Küre yüzeyinde katı açı kavramı

Steradyan: kürenin merkezini tepe olarak alan ve küre yüzeyinde bu kürenin yarıçapına eşit bir kare kadar alan ayıran uzay açısına eşittir. Boyutsuz bir büyüklük olup, 1995 yılından itibaren türetilmiş steradyan (sr) birim olarak tanımlanmıştır. Steradyen eskiden bir SI tamamlayıcı birimi iken bu kategori, 1995 yılında Uluslararası ölçü birimleri standartlarına (SI: Système International (d'unités)) içeriğinden kaldırılarak, steradian SI türetilmiş bir birim olarak kabul edilmiştir. Steradyan (Katı açı), genelde Omega (Ω) sembolü ile gösterilir. Standart kısaltması "sr" olarak verilmiştir. 

Tek boyutlu bir uzayda sadece çizgilerden bahsedilir. İki boyutlu uzayda ise bir yüzey ve alan meydana gelir. Açıyı bu nedenle iki boyutlu bir düzlemde tanımlayabiliriz. Üç boyutta ise artık yüzeyin yanında hacimden de söz edilebilir. Üç boyutlu bir uzayda, herhangi bir açı tanımlanırken, "Steradyan" (katı açı-solid angle) şeklinde bir türetilmiş bir birim kullanılır. "Birim kürenin üzerinde 1 birim kare alanın oluşturduğu açı bir steradyan'dır" şeklinde kabaca bir tanımı yapılabilir. Kısaca küre merkezinden görünen konik açıya "steradyan" denir.  

Bir kürenin alanı, 4.π.r² iken bu alanı steradyan birimi ile ifade etmek gerekirse yarıçaptan bağımsız olarak sadece 4π (sr) olarak söyleyebiliriz. Bu durumda bütün kürelerde 1 steradyanlık katı açının küre yüzeyine olan ilişkisi; 1 sr= Kürenin yüzey alanı (4.π.r²) / 4.π olur ki bu da küre yüzeyinin alanının yaklaşık %8'ine karşılık gelir.  A küre yüzeyinin alanı olmak üzere, 1sr=A/4.π = %7,9577.A olur. (İki boyutta bir açı maksimum 360° derece veya 2π radyan olurken, üç boyutta maximum 4π steradyan olur. Güncel hayatta çok kullanılmayan bir kavram olan steradyan (katı açı) için söylenen bu rakamlar, bizlere alışık olduğumuz bir his vermeyebilir. Mesela dümdüz bir arazide bulunduğumuz noktaya göre gökyüzü, yarım küre biçiminde olduğu için 2π steradyandır. İçinde bulunduğumuz dikdörtgenler prizması şeklindeki bir odanın tavanı ile duvarlarının birleştiği bir köşe noktasına göre, odanın diğer duvarlarının toplam katı açısı; π/2 steradyandır. Yani bu katı açı, köşe merkezli hayali kürenin sekizde birini örter, bu nedenle bu katı açının ölçüsü 4π/8  bölümünden π/2 steradyan bulunur. 

Düzlem üzerindeki açılar ile küre yüzeyindeki katı açılar (steradyan) arasında da alan hesaplamalarıyla bağıntılar bulunabilir. Geometrik şekillerin katı açıları bu bağıntılar yardımıyla kolayca hesaplanabilir. Mesela kürede bir noktadan küre merkezinin tam karşısındaki bir daireye baktığımızı varsayalım. Bu problem bir koninin tepe noktasına göre, tabanının katı açısının sorulaması ile eş değer anlamdadır.  Buna göre merkeze göre katı açısını hesaplamak istediğimiz dairenin küre üzerine izdüşümü olan "küre kapağının" alanını hesaplayıp, yarıçap olan R'nin karesine bölerek katı açının ölçüsünü bulabiliriz. Bu küre kapağın alanı, kürenin ekvator çemberinin çevresinin (R-h) ile çarpımıdır. (Bkz. Kürede Alan ve Hacim Bağıntıları)

Steradyan ölçü birimi, özellikle fizikte yaygın olarak kullanılır. Işık hesaplamalarında bu katı açı (steradyan) birimi kullanılır. Mesela bir gökcisminden gelen ışığın şiddetini ölçmek için watt/sr kullanılabilir. Anten mühendisleri antenin ışımasını ölçmek için bu steradyan kavramı kullanır. 

Saat problemlerinde açı özellikleri

Saat, zamanı ölçmeye yarayan alettir. İki farklı zaman arasındaki farkı insanlar tarafından oluşturulan ölçüler dahilinde ölçmeyi sağlar. Mısırlılar, Güneş'in her gün belirli bir düzende doğup battığını keşfetmişti. Bundan yararlanarak güneş saatini icat etmeyi başardılar. Bu saat çeşidinde dik duran bir cismin güneşin geliş açısına göre oluşturduğu gölge boyuna bakılarak saat hesaplanıyordu. Ancak güneş saati, geceleri güneş olmadığından çalışamıyordu. Bunun üzerine Antik Mısırlılar kum saati ve su saatini icat ettiler. Su saatinin temel prensibi, suyun düzenli bir şekilde bir kaba veya bir kaptan dışarı akması üzerine kuruludur. Güneş saatinden sonra, muhtemelen MÖ 16. yüzyılda yine Mısırlılar veya Babilliler tarafından kullanılmaya başlandığı kabul edilir. (Bkz. Saatlerin Tarihsel Gelişim Süreci)

Saat Problemleri:Bir analog saat üzerinde, 360 dereceyi 12 parçaya böldüğümüzde, her iki sayı arası için, 30 derece düşer. Dolayısıyla akrep bir saatte 30 derecelik yol alır. Yelkovan ise, bir saatte 360 derecelik yol alır. Yani 60 dakikada 360 derecelik yol alırsa, yelkovan 1 dakikada 6 derecelik yol alır. Saat problemleri ile ilgili aşağıda iki örnek soru çözümü verilmiştir.

Saatin tarihsel gelişim süreci

Saat, zamanı ölçmeye yarayan alettir. Saat, iki değişik zaman arasındaki farkın, insanlar tarafından oluşturulan ölçüler dahilinde ölçülmesini sağlayan alettir. Mısırlılar, Güneş'in her gün belirli bir düzende doğup battığını keşfetmiştir. Bundan yararlanarak güneş saatini icat etmeyi başardılar. Bu güneş saat çeşidinde, dik duran bir cismin güneşin geliş açısına göre oluşturduğu gölge boyuna bakılarak saat hesaplanıyordu. Ancak güneş saati, geceleri güneş olmadığından çalışmıyordu. Bunun üzerine Antik Mısırlılar, kum saati ve su saatini icat ettiler. Su ve kum saatlerinin temel prensibi, suyun/kumun düzenli bir şekilde bir kaba veya bir kaptan dışarı akması üzerine kuruludur. Bu saat çeşitlerinin güneş saatinden sonra, muhtemelen MÖ 16. yüzyılda yine Mısırlılar veya Babilliler tarafından kullanılmaya başlandığı kabul edilir.  Hint ve Çin coğrafyalarında da güneş saatleriyle birlikte su ve kum saatleri de erken dönemlerde kullanılmıştır.

Zamanı göstermek için altıncı yüzyıldan itibaren, Çin’de bir başka saat çeşidi olarak "işaretli mumlar" da zamanı göstermek için kullanılmıştır. Astronomik ve astrolojik saat yapımı da, Çin’de M.S. 200 ila 1300 yılları arasında geliştirilmiştir. Erken dönemde Çinli astronomlar, astronomik olayları gösteren çeşitli mekanizmaları kullanmıştır. Gök bilimci Su Sung ve ortakları 1088 yılında ayrıntılı bir su saati inşa ettiler. İslam Dünyasında saat hususunda, Mısır ve Çin uygarlıklarının kendilerinden önceki dönemlere ait ilerlemelerinin geliştirilerek kullanıldığı, tarihi vesikalarda tespit edilmiştir. Abbasi halifesi Harun Reşid (763-809) zamanında, Kudüs'te Hristiyan hacılara iyi davranılması konusunda istekte bulunan Büyük Karl'a gönderdiği çeşitli hediyeler arasında bulunan bir saat, o zamanın Avrupa'sında büyük ilgi uyandırmıştır. Harun Reşid'in hediyesi bu saatin çanı çalınca, kralın huzurundakiler, içine şeytan girmiş diye korkarak kaçıştıkları rivayet edilmiştir.[1] Frenkler’i şaşkına çeviren bu saat karşısında hayrete düşen Kral'ın yanındakiler, sihirli sandıkları saati kırmaya çalışmalarına rağmen İmparator orada olanları engellemiştir. [2] 

Cebir ilminin kurucusu kabul edilen matematikçi Muhammed b. Musâ el-Harezmî (ö. 232/847) namaz vakitlerini belirlemeye yarayan pergel gibi zamanı gösteren bir alet yaptığı da kaynaklarda zikredilmiştir. İsmâil b. Rezzâz el-Cezerî’nin (1136-1206) "Kitâb fî Maʿrifeti’l-ḥiyeli’l-hendesiyye" adlı eserinde ele alınan günümüzdeki çalar saatlere benzer uyarıcı bir su saatinden bahsedilmiştir. El-Cezeri'nin eseri 'nin Kitâbü’l-Ḥiyel’de çok ilginç dört adet mum saati tanıtılmaktadır. Yemen’deki Resûlîler Hanedanı’nın sultanı el-Melikü’l-Eşref Ömer b. Yusuf (694-696/1295-1296)'un “Muinu’t-Tullâb alâ Ameli’l-Usturlab” eserinde Kahire’nin enlem derecesi için imal ettiği güneş saati çizimi de, ilk dönem saatlerine İslam dünyasının örnekleri olarak gösterilebilir.[3] Mısır ve Çin coğrafyalarında ilk örneklerine rastlanılan bu tür saatlerin, Ortaçağ İslâm dünyasında da sıklıkla kullanıldığı bu misallerden anlaşılmaktadır. 

Mekanik saatler, eski su saatlerinin yerini almış ve ilk saat mekanizması 1275 yılında icat edilmiştir. 1300’lerin başında, İtalya’da üç adet mekanik saat inşa edild Bir saat mekanizmasının ilk çizimi 1364 yılında Jacopo di Dondi tarafından yapılmıştır. 14. yüzyılın ortalarından sonlarına kadar geniş mekanik saatler birkaç kentin kulelerinde ortaya çıkmaya başlamıştır. Alman kilit ustası Peter Henlien, tarihte bilinen ilk kurmalı saati 1524 yılında üretmiştir. 16. yüzyılda, daha önce saat yapımında kullanılan demir yerine, prinç, bronz ve gümüş kullanılmaya başlandı. 1540 yılında reformcu John Calvin'in insanları takı kullanmaktan men etmesiyle dönemim kuyumcuları geçimini sağlamak için başka bir zanaat öğrenmek zorunda kalmışlar ve bu nedenle İsviçre saat endüstrisi doğmuştur. Galileo, sarkaçlı saat hareketini 1582 tarihinde Huygens'ten daha önce incelemiş olmasına rağmen sarkaç saat tasarımı patentini alamamıştır. Christiaan Huygens, 1656’da “doğal” bir salınım periyoduna sahip bir mekanizma tarafından düzenlenen ilk sarkaçlı saati yapmıştır. Huygens’in sarkaçlı saatinde günde 1 dakikadan daha az bir hata veriyordu ve daha sonraki düzeltmeler sayesinde saatin hatalarını günde 10 saniyeye düştü. 1770 yılında ise ilk kez kendi kendine sarmalı mekanizma Abraham-Louis Perrelet tarafından icat edildi. 

İslâm âleminde mekanik saatlerle ilgilenen ilk kişi 1579 yılında İstanbul Rasathânesi’ni kuran, Takıyyüddin er-Râsıd’dır. Takıyyüddin saatçilik üzerine "el-Kevâkibü’d-dürriyye fî vażʿi’l-benkâmâti’d-devriyye" isimli bir kitap yazmıştır. Ayrıca onun "Âlât-ı Raṣadiyye" adlı gökbilim aletleriyle ilgili kitabında da bir astronomik saatin nasıl gerçekleştirileceği anlatılır. [4] 18. yüzyılın sonlarından itibaren sayıları gittikçe artan büyük İstanbul camilerinin yanlarındaki muvakkithânelere namaz saatlerini belirlemede yardımcı olması için büyük boy sarkaçlı saatler konulmuştur. Osmanlılar’da II. Abdülhamid döneminde (1876-1909) gündeme gelen saat kulelerinin yapımındaki Avrupa'ya nazaran bu gecikmenin sebebi, zaman kavramının namaz vakitlerine sıkı sıkıya bağlı olmasından kaynaklanmaktadır. 

İlk kol saati, 1812 yılında Napoli Kraliçesi için üretilmişti. Ancak kol saatlerin ilk ortaya çıkış tarihi 1570’li yıllara kadar dayansa da, o zamanlar kol saati olarak tanımlanmamıştır. 1884 yılına kadar Greenwich’teki bir konferansta küresel zaman ölçümü konusunda anlaşmaya varıldı ve Greenwich Ortalama Saati’ni uluslararası standart olarak kabul edildi. Zamanın ölçümü ve bunun hesaplanması için kullanılan araçların gelişimi sürekli devam etmektedir. En son seviyede bulunan atom saatleri henüz kişisel kullanım için uygun görülmemekle birlikte teknolojinin gelişimi sayesinde kullandığımız kol saatleri veya akıllı cihazlar atom saatleri ile iletişime geçerek en doğru zamanı gösterebilmektedir.

Helenistik dönemde (m.ö. 330-30) günümüzde olduğu gibi gün yirmi dört eşit saate bölünmeye başlanmıştır. Ancak Helenistik dönemdeki zaman algısı günümüz dünyasından farklı olarak, günün öğleyin zeval vakti veya gece yarısı başlatılması ile (zevâlî, alafranga) akşam güneş batarken başlatılması (gurûbî / ezânî, alaturka) gibi iki farklı uygulamaya yol açmıştır. İslam Dünyasında buna benzer biçimde günümüzdeki anlayıştan farklı olarak Hicrî kamerî takvimde, aylar hilâl doğarken yani güneş ufukta batarken başlar. Yeni ayla birlikte yeni bir gün başlar ve güneşin alçalarak üst kenarının ufuk çizgisine teğet hale geldiği anda; saat 12.00 yahut 00.00 olduğu kabul edilir. Dolayısıyla başlayan gece geçmiş güne değil, bu yeni güne ait sayılır. Bu sebeple hicrî takvimdeki mübarek sayılan cuma geceleri milâdî takvimin perşembe, kandil ve bayram geceleri de yine bir gün öncenin gecesine rastlar. Bu şekildeki Hicri Takvim ve saat uygulaması; Cumhuriyetin ilanı ile birlikte Türkiye'de, Avrupa ile saat ve tarih uyuşmazlığı gerekçe edilerek, Türkiye Cumhuriyeti Dahiliye Nezâreti’nin yayımladığı Nisan 1912 tarihli tâmimle alafranga ve alaturka saat sistemlerinin bir arada kullanılmasının ortaya çıkardığı sorunlar dile getirildikten sonra, tüm resmî dairelerde alafranga saatin kullanılması, 26 Aralık 1925 tarih ve 697 sayılı kanun ile zorunlu kılınmıştır. “Türkiye Cumhuriyeti dahilinde gün gece yarısından başlar ve saatler 0.00’dan 24.00’e kadar sayılır”; 2. maddesinde, “İzmit civarından geçen, Greenwich’e göre 30. derecede bulunan boylam dairesi bütün Türkiye Cumhuriyeti saatleri için esastır.” maddesi ile bu kanun yürürlüğe girmiştir.

KAYNAKÇA:

[1] Hitti, 298; Muhammed Hudari, Tarih, I/133; G. Labon, Hadâretü’l-Arab, çev.: Adil Zuaytır, Kahire 1948, 215; G. Sarton, Introduction of the History of Science, London 1962, c. I, s. 527. 

[2] Muhammed Hudari, c. I, s. 133

[3] Fuat Sezgin, c. III, s. 85.

[4] Atilla Bir- Mustafa Kaçar, “Saat”, DİA, İstanbul 2008, c. XXXV, s. 323.

Açı ölçü Birimleri

Açı ölçü birimi olarak genellikle günlük hayatta derece birimi kullanılır. Dereceden başka açı ölçü birimi olarak özellikle trigonometri alanında sıklıkla radyan birimi kullanılır. Grad da bir başka ölçü birimidir. Haritacılık ve askeri alanlar gibi daha hassas ölçüm gerektiren yerlerde sıklıkla grad birimine ihtiyaç duyulur. Küre yüzeyinde de açıları ifade edebilmek için, steradyan (katı açı) birimi tanımlanmıştır.

Derece; bir çemberin çevre yay uzunluğu, 360 eş parçaya ayrıldığında bu parçalardan her birinin merkezle oluşturduğu açının ölçüsü, 1 derece olarak ifade edilir.

1° derece 60' dakikadır. 1' dakika da 60'' saniyedir. 1° derece=60 ''dakika ve 1° derece=3600'' saniye olur. Derece için ° sembolü, dakika için ' (tek tırnak)  sembolü ve saniye için de '' (çift Tırnak) sembolü kullanılır.

Radyan: Radyan, bir dairede yarıçap uzunluğundaki yay parçasını gören merkez açıya eşit açı ölçme birimidir. 1 radyan 180°/π ya da yaklaşık 57,2958° derecedir (57°17′45″). Örneğin, yarıçap değeri 1 m, olan bir çemberde 1 m uzunlukta yayı gören merkez açı 1 radyan'dır. Radyan, açısal ölçünün standart birimidir ve matematiğin birçok alanında kullanılır. 

Bir radyan, bir dairenin yarıçapına eşit uzunlukta olan bir yayın, bu dairenin merkezinde oluşturduğu açıdır. Bir açının radyan olarak ölçümü, sayısal olarak bir birim dairenin karşılık gelen bir yayının uzunluğuna eşittir. Daha genel olarak, böyle bir açının radyan cinsinden büyüklüğü, yay uzunluğunun dairenin yarıçapına olan oranına eşittir. Radyan ölçü birimini ifade etmek için, genelde herhangi bir kısaltma kullanılmamasına rağmen, bazı kitaplarda kısaltma olarak  "Rad" kelimesi kullanıldığı da gözlenmiştir. Hiçbir sembol olmadığında bir açının biriminin radyan olduğu varsayılır. Eğer açıyı derece olarak ifade etmek istiyorsak derece birimi için ° sembolü kullanmamız gerekir. Bu nedenle Matematiğin birçok dalında açılar için, evrensel olarak derece yerine radyan cinsinden ölçülerin kullanılması tercih edilir.   

Matematik, fizik, ve elektrik mühendisliği gibi birçok bilim dalında açı ölçme birimi olarak, sıklıkla radyan birimi kullanılır. Bir çemberin tam bir devri (360° derecelik tam bir tur) 2π radyan’dır. Radyan, açısal ölçümler gerektiğinde, fizikte de yaygın olarak kullanılır. Örneğin açısal hız, tipik olarak 1 saniyedeki radyan birimi (rad/s) cinsinden ölçülür. Bir açının derecesine karşı radyan ölçü kavramının kullanımına, literatürde 1714 yılında Roger Cotes ve 1873 yılında James Thomson tarafından yazılan makalelerde rastlanılmıştır. 

Matematiksel teoremlerin daha zarif bir şekilde formüle edilebilmesi için radyan ölçü birimi, dereceye göre daha doğal bir yapıya sahiptir. Radyan ölçü birimi kullanıldığında trigonometrik fonksiyonların kuralları, trigonometrik fonksiyonların türevi ve trigonometrik fonksiyonların integrali daha doğal hale gelmiş olur. Radyan (radian) Uluslararası ölçü birimleri standartlarına (SI: Système International (d'unités)) göre açı ölçmek için kullanılan standart bir ölçü birimidir. Bu standarda göre, açı ölçü birimi radyan türetilmiş bir birimdir.  Radyan, uzunluğun uzunluğa oranı olduğu için boyutsuz bir birimdir.

Grad, derece ve radyan gibi bir açı ölçü birimidir. Bir çemberin 400 ei parçaya bölünmesi ile elde edilen parçalardan her birine 1 Grad adı verilir. Grad ölçüsünde, tam açı 400 grad olarak tanımlanır. Grad açı ölçü birimi, derece birimi gibi dakika ve saniye alt birimlerine sahiptir. Derece ölçü biriminde 60 saniye 1 dakika ederken, grad ölçü biriminde 100 "grad saniyesi (cc)", bir grad dakikasına (c) karşılık gelir. Aynı şekilde, 100 "grad dakikası" da bir "grad açısına" karşılık gelir. 

1g=100 grad dakikası (c) ve 1 grad dakikası (c)= 100 grad saniyesi olur. (cc) [1g = 100c ve 1c = 100cc] şeklinde kısaltma birimi olarak küçük c harfi ile g harfi kullanılır. 

Haritacılıkta ve askeri alanlarda ölçü birimi olarak grad kullanılır. Grad ölçü birimi, derece ölçü birimine göre bir çemberi daha fazla parçaya ayırdığı için daha detaylı ölçüm işlerinde kullanılır.Haritaların oluşturulmasında ve topografya çizimlerinde yüksek hassasiyet gerekli olduğundan grad açı ölçü biriminin kullanılması tercih edilmiştir. 

Ölçü birimleri kendi aralarında birbirine dönüştürülebilir. 360 derecelik tam açının, grad olarak değeri 400 graddır. Derece ile Grad arasında G/D=10/9 ilişkisi vardır.Radyan ve derece arasında çember çevresinden kaynaklı aşağıdaki bağıntı yazılabilir.

Saat Problemleri: Bir analog saat üzerinde, 360 dereceyi 12 parçaya böldüğümüzde, her iki sayı arası için, 30 derece düşer. Dolayısıyla akrep bir saatte 30 derecelik yol alır. Yelkovan ise, bir saatte 360 derecelik yol alır. Yani 60 dakikada 360 derecelik yol alırsa, yelkovan 1 dakikada 6 derecelik yol alır. Saat problemleri ile ilgili aşağıda iki örnek soru çözümü verilmiştir. (Bkz. Saat Problemleri)

Steradyan: kürenin merkezini tepe olarak alan ve küre yüzeyinde bu kürenin yarıçapına eşit bir kare kadar alan ayıran uzay açısına eşittir. Boyutsuz bir büyüklük olup, 1995 yılından itibaren türetilmiş steradyan (sr) birim olarak tanımlanmıştır. Steradyen eskiden bir SI tamamlayıcı birimi iken bu kategori, 1995 yılında Uluslararası ölçü birimleri standartlarına (SI: Système International (d'unités)) içeriğinden kaldırılarak, steradian SI türetilmiş bir birim olarak kabul edilmiştir. Steradyan (Katı açı), genelde Omega (Ω) sembolü ile gösterilir. Standart kısaltması "sr" olarak verilmiştir. 

Tek boyutlu bir uzayda sadece çizgilerden bahsedilir. İki boyutlu uzayda ise bir yüzey ve alan meydana gelir. Açıyı bu nedenle iki boyutlu bir düzlemde tanımlayabiliriz. Üç boyutta ise artık yüzeyin yanında hacimden de söz edilebilir. Üç boyutlu bir uzayda, herhangi bir açı tanımlanırken, "Steradyan" (katı açı-solid angle) şeklinde bir türetilmiş bir birim kullanılır. "Birim kürenin üzerinde 1 birim kare alanın oluşturduğu açı bir steradyan'dır" şeklinde kabaca bir tanımı yapılabilir. Kısaca küre merkezinden görünen konik açıya "steradyan" denir.  

Bir kürenin alanı, 4.π.r² iken bu alanı steradyan birimi ile ifade etmek gerekirse yarıçaptan bağımsız olarak sadece 4π (sr) olarak söyleyebiliriz. Bu durumda bütün kürelerde 1 steradyanlık katı açının küre yüzeyine olan ilişkisi; 1 sr= Kürenin yüzey alanı (4.π.r²) / 4.π olur ki bu da küre yüzeyinin alanının yaklaşık %8'ine karşılık gelir.  A küre yüzeyinin alanı olmak üzere, 1sr=A/4.π = %7,9577.A olur. (İki boyutta bir açı maksimum 360° derece veya 2π radyan olurken, üç boyutta maximum 4π steradyan olur. Güncel hayatta çok kullanılmayan bir kavram olan steradyan (katı açı) için söylenen bu rakamlar, bizlere alışık olduğumuz bir his vermeyebilir. Mesela dümdüz bir arazide bulunduğumuz noktaya göre gökyüzü, yarım küre biçiminde olduğu için 2π steradyandır. İçinde bulunduğumuz dikdörtgenler prizması şeklindeki bir odanın tavanı ile duvarlarının birleştiği bir köşe noktasına göre, odanın diğer duvarlarının toplam katı açısı; π/2 steradyandır. Yani bu katı açı, köşe merkezli hayali kürenin sekizde birini örter, bu nedenle bu katı açının ölçüsü 4π/8  bölümünden π/2 steradyan bulunur. 

Düzlem üzerindeki açılar ile küre yüzeyindeki katı açılar (steradyan) arasında da alan hesaplamalarıyla bağıntılar bulunabilir. Geometrik şekillerin katı açıları bu bağıntılar yardımıyla kolayca hesaplanabilir. Mesela kürede bir noktadan küre merkezinin tam karşısındaki bir daireye baktığımızı varsayalım. Bu problem bir koninin tepe noktasına göre, tabanının katı açısının sorulaması ile eş değer anlamdadır.  Buna göre merkeze göre katı açısını hesaplamak istediğimiz dairenin küre üzerine izdüşümü olan "küre kapağının" alanını hesaplayıp, yarıçap olan R'nin karesine bölerek katı açının ölçüsünü bulabiliriz. Bu küre kapağın alanı, kürenin ekvator çemberinin çevresinin (R-h) ile çarpımıdır. (Bkz. Kürede Alan ve Hacim Bağıntıları)

Steradyan ölçü birimi, özellikle fizikte yaygın olarak kullanılır. Işık hesaplamalarında bu katı açı (steradyan) birimi kullanılır. Mesela bir gökcisminden gelen ışığın şiddetini ölçmek için watt/sr kullanılabilir. Anten mühendisleri antenin ışımasını ölçmek için bu steradyan kavramı kullanır. 

Nasreddin Hoca ve üç papaz hikayesi

Rivayet odur ki, Sultan Alaaddin zamanında üç Hristiyan papaz, Anadolu’yu dolaşarak halkın kafasını karıştırmayı kendilerine görev edinmişler... Gittikleri yerlerde o yörenin en âlim kişisini bulup, papazlardan her biri o alim kişiye cevabı bilinmeyen bir soru soruyorlar ve âlimi halk nezdinde küçük düşürüyorlarmış... Gel zaman git zaman bu üç papazın şöhreti halk arasında yayılmaya başlamış. Halk çaresizlik içinde kalarak, bu papazların karşılarına çıkaracakları ve onların sorduklarına cevap verecek kimseleri bulamaz olmuşlar. Köy halkları, papazların bu durumları karşısında çaresizlik içinde aciz kalmaya başlamışlar...

Köyde yaşayan bir aklı evvelin gönlüne Nasreddin Hoca düşmüş, kendi kendine "bu papazların sorularına cevap verse verse bizim Nasreddin Hoca verir" diyerek Nasreddin Hoca’yı köye çağırmış. Hoca eşeğini yedeğine almış olarak  halkın toplanmış olduğu köy meydanına gelmiş ve onu çağıran kişiden yaşanan olayları dinlemiş ve papazların karşısına çıkıp sorularına cevap vermeye karar vermiş. Köylüler, papazları tekrar köy meydanına sorular sormaları için çağırmışlar. Nareddin Hocayı karşılarında eşeği ile gören papazlar, Hocayı alaya alıp küçümsemişler ve şöyle demişler: 

“Eğer sen bizim söylediklerimize tam olarak cevap verirsen, biz senin dinine girer Müslüman oluruz, aksi halde sen bizim dinimize girersin tamam mı?” demişler. Hoca sakalını sıvazlayıp gevrek gevrek gülmüş ve; “Artık size cevap vermek lazım oldu.” demiş. Bu cevap üzerine papazlar sırasıyla Hoca'ya sorularını sormaya başlamışlar.

Birinci papaz, Nasreddin Hoca’ya bir adım daha yaklaşarak, “Söyle bakalım, dünyanın ortası neresidir?” der. Hoca, o gevrek gülüşünü arttırarak; “Ben de cidden bir soru soracağınızı zannetmiştim. Bunu bilmeyecek ne var; Benim karakaçanın sağ ön ayağının bastığı yerdir.” der... Papaz aptallaşmış, kem küm etmiş ve son bir gayretle; “Burası olduğu ne malum?” demiş. Nasreddin Hoca, papaz daha lafını bitirmeden sözü papazın ağzına tıkamış; “İhtimal vermiyorsan ölçüp bak, işte ben buradayım. Ben ve Karakaçan’ım seni burada bekliyoruz!..” Birinci papaz, durum karşısında çaresiz geri adım atmak zorunda kalmış.

İkinci papaz, ilkinin boynu bükük geri adım atması üzerine, hemen meydana gelerek sormuş “Söyle bakalım Hoca, gökte ne kadar yıldız vardır?” Nasreddin Hoca yine gülmüş, eşeğin sırtını sıvazlayarak; “Benim Karakaçan’ımın sırtında ne kadar kıl varsa, gökte de o kadar yıldız var...” demiş.

Papaz “Nereden belli Hoca saydın mı?” diye itiraz etmiş etmesine ama Nasreddin Hoca: “İnanmazsan otur say istersen.” demiş. Papaz bunun üzerine “Hoca! hiç eşeğin kılları sayılır mı?” diyerek itirazını sürdürmüş bunun üzerine Nasreddin Hoca: “Ee, madem eşeğin kılları sayılmaz, gökteki yıldızların adedi hiç sayılır mı?” diyerek cevabı yapıştırıvermiş. İkinci papaz da Nasreddin Hoca’nın son sözü ile savunmasını kaybedip boynunu bükerek geri çekilmiş.

Üçüncü papaz, diğer ikisinin yenilgisinden sonra ortaya atılarak sakalını sıvazlayıp: “Buraya kadar iyi idare ettin Hoca Efendi. Bu son soruya da cevap verebilirsen biz sözümüzden geri dönmeyiz. Senin dinine gireceğiz, ama şayet cevap veremezsen de sen bizim dinimize gireceksin kabul mü?” demiş.

Nasreddin Hoca: “De hele, sor şu güvendiğin soruyu...” demiş. Bunun üzerine son papaz sorusunu sormuş:  “Peki söyle bakalım benim sakalımda kaç kıl var?” Nasreddin Hoca, hemen yanındaki eşeği Karakaçan’ın kuyruğunu kavrayarak; “Şu bizim Karakaçan’ın kuyruğunda kaç kıl varsa, senin sakalında da o kadar kıl var.” diye cevap vermiş. Papaz: “Amma yaptın Hoca, nereden belli aynı olduğu?” diyerek itiraz etmiş. Nasredin Hoca: “Eğer bana itimadın yoksa, gel bir kıl senin sakalından, bir kıl da bizim eşeğin kuyruğundan koparalım; denk gelmezse o zaman konuşalım...” demiş.

Üçüncü papaz bu teklif karşısında mecburen gerilemek durumunda kalmış ki zaten maksatları sorularına cevap almak değil, karşılarına diktikleri âlimleri âciz bırakmakmış. Ancak sonunda da kendi kazdıkları kuyuya kendileri düşmüşler ve Nasreddin Hoca'nın hazır cevaplığı karşısında geri adım atmak zorunda kalmışlar. Yaptıkları davranıştan dolayı köy halkından da özür dileyerek, verdikleri sözü tutup müslüman olmuşlar. 

Nasreddin Hoca, Sivrihisar yöresinde 1208 yıllarında doğmuştur. Babası Hortu köyü imamı Abdullah Efendi, annesi aynı köyden Sıdıka Hatun’dur. Nasreddin Hoca, ilk derslerini babasından almıştır. Önce Sivrihisar’da medrese eğitimi gören Nasreddin Hoca, babasının vefatı üzerine Hortu’ya dönerek köyün imamı olmuştur. Daha sonra Mutasavvıf Seyyid Muhammed Hayrânî’nin talebesi olmuş ve hocasının Akşehir’e göçmüştür. Nasreddin Hoca, 1237’de Akşehir’e yerleşerek, Seyyid Mahmud Hayrânî ve Seyyid Hacı İbrahim’in derslerini dinlemiştir. Bir rivayete göre medresede ders okutmuş ve kadılık görevinde de bulunmuştur. Bu görevlerinden dolayı kendisine Nasuriddin Hâce adı verilmiş, sonradan bu ad Nasreddin Hoca şekline dönüşmüştür. 

Nasreddin Hoca, sağlam bir İslam inancına, köklü bir dinî bilgiye  ve ciddi bir ahlakî yapıya sahiptir. Tasavvuf kültürüne de vakıf olan Nasreddin Hoca, bir çok tarihî yazma eserlerde evliyalar arasında zikredilmiştir. Nasreddin Hoca Evliya Çelebi’nin Seyahatnamesi’nde “hakîm ulu bir can” olarak tanıtılır. Nasreddin Hoca ile ilgili en eski kaynak olan Ebu’l-Hayr Rûmî’nin Saltuknâmesi’nde (M. 1495) Sarı Saltuk, Nasreddin Hocaya bir hediye göndererek kendisinden dua talebinde bulunur. Nasreddin Hoca, Miladi 1284 tarihinde Akşehir’de vefat etmiştir. 

Nasreddin Hoca, Anadolu kökenli bir karakter olmasına karşın fıkraları Doğu Türkistan'dan Macaristan'a, Güney Sibirya'dan Kuzey Afrika'ya Türkçe konuşulan ve Osmanlı İmparatorluğu hakimiyeti altında bulunan bölgelerde anlatılarak zaman içerisinde farklı ülkelerde farklı diller konuşan insanlarca da benimsenmiştir. Günümüzde Türklerin siyasi ve kültürel etkisine bağlı olarak Bulgarlar, Çinliler, Ermeniler, Gürcüler, İtalyanlar, Ruslar aralarında bulunduğu Türk olmayan toplumlarda da Nasreddin Hoca fıkralarının benzerleri yer almaktadır. Bu toplumlarda zikredilen fıkralar, yazıldıkları çevrenin ulusal ve bölgesel özellikleri gereğince kısmen değişmiş, temalar ve hikâyenin kahramanı yeni biçimler alarak düzenlenmiştir.