 1895 ile 1929 yılları arasında Göttingen Üniversitesinde profesörlük yaptı. Yirminci yüzyılın başlarında, Alman matematik okulunun önderi sayılır. 1897 yılında cisim kavramını ve cebirsel sayılar cisminin kuramını kurdu. 1890 yıllarındaki ilk çalışmaları sırasında, cebirsel geometri ve modern cebirde önemli bir rol oynayan çokterimli idealleri kuramının temellerini atarak, invaryantlar kuramının temel kanunlarını ortaya koymayı başardı. 1899 yılında, geometrinin temelleri üstüne araştırmalarının bit sentezi olan "Geometrinin Temelleri" adlı eserini yayınladı. Bu, matematiğin çeşitli bölümlerinde aksiyomlaştırma amacına yönelen birçok verimli çalışmaya yol açtı.

Somut görüntülere başvurmaktan kaçınan Hilbert, noktalar, doğrular ve düzlemler diye adlandırdığı "Üç nesne sistemini" matematiğe soktu. Ne oldukları kesin olarak gösterilmeyen bu nesneler, beş grupta toplanmış yirmi bir aksiyomla açıklanan bazı ilişkiler ortaya koyar. Ait olma, sıra, eşitlik veya denklik, paralellik ve süreklilik aksiyomu bunlardandır. Bundan sonra, aksiyomlardan birinin veya öbürünün doğrulanmadığı geometriler kurdu.

Temel terimleri kendilerine aksiyomlarla yüklenen özelliklerden başka özelikleri bulunmayan mantıksal varlıklar olarak ele aldı. Klasik matematiği savunmak ve ondaki apaçıklığı göstermek için Brouwer ile giriştiği tartışmalar, matematikte geniş biçimli incelemelere yol açtı. 1943 yılında Göttingen'de öldü. (1862-1943)

Rene Descartes ve Felsefe

Descartes (31 Mart 1596 – 11 Şubat 1650) Fransız filozof, matematikçi ve bilim insanıdır. Daha önce birbirinden ayrı olan geometri ve cebir alanlarını birleştirerek analitik geometriyi icat etmiştir. İlk olarak Nassaulu Maurice'in Hollanda Devlet Ordusu'nda ve bir Stadhouder olarak Birleşik Hollanda Cumhuriyeti'nde hizmet veren Descartes, çalışma hayatının büyük bir bölümünü Hollanda Cumhuriyeti'nde geçirdi. Hollanda Altın Çağı'nın en dikkate değer entelektüel şahsiyetlerinden biri[19] olan Descartes ayrıca modern felsefenin kurucularından biri olarak kabul edilir. Descartes'ın modern felsefenin ve birçok yönden modern matematiğin ve matematiksel fiziğin babası olduğu yaygın olarak kabul edilir. Bununla birlikte, Descartes'ta neyin yeni olduğu birçok tartışmanın odağını oluş turmuştur. Bundan dolayı, Descartes'ın matematik felsefesini irdelerken asılsız bir Descartes üzerine değil tarihsel verilerden hareketle “otantik” bir Descartes üzerine eğilmek daha anlamlı olacaktır.Bu yazıda, yazdıklarından yola çıkarak, Descartes'ın özellikle matematik felsefesinin ana hatlarını ele almakla kendimizi sınırlandıracağız. Bunun yanısıra Descartes'ın matematik hakkındaki görüşlerinin zamanla nasıl ve neden değiştiğini inceleyeceğiz. Ayrıca, Descartes'ın görüşlerinin Heidegger tarafından sunulan bir eleştirisini kısaca sunacağız. 1596'da Fransa'da doğmuştur. Eğitimini Cizvit Katoliklerinin bir okulunda tamamlar. 19 yaşında Hukuk Fakültesi'ne kaydolur ve bir yıl sonra okulu bitirir.

Hukukçu olarak yaşamını sürdürmektense orduya katılır. 1619'da, bütün bilgiyi sağlam temellere oturtmaya dair meşhur rüyasını görür ve çalışmalarına başlar. Descartes'ın hayatı boyunca düzenli bir işi olmamış, ailesinin kaynaklarıyla geçinip, ömrünü bilimsel ve felsefi araştırmalara adamıştır. 1620'li yıllardan itibaren yoğun araştırmalara imza atmış ve Avrupa'nın muhtelif bölgelerine seyahatlerde bulunmuştur. 1628'de Hollanda'ya taşınmış ve sonraki yirmi bir yılını orada bir münzevi olarak araştırmalar yapmakla geçirmiştir. 1649'da Kraliçe Christina'nın davetiyle İsveç'e gidince Descartes – alışkanlığının aksine - sabahları çok erken vakitlerde Kraliçe'ye ders vermeye başlar. Bölgenin sert iklimi sabahın soğuğuyla birleşince, Descartes zatürree olur ve İsveç'e gelişinden altı ay kadar sonra ölür. Mathesis Universalis. Ortaçağ ve Rönesans boyunca, Avrupa'daki Aristoculuğun veya skolastizmin etkisinden dolayı, diyalektik veya mantık, eğitimin en önemli disiplini olarak kabul edilmiştir.

Descartes, 1619-1628 yılları arasında tuttuğu notlardan oluşan ve ölümünden sonra yayınlanan Regulae adlı çalışmasında birçok kez diyalektiğe saldırır ve matematiği (Descartes'ın deyişiyle aritmetikle geometriyi) kesinliğinden dolayı över [1]. Descartes'ın düşüncesinde matematik merkezi konumdadır, öyle ki bu düşünceler bir tür matematikçilik (matematisizm) olarak nitelendirilmiştir [7].

Descartes, Regulae'de sağlam herhangi bir bilginin matematiksel kanıtların kesinliğini taşıması gerektiğini iddia etmiş ve mathesis universalis (evrensel öğrenme) fikrini genel yöntemini geliştirmek için kullanmıştır. Aslında mathesis universalis Descartes'tan çok önceleri kullanılan bir kavramdır; 16'ıncı yüzyılda mathesis universalis'i kullananların başında Adriaan van Roomen adlı matematikçi gelir. Kavramın kökeni, Aristo'nun prima philosophia kavramına kadar geri götürülür [7].Regulae'de diyalektikçilerin veya mantıkçıların uzun çıkarım zincirlerinin hiçbir işe yaramadığına değinen Descartes, aritmetik ve geometrinin katıksız düşünceyi esas aldıkları için deneyin neden olabileceği muhtemel yanlışlara maruz kalmadığını belirtir.Kural II'de aritmetik ve geometrinin kanıtlarının kesinliği kadar kesinlik taşıyan nesnelerle ilgilenmeliyiz der. Yine aynı kısımda şöyle der: Bilinen bütün disiplinler içerisinde, sadece aritmetik ve geometri yanlışlık ve belirsizliğin her tür kusurundan arıdır [1, s. 120].

Aritmetik ve geometrinin övülmesinin nedeni bu disiplinlerde deneye başvurmaksızın saf akılla çıkarım yapılmasıdır. Descartes her ne kadar çıkarımı övse ve ön plana çıkarsa da, Kural III'te aritmetik ve geometride sezginin öneminden de bahseder. Dolayısıyla Descartes'a göre sezgi de bilimsel bilginin elde edilmesi için gereklidir.Descartes, kesinliğe giden yolun sağlam bir yöntem gerektirdiğini vurguladığı Kural IV'te mathesis universalis'i tanıtır. Mathesis universalis Kural IV'te bir disiplin olarak sunulur (ki bu şimdilerde mathesis universalis hakkındaki genel kanının yanlış olduğunu gösterir):

Descartes'a göre mathesis universalis bütün disiplinleri kapsayan veya onları bir kenara iten bir tasarım olmaktan ziyade, bütün disiplinlerde bilimsel bilgi üretiminde kullanılabilecek türden heuristik bir rolü olan rehber bir disiplindir. Başka bir deyişle, Descartes için mathesis universalis, geometri, aritmetik ve diğer matematiksel disiplinler gibi bir disiplindir; bununla birlikte, o, bütün bilimsel bilgi üretiminde buluş yapmaya yarayan bir tür kılavuz olduğu için diğer disiplinlerden önceliklidir, daha özeldir. Bu cümlenin daha iyi anlaşılması için, Descartes'ın aktif bir matematikçi olarak çalışmalarını yürüttüğü ve kendisini sağlam sonuçlara ulaştıracak yöntemler arayışında olduğu hatırlatılmalıdır. Descartes, mathesis universalis'in tam olarak neyi içerdiği hakkında herhangi bir şey söylemiyor, sadece mathesis universalis'in diğer matematiksel disiplinlere nazaran daha basit olduğu veya daha az zorluğa sahip olduğunu belirtmekle yetiniyor.

Joseph Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange (d. 25 Ocak 1736, Torino - ö. 10 Nisan 1813, Paris) bir İtalyan Aydınlanma Dönemi matematikçisi ve astronomudur. Analiz, sayı kuramı ve klasik ve gök mekaniği alanlarında önemli katkıları olmuştur. Torino Topçuluk Okulu'nda öğretmenlik yaptı (1756), Fagnano ve Euler ile bilimsel konularda mektuplaştı. Çalışmalarını büyük bir bölümü, kurduğu topluluğun yayın organı olan Mélanges de Turin'de yayımlandı; bu topluluk daha sonra Torino Bilimler Akademisi'ne dönüştü. D'Alembert O'nu, Prusyalı Friedrick II'ye tavsiye etti; bunun üzerine kral, Lagrange'yi, 1766'-da, Berlin Bilimler Akademisi'nin matematik bölümünü yönetmek üzere davet etti. Koruyucusunun ölümü üzerine, Paris kenti onu,1772'den beri üyesi olduğu Bilimler Akademisi'nin kıdemli üyesi olarak, tüm gereksimini karşılamak üzere çağırdı (1787). II. yıl Yüksek Öğretmen Okulu'nda, Ecole Polytechnique'de çözümleme dersleri verdi.

Ağırlık ve Ölçüler Komisyonu'na başkanlık etti ve Boylamlar Barosu'nda görev aldı (1795). Paris'te yayımlanan en önemli inceleme kitaplarında, yöntemsel bir bilançosunu yaptığı eski bilgilerin yanı sıra, kendi yazdığı sayısız incelemenin sonuçlarının bir bireşimini yaptı. 1770-1771'de basılmış kitabında n. dereceden genel bir denklemi, cebirsel yöntemle çözme umudunu yitirdi. n, 4'ten büyük olduğunda, çözümde kullanılan yardımcı denklemin derecesinin n'den büyük olduğunu ortaya koydu. İki denklemin kökleri arasındaki bağıntıları inceleyerek, gruplar kuramıyla ilgili birçok teoremi kanıtladı ve Galois'nın çalışmalarına öncülük yaptı.

Mécaniqu-e Analytique (Analitik Mekanik) adlı kitabında, geometriden hiçbir biçimde yararlanmadı: burada Newton kuramının, gezegenlerin devinimine tümüyle uygulanabileceğini gösterdi ve mekaniğin temellerini birleştirdi. Lagrange tam anlamıyla analitik olan yöntemleriyle değişim hesabını, sonsuz küçükler hesabının bağımsız bir kolu olarak oluşturdu. Théorie des fonctions analytiques (Analitik fonksiyonlar kuramı) adlı kitabında (1797), her fonksiyonu Taylor serisine açılımıyla tanımlamaya çalıştı.

Taylor serisinde, kalanın önemini belirtti ve tümüyle cebirsel olduğu düşünülen bir hesapla bunun ardışık türevlerini elde etti. Böylece, diferansiyel ve integral hesabı, sonsuz küçük, limit ve devinim kavramlarına başvurmaksızın kurmak istedi. Euler'in görünüşünden ve Newton'un evren kavramından etkilenen Lagrange'nin yapıtları, çözümleme konusunun matematikte çok büyük bir önem kazanmasını sağlamıştır.

Maurits Cornelis Escher

Maurits Cornelis Escher veya daha çok kullanılan şekliyle M.C. Escher 1898 yılında Hollanda’da doğdu. 1918 yılına kadar, inşaat mühendisi olan babası George Escher, annesi Sarah ve dört erkek kardeşiyle birlikte, doğduğu kent olan Arnhem’de yaşadı.Okul hayatı hiçbir zaman iyi olmayan M.C. Escher, çizimlerini gösterdiği grafik öğretmeni Samuel Jessurun de Mesquita’nın da tavsiyeleriyle grafik üzerine çalışmayı uygun gördü. Grafik eğitiminden mezun olduktan sonra hayatının her zaman önemli bir kısmını oluşturacak olan seyahat zevkinin etkisiyle İtalya’ya seyahat etti ve burada birçok çizim yaptı. 1922 Haziran'ında İspanya’yı ziyaret edip birkaç yıl sonra tekrar İtalya’ya gitti. 1924 yılında burada Jetta Umiker ile evlendi ve çift uzun süre Roma’da yaşadı.

İtalya’nın etkisi çizimlerinden eksilmeyecek, birçok çalışmasında İtalya’ya dair şeyler yer alacaktı. 1935 yılında çok sevdiği İtalya’dan, yükselişteki Faşist hareket yüzünden, ailesiyle beraber İsviçre’ye taşındı. Başlarda İsviçre'yi pek sevemeyen aile, uzun Akdeniz gezilerine çıktı ve bu Akdeniz gezileri de Escher'in eserlerini fazlasıyla etkiledi. 1937'de eserlerinin birkaçını gösterdiği kardeşi Berend, onu matematiğe yönlendirdi ve Escher'i matematikle tanıştıran kişi oldu. 

Escher simetri üzerine çalışmaya okuduğu bazı makalelerin tesiriyle başladı.Bu arada 1937'nin sonlarına doğru ailesiyle Belçika'ya taşındı. 1941'de Alman işgali yüzünden ailesiyle beraber Belçika'dan Hollanda'ya kaçmak zorunda kaldı. Sonraki yıllarda gelecekte çok ünlü olacak birçok çalışmasını yaptı. 1950'lerin ortalarında ilgisi sonsuzluğun (2 boyutlu bir düzlemde) tasvirine kaydı.Daha sonra 1958'de tanıştığı Coxeter ile ömür boyu arkadaş kaldı ve Coxeter'in çalışmaları Escher'in birçok eserine ilham kaynağı oldu. Aynı yıllarda büyük bir üne de kavuşmuştu Escher, 2-boyutlu (2-D) ve 3-boyutlu (3-D) öğeleri aynı anda içeren birçok harika çalışmaya imza attı. 1962'de hastalanıp hastaneye kaldırıldıktan sonra 1964'de yeniden hastalandı. 1970'de tekrar hastaneye kaldırıldı ve 1972 yılının 27 Martında, Hilversum'da kaldığı hastanede vefat etti.Son çalışması, yaklaşık altı ayını almış olan, ve 1969'da gösterime sunduğu "Snakes" idi. M.C. Escher insanı hayran bırakan ve insan zihnini fazlasıyla zorlayan özellikle simetrik ve perspektif konusunda zirvede olan eserleriyle ünlüdür.

Eserlerinin bir çoğunda yoğun bir matematiksel hava yer alır. Son dönemlerindeki eserlerinde sonsuzluk mefhumunu da bulmaktayız, ki belki de bunlar sonsuzluk üzerine yapılmış en ünlü ve profesyonel çalışmalardır. Bugün birçok bilimsel dergide gördüğümüz ve gözlerimizi kamaştıran, kafamızı karıştıran eserlerin yaratıcısı M.C. Escher'dir.Yaşamı boyunca 448 litograf ve 2000'in üzerinde çizim yapmıştır.Eserlerini 5 ana dönemde ele alarak incelemek eserleri anlamak bakımından çok önemlidir.

1922'ye kadar ki erken dönem çalışmalarında birçok yüz formu ile beraber bazı kompleks yapıtları görüyoruz. Her ne kadar bu ilk dönem gelecek dönemlerdeki eserleri üzerine bize ipucu verse de, bu dönemde yaptıkları ileriki dönemlerde yapacağı eserlere göre çok daha ilkel ve perspektif açısından daha basittir.

1922'den 1935'e kadar olan ve İtalya ağırlıklı çalışmalarında perspektif konusunda inanılmaz bir gelişme dikkat çeker. Çalışmaları daha kompleks bir biçim almıştır ve ilerde ünlü olacak bazı baskı ve litografını bu dönemde yapmıştır. Bunlardan birkaç örnek vermemiz gerekirse; "Tower of Babel" (1928), Castrovalva(1930), "Atrani, Coast of Amalfi" (1931), "Hand with Reflecting Sphere" (1935).

1941'e kadar olan, İsviçre ve Belçika'da geçirdiği zamanlarda yaptığı eserleri başka bir dönem oluşturur. Bu döneme damgasını vuran daha sonraları çok ünlenecek olan simetrik çalışmalarıdır. Aynı zamanda bu dönemde yaptığı eserleri incelediğimizde, yaptığı Akdeniz gezilerinin eserlerinde İsviçre'den de Belçika'dan da fazla etkisi olduğunu görürüz. Bu dönemde yaptığı ünlü eserlere örnek verirsek; "Metamorphosis I" (1937), "Day and Night" (1938), "Sky and Water I" (1938), ve "Metamorphosis II" (1940).

1954'e kadar ki, Hollanda'da geçirdiği bir sonraki dönemde simetri eserlerinin yanı sıra, güçlü 3 boyutlu eserler de yapmıştır. Bu dönemdeki eserlerin bir kısmında 2-boyutlu ve 3-boyutlu öğelerin bir arada kusursuz bir biçimde bağlantılı olarak bulunduğu görülür. Aynı zamanda, sonsuzluk mefhumu üzerine ilk eserlerini de bu dönemde gerçekleştirmiştir. Bu dönemdeki bazı ünlü eserleri, "Reptiles" (1943), "Up and Down" (1947), "Drawing Hands" (1948), "House of Stairs" (1951), ve belki de gelmiş geçmiş en ünlü eseri olan Relativity (1953).

1972'deki ölümüne kadar olan son döneminde, ününün zirvesindedir. Bu dönemde yaptığı eserler hayatı boyunca yaptığı belki en kompleks ve başarılı eserlerdir. Örnek olarak, "Convex and Concave" (1955), "Rind" (1955), "Bond of Union" (1956), "Waterfall" (1961), "Moebius Strip II" (1963), "Metamorphosis III" (1967-1968) ve en son eseri olan "Snakes" (1969).

Constantijn Huygens

Ünlü Hollandalı matematikçi, fizikçi ve astronom; 1629'da The Hague'de doğdu. Babası ünlü bir şair olan Constantijn Huygens'ti. Öğrenimini Leiden ve Breda üniversitelerinde yaptı. Geometri üzerine yapıtlar yayımladıktan sonra fiziğe yöneldi.1655'de kardeşiyle birlikte teleskobu geliştirmeye çalışırken mercekleri parlatmak için yeni bir yöntem buldu. Gök dürbünlerinin uzunluğunu iki katına çıkararak büyüme gücünü çok yükseltti. Bu yöntem sonunda Satürn'ün halkasıyla birinci uydusu Titan'ı (1665), Jüpiter 'deki karanlık lekeleri, Mars'ın dönmesini ve dönemini buldu.1656'da Orion nebulasını gözlemleyen ilk kişi oldu. 

Yıldızların, bir olasılıkla canlı bulunan gezegenlerle çevrili, son derece uzak başka güneşler olduğunu ilk söyleyen de odur.

Yer ile Güneş arasındaki uzaklığın, Yer çapının 124253 katı olduğunu tahmin etti; bu değer günümüzde bulunan değerden yalnızca %7 oranında farklıdır.Yine 1656'da yazdığı De Ratiociniis in Ludo Aleae adıyla, ihtimaller hesabının ilk eksiksiz incelemesini yaptı. Açan ve açılan eğriler teorisini kurdu; bu teori ile eğrilik merkezlerinin tanımını yaptı ve sikloitin özelliklerini buldu. Şisoitin doğrulaştırılmasını başardı, logaritma teorisini kurdu ve zincir eğrisini problemini çözümledi.En ilginç buluşlarını ise fizikte, özellikle mekanik ve optikte yaptı. Louis XIV'e adadığı Horologium oscillatorium (1673) adlı yapıtında saatin hareketini düzenlemek için maddesel sistemlerin dinamiğinin ilk açılımı olan bileşik sarkaç kuramını buldu. Eşzamanlı basit sarkacın varlığını, tersinir sarkaçta, salınım ve asılma eksenleri arasındaki karşıtlığı buldu. Saat hareketinde sarkacı düzenleyici olarak kullandı ve kol saatleri için sarmal bir yayın kullanımını önerdi. İlk rakkaslı saati olan maşalı eşapmanı 1657'de tamamladı ve bir sarkacın tam eşzamanlı olması için izlemesi gereken eğriyi belirledi.

Ayrıca merkezkaç kuvvet kavramını (1673) ve etkin kuvvetler kuramını ortaya attı ve eylemsizlik momentinin tanımını yaptı. 1669'da devinim miktarının ve etkin kuvvetin korunumunu gözleyerek darbe probleminin çözümünü buldu.1663'te Londra Royal Society'ye kabul edildi. 1665'te Jean-Baptiste Colbert tarafından Fransa'ya çağrıldı. 1665-1681 yılları arasında Fransa'da Kraliyet Kütüphanesi 'nde çalıştı. Hollanda'ya döndükten sonra odak uzaklığı çok fazla olan mercekler yaptı. Robert Hooke tarafından 1665'te ortaya atılan ışığın dalga teorisini geliştirdi. Huygens'e göre bütün birincil dalga cepheleri, içlerinde sonsuz sayıda dalgalanmalar barındırıyorlardı. Bunun sayesinde optiğin temel yasalarını kanıtladı.

Optik konusundaki çalışmalarını 1690'da basılan Trait'de la Lumiere (Işığın İzi) adlı kitabında topladı. Bu eserinde ışığın, çok ince esnek bir maddesel ortam olan esirin titreşimlerinden oluştuğunu öne süren bir dalga kuramını benimsedi. Sözkonusu titreşimler bu ortamda madde taşınımı olmaksızın sonlu bir hızda yayılıyordu.Huygens kendi adını alan temel ilkeyi ortaya attı. Bu ilkeye göre; her titreşim merkezi küresel bir dalga yayar ve bu dalganın her noktası da aynı etkiyi gösteren bir titreşim kaynağıdır. Huygens; yansıma, kırılım ve hatta Erasmus Bartholin'in 1669'da bulduğu İzlanda spatındaki çift kırılımı da aynı şekilde açıkladı. Ama parçacık kuramları karşısında, ışığın doğrusal yayılımı üzerine doyurucu bir açıklama getiremedi. Bu başarısızlığın nedenlerinden biri, Fresnel'e kadar gelen fizikçilerin çoğu gibi, titreşimlerin boyuna yayıldığına inanmasıydı. Huygens'te dalga kavramı hala belirsizdi.Daha sonra doğa felsefesine değinen Discours sur la cause de la pesanteur (Yerçekiminin Nedeni Üzerine Konuşma) adlı eseri geldi. Bu eserde, ışığın dalgalı yapıda olduğunu kabul etti ve bu hipotezden gerçek bir fizik teorisi kurdu. Birçok alanı kapsayan önemli çalışmaları arasında en önemlisi Denis Papin ile birlikte ilk ateşli, içten yanmalı makineyi yapmasıdır. Huygens, pratik gerçekleştirmelere ulaşamamış da olsa, bu gibi makinelerin sanayide değerli bir enerji kaynağı olabileceğini öngördü. 1695'te doğduğu yerde yalnızlık ve hastalık içinde öldü. Ölümünden sonra, 1703'te yayımlanan Commentarii de Formandis Poliendisque Vitris ad Telescopia adlı eserinde mercekleri yontma sanatını açıkladı ve yeni metotlar öne sürdü.Bütün eserleri, Gravesande tarafından Christiani Hugenii Zulchemi, dum Viveret Zeleni Toparchae, Opera Varia (1724) adıyla toplandı ve Opera Reliqua ile tamamlanarak 1728'de yayımlandı.

Huygens modern bilimsel anlayışın ilk gerçek temsilcisidir.Bunun iki açıdan başardı: özellikle, deneyci bir fizikçi olarak daha çok yaratıcısı olduğu aletleri kullanıp niteliği yüksek gözlemler yaptı; kuramcı olarak ise değişik sarkaç tiplerinin devinimlerini hesaplayıp, cisimlerin boşlukta düşüşü yasasını Galilei'den daha doyurucu biçimde formülleştirdi ve mekanikte, optikte ve doğa bilimlerinde matematik kullanımını büyük ölçüde geliştirdi.