Hiperbolün Analitik İncelenmesi

Etiketler :
Sabit iki noktaya olan uzaklıkları farkı sabit olan noktaların geometrik yerine hiperbol adı verilir. Bu sabit noktalara da hiperbolün odak noktaları denir. Odakları birleştiren doğru parçasının tam orta noktasına hiperbolün merkezi denir. Hiperbolün odakları analitik düzlemde x ya da y ekseni üzerinde olabilir. Merkezi orijin olup odakları x ya da y ekseni üzerinde bulunan hiperbole merkezil hiperbol veya standart hiperbol adı verilir.
Hiperbolün odakları arasında kalan mesafeye asal eksen denir ve uzunluğu yukarıdaki şekilde de gösterildiği gibi 2a olur.Hiperbol birbirine simetrik iki eğri parçasından oluşan noktaların kümesi olarak ifade edilirse bu eğrilere hiperbolün kolları denir. Hiperbolün odaklarını birleştiren doğru parçasını, eğrinin kestiği nokta A hiperbolün köşe noktasıdır.
Hiperbolün kollarına değmeyecek şekilde hiperbolün merkezinden çizilen doğrulara da hiperbolün asimptotları denir.
Hiperbolün odak noktası koordinato F(c,0) olarak isimlendirilirse hiperbolün köşe koordinatları A(a,0) ve B(0,b) koordinatları ile oluşacak üçgenden pisagor bağıntısı yadımıyla verilmeyen koordinat rahatlıkla bulunabilir.
Hiperbol denklemi, aslında hiperbolün kolları üzerinde yer alan herhangi bir P noktasının hiperbolün odaklarına olan uzaklıkları farkının iki nokta arası uzaklık formülü ile bulunması ile ortaya çıkmış bir denklemden ibarettir. 
***Bir hiperbolde herhangi bir odağın asimptotlardan birine olan uzaklığı yedek eksenin yarısı kadardır. Yani odağın asimptotlardan birine uzaklığı; b uzunluğu kadar olur. Bu kavramın doğruluğu, odak noktası bulunduktan sonra odağın asipmtot denklemine uzaklığını 'bir noktanın bir doğruya uzaklığı formülü' ile de hesaplanarak görülebilir.

*** Bir hiperbolde herhangi bir odaktan çizilen dik kiriş uzunluğuna hiperbolün parametresi denir. ve bu parametre 2p ile gösterilir. Odak noktasının koordinatlarından apsis değeri hiperbol denkleminde yerine yazıldığında hiperbolün parametre değerinin y koordinatı bulunur. y koordinatları arasındaki mesafe de hiperbolün parametre değerini verir.

Koordinat sisteminde asal eksen uzunluğu 2a ve yedek eksen uzunluğu 2b olan bir hiperbol için hiperbol ile aynı merkeze sahip ve yarıçap uzunluğu a kadar olan çembere hiperbolün asal çemberi denir. Aynı şekilde hiperbol ile aynı merkeze sahip ve yarıçap uzunluğu b kadar olan çembere de hiperbolün yedek çemberi denir. 
Asimptotları 1.açıortay ve 2.açıortay doğrusu olan a ve b değerleri birbirine eşit olan hiperbole ikizkenar hiperbol denir. Hiperbol denkleminde x ve y katsayıları birbirine eşit olarak verilen hiperbol çeşidi ikizkenar hiperboldür.
Bir doğru ile bir hiperbolün biribine göre durumları incelenirken doğru denkleminde y cinsinden bulunan ifade hiperbol denkleminde y yerine yazılır. ortaya çıkan yeni ikici dereceden denklemde diskriminant değeri hesaplanır.Diskriminant değeri 0 ise doğru ile hiperbol tek noktada kesişir yani birbirlerine teğet olurlar. Diskriminant değeri 0'dan daha büyük ise o zaman doğru ile hiperbol iki farklı noktada kesişir. Diskriminant değeri 0'dan daha küçük ise o zaman doğru ile hiperbol iki farklı noktada kesişmez. Yani hiçbir ortak noktaları yoktur. Kesim noktalarına bakılarak da diskriminant değeri bulunmadan doğru ve hiperbol durumları incelenebilir.

  
Bir hiperbolün dış merkezliği; hiperbol üzerinde alınan rastgele bir noktanın hiperbolün doğrultmanına olan uzaklığının o noktanın odağa olan uzaklığına bölümü ile bulunur.
Hiperbolün Ötelenmesi: Hiperbol daima orijinde olmak zorunda değildir. Asal ekseni x ve y eksenine paralel biçimde ötelenmiş merkezil olmayan hiperboller de olabilir. Bu tür hiperbol denklemlerinde ötelenme miktarı hangi eksende ise denklemde belirtilerek yeniden hiperbol denklemi oluşturulur.

4 yorum:

  1. Teşekkürler anlaması kolaylaştırılmış bir metin olmuş.grafiklerle desteklenmiş olmasının anlamama çok büyük katkısı oldu.

    YanıtlaSil
  2. Bir hiperbolde, bir odağın, değişken bir teğet üstündeki dikayağının asal çember üstünde bulunduğunu gösterinizyardımcxı olabilirmisiniz

    YanıtlaSil
  3. Allah razı olsun

    YanıtlaSil

Fayda vermeyen ilimden Allah'a sığınırım. “Allah'ım; bana öğrettiklerinle beni faydalandır, bana fayda sağlayacak ilimleri öğret ve ilmimi ziyadeleştir."

İlim; amel etmek ve başkalarıyla paylaşmak içindir. Niyetimiz hayır, akıbetimiz hayır olur inşallah. Dua eder, dualarınızı beklerim...

Aşağıdaki Yazılar İlginizi Çekebilir!!!

  • Geometrik dizi ve özellikleri13.12.2023 - 0 YorumArdışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilere geometrik dizi denir. Sabit orana ise ortak çarpan denir. Genellikle "r" harfi ile gösterilir.Sonlu bir geometrik dizide baştan ve sondan eşit uzaklıktaki terimlerin çarpımı birbirine eşit olur.…
  • Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonları24.06.2018 - 0 YorumTrigonometrik Fonksiyonlar, merkezi orijin ve yarıçapı 1 br olan birim çember üzerinde gösterilerek buradaki geometri ve analitik bilgileri yardımıyla tanımlanır. Birim çember üzerinde alınan herhangi bir noktanın orijinde oluşturduğu merkezil…
  • Sanma ey hâce ki senden zerü sim isterler19.08.2012 - 0 Yorum Sanma ey hâce ki senden zer ü sim isterler / Yevme lâ yenfeu’de kalb-i selim isterler (Bağdatlı Ruhi) (Günümüz Türkçesi haliyle şöyle söylenebilir: Sanma ey hoca senden altın ve gümüş isteyeceklerini hiç bir şeyin fayda vermeyeceği bir…
  • Yahya en-Nakkaş et-Tuleytuli  (Ez-Zerkale)19.04.2013 - 0 Yorumİbn Zerkale (ö. 493-1100) Endülüslü astronom ve matematikçidir. Ebû İshâk İbrâhîm b. Yahya en-Nakkâş et-Tuleytûlî el-Kurtubî. Hayatı hakkında çok az şey bilinmektedir. XI. yüzyılın ilk çeyreğinde muhtemelen Tuleytula'da (Toledo) doğmuştur.…
  • Açı ölçü Birimleri03.02.2019 - 0 YorumAçı ölçü birimi olarak genellikle günlük hayatta derece birimi kullanılır. Dereceden başka açı ölçü birimi olarak özellikle trigonometri alanında sıklıkla radyan birimi kullanılır. Grad da bir başka ölçü birimidir. Haritacılık ve askeri alanlar gibi…
  • Ankara İlahiyat Diploma Alırken (2017)02.05.2017 - 6 Yorum Allah'a şükürler olsun ki bir heyecan eşliğinde başladığımız, ilahiyat hayatımızı da başarıyla noktaladık. (2014 yılında Ankara İlahiyat fakültesinden mezun oldum.) Epey zaman sonra da diploma almak için Ankara'ya geldim. Başımdan geçenleri bir…
  • Armstrong Sayısı (Narsistik Sayılar)19.02.2023 - 0 YorumArmstrong Sayısı Nedir? Armstrong sayıları, ismini Amerikalı matematikçi Michael F. Armstrong’dan almıştır. Armstrong, 1969 yılında bir matematik yarışmasında bu tür sayıları tanımlamıştır. Bu çeşit sayılar aslında daha öncesinden bilinmektedir.…
  • İslam Ahlak Felsefesi Konu Özeti14.01.2014 - 0 Yorumİlahiyat lisans Tamamlama 1. Sınıf Ders Özetleri  ilitam kitaplarından yararlanarak özetleme yapılmıştır. Özetleme işleminde Ankara İlitam'ın uzaktan eğitim yayınları esas alınmıştır. öğrencilerimize faydalı olması amacıyla burada…