Üçgende Alan Bağıntıları

Etiketler : alan formülleri çember çevrel çember dik üçgen eşkenar üçgen geometri matematik sinüs fonksiyonu üçgen yükseklik

Üçgenin alanı için yüksekliğin bilinmesi gerekebilir. Bir üçgenin herhangi bir köşesinden, karşı kenarına indirilen dikmenin karşı kenarı kestiği nokta ile köşeyi birleştiren doğru parçasına, üçgenin o kenarına ait yüksekliği denir. Üçgenin yükseklikleri, üçgenin çeşidine göre( dar açılı, dik açılı veya geniş açılı) üçgenin iç bölgesinde, üçgenin dış bölgesinde veya ügenin üzerinde kesişebilir. Geniş açılı üçgenlerde yüksekliğin, tabanın uzantısından çizileceğini unutmayınız.

Üçgenin Alanı: Herhangi bir üçgenin alanı, taban kenarı ile o tabana inen yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Her bir kenar için o kenara ait yüksekliğin çizilmesi gerekir. Ortak yüksekliğe sahip üçgenlerin alanları oranı, taban kenarlarının oranına eşit olur. Dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısıdır. Dik kenarlar aynı zamanda dik üçgenin yükseklikleri olduğu için, taban ve tabana ait yükseklik çarpımının yarısı şeklindeki formülün özel hali olur.

Eşkenar Üçgenin Alanı: Eşkenar üçgende alan hesabı yapılırken yükseklik 30-60-90 özel üçgeninden üçgenin bir kenarı cinsinden  yazılabilir. Eşkenar üçgenin alanı, üçgenin bir kenarının  karesinin (√3)/4 katıdır. Yani eşkenar üçgenin bir kenarına a dersek, bu eşkenar üçgenin alanı Alan=a2 (√3)/4 şeklinde alan hesaplanır. 

Yarı Çevre Alan Formülü (Heron Formülü): Üç kenar uzunluğu da verilen bir üçgenin alanı, Heron formülü denen, yarı çevre (u) formülü yardımıyla hesaplanır. Öncelikle üçgenin çevresinin yarısı hesaplanır ve u-formülü  kullanılır. Formülün ispatı ve örnek alan uygulamaları ile ilgili ayrıntılı yazımızı aşağıdaki bağlantıdan okuyabilirsiniz. (Bkz. Heron Alan Formülü)  Alan=√u.(u-a).(u-b).(u-c) 

Sinüs Alan Formülü: Bir üçgende herhangi iki kenar ve bunların arasındaki açının ölçüsü bilinirse, sinüs alan bağıntısı kullanılarak alan hesaplanabilir. Bu durumda, üçgenin alanı için verilen kenarların ve aralarındaki açının sinüsü çarpılarak yarısı alınır.

Çevrel Çember Alan Formülü: Bir üçgende üçgenin çevrel çemberinin yarıçap uzunluğu (R) ve üçgenin kenar uzunlukları biliniyorsa, alan hesabı yapılabilir. Bunun için üçgenin üç kenarının çarpım sonucu, üçgenin çevrel çemberin yarıçapının dört katına bölünür. Alan= a.b.c/4R Sinüs alan bağıntısı ve çevrel çember alan formüllerinin ispatı ve uygulamaları ile ilgili ayrıntılı yazımızı aşağıdaki bağlantıdan okuyabilirsiniz.  (Bkz. Üçgende Çevrel Çember Alan Frmülü)

İçteğet Çember Alan Formülü: Bir üçgenin iç teğet çemberinin yarıçap uzunluğu (r) ve üçgenin çevre uzunluğunun yarısı (u) biliniyorsa, üçgenin alanı hesaplanabilir. Bu üçgenin alanı, Alan=u.r olur.

İç teğet çemberi verilen üçgenin alanı ile ilgili alan formülü ve uygulamaları ile ilgili ayrıntılı yazımızı aşağıdaki bağlantıdan okuyabilirsiniz (Bkz. İçteğet Çember Alan Formülü)

Dik üçgende içteğet çember alan formülü: Bir dik üçgenin içteğet çemberi çizilmiş ve bu üçgende hipotenüsün içteğet çemberin yarıçapı ile dik olarak ayrılan iki parçanın çarpımı dik üçgenin alanını verir.

Dışteğet Çember Alan Formülü: Bir üçgenin dış teğet çemberinin yarıçap uzunluğu (r) ve üçgenin çevre uzunluğunun yarısı (u) biliniyorsa, üçgenin alanı hesaplanabilir. Bu durumda üçgenin alanı, yarı çevreden bir kenar uzunluğu çıkarılıp o kenara dışarıdan teğet olan çemberin yarıçap uzunluğu ile çarpılır. 

Koordinatları bilinen üçgen alanı: Köşe koordinatları verilen bir üçgenin alanı hesaplanırken, vektör bileşenlerinden yararlanarak alan hesabı yapılır. Determinant konusunda yer alan Sarrus kuralı hesabında oluğu gibi çapraz çarpım yapılarak alan hesabı yapılır.

Köşe koordinatları verilen bir üçgenin alanı ile ilgili alan formülü ve uygulamaları ile ilgili ayrıntılı yazımızı aşağıdaki bağlantıdan okuyabilirsiniz. (Bkz. Koordinatlar Bilinen Üçgenin Alanı)