Eski Uygarlıklarda Trigonometri

Etiketler : matematik matematik tarihi trigonometri trigonometri tarihi

Hint ve Çinlilerde Trigonometri: İçinde bulunduğumuz yüzyılın bilimsel araştırmaları, Hint Dünyasının, özellikle 6., 7., 9. ve 12. yüzyıllarda matematik ve astronomide bilimsel bakımdan üstün düzeyde olduklarını ortaya çıkarmıştır. Eserleriyle adları zamanımıza kadar gelebilen Hint bilginleri, bilim tarihinde kendilerini maalesef etkin bir biçimde gösterememişlerdir. Bunlardan; belirttiğimiz yüzyıllar içinde yaşamış olan, Hint matematikçilerinden; Brahmagupta (598 -660), Aryahatha (6. yüzyıl), Mahavira (9. yüzyıl) ve Bhaskara'nın (1114-1158) adlarını belirtebiliriz. Kaynaklar; Hintli matematikçilerin çalışmalarından özellikle trigonometri konusundaki bilgilerinden hareketle İslam matematikçilerinin zamanın bilim dili olan Sanskritçe ve Pevlevice'den yapılan tercümeler yoluyla, trigonometri bilgilerini müspet şekilde zenginleştirmiş olduklarını ve   8. yüzyıl ortalarından itibaren Mezopotamya temelli bilgileri de ilave ederek trigonometri alanında geniş bir bilgi birikimini İslam Dünyasına intikal etmiş olduğunu  göstermektedir.

Mısırlılarda Trigonometri: Mısır matematiğinde seked ve sek kelimelerinin, bir açının kotanjantı gibi bir anlam ifade etmesinden hareket ederek, trigonometrinin başlangıcını eski Mısırlılara kadar götürmenin gerektiğini bazı araştırmacılar belirtmiş olsa da bu tam olarak doğru bir değerlendirme olmaz. Mısırlılardan önce eski Çin ve Hint bilim dünyasında da trigonometri bilgilerinin bazılarının kullanıldığı bilinmektedir. Bu konuda Aydın Sayılı "Mısırlılar ve Mezopotamyalılar'da Matematik, Astronomi ve Tıp" adlı eserinde şunları yazar: Mısır'da seked dışında, bu konuda herhangi bir gelişmeye şahit olmuyoruz. Seked'e benzeyen ya da onunla aynı olan bir kavramla "Mezopotamya Matematğinde" de karşılaşılmakta olduğu ve trigonometrinin başlangıcını Mısırlılara götürmek isabetli düşünce sayılmaz. "Mısır Geometrisinin", "Doğru Geometrisi" olarak vasıf taşıdığını belirterek, müşterik Gandz'a atfen de Mısır'da "Açı Geometrisinin" mevcut olmadığını belirtir. 

Yunanlılarda Trigonometri: "Herhangi bir üçgende, dik kenarların kareleri toplamı, hipotenüsün karesine eşittir" şeklinde bugünkü dünyada "Pisagor teoremi" olarak bilinen temel bir teorem vardır. Bu teoremin adı Pisagor teoremi olarak bilinmesine rağmen gerçekte bu teoremin varlığının Pisagor'dan ortalama 2000 yıl kadar önceki medeniyetlerden Eski Mısır ile Mezopotamyalılar tarafından Babil çağında bilindiği araştırmalarla ortay çıkmıştır. Mısırlılar teoremin uygulama esaslarını geometrik çalışmalarda özellikle Nil nehri taşkınlıkları ve arazi alan ölçümlerinde kullanmış olduğu yapılan çalışmalarda belirtilmiştir. Pisagor'un Mısır gezilerinden bu teoremi öğrenip eserinde yazdığı da ifade edilmiştir. Ayrıca Mezopotamyalılar, bu teoremin hem özel hem de genel şeklini çalışmalarında biliyorlardı. Bilim tarihi eserleri; Thales'in, Pisagor ve Öklid'in, eski Mısır ve Babil yörelerini uzun yıllar dolaşmış olduklarını belirttikleri gibi, bu bilginlerin temel matematik bilgilerini, Mısır ve Babil' den elde etmiş olduklarını da ayrıca belirtir. 

Mezopotamyada Trigonometri: Mezopotamyalılarda, temelinde geometri bulunan, bugünkü trigonometri cetvellerinin ilkel bir örneğiyle karşılaşılmakta olduğunu, ve Hipparchos'un trigonometri çalışmalarının, ilkel başlangıcının "Mezopotamya Matematiğine" kadar geri gitmesinin mümkün sayılabileceğini belirtmektedir. Aydın Sayılı, yukarda adı geçen eserinde bu konuda geniş bilgi verdikten sonra, "Trigonometri tarihinin, Embriyolojik Menşeinin Mezopotamyalılara kadar geri gittiğini ve Mezopotamyalılardan, Hipparchos'un bu yönden etkilenmiş olduklarını ileri sürebilir" şeklinde ifade etmiştir.

İslam Dünyasında Trigonometri: VIII. yüzyılda, Yakın ve Orta Doğu ülkelerinden bilim adamları, eski Yunan ve Hint matematikçiler ile astronomların eserleri ile tanıştılar. Önceki eserler daha sonra Orta çağ İslam dünyasında, çoğunlukla Fars ve Arap kökenli Müslüman matematikçiler tarafından çevrildi ve genişletildi. 8. yüzyılda İbrahim el-Fezari ve Yakub bin Tarık gibi büyük alimler bu eserleri Arapçaya çevirmekle uğraştılar. Sonra onlar ve takipçileri bu teoriler üzerinde aktif olarak yorum yapmaya ve kendi fikirleri ile yeni teoriler geliştirmeye başladılar. Bunlar, Helenistik matematikte olduğu gibi Menelaus teoreminin uygulanmasına, trigonometri konusunu tam dörtgene bağımlılıktan kurtaran çok sayıda teoremi dile getirdi. E. S. Kennedy'ye göre, İslam matematiğindeki bu gelişmeden sonra, "ilk gerçek trigonometri, ancak o zaman çalışmanın nesnesinin küresel veya düzlemsel üçgen, kenarları ve açıları haline gelmesi anlamında ortaya çıktı." Küresel üçgenlerle ilgilenen yöntemler, özellikle küresel problemlerle başa çıkmak için "Menelaus teoremini" geliştiren İskenderiyeli Menelaus'un yöntemi de biliniyordu. Zamanlamaların Ay'ın evreleri tarafından belirlendiği İslami takvimde kutsal günleri gözlemlemek için, astronomlar başlangıçta Menelaus'un yöntemini kullanarak Ayın ve Yıldızların yerini hesapladılar, ancak bu yöntemin kullanışsız ve zor olduğu kanıtlandı. Kesişen iki dik üçgen oluşturmayı içeriyordu; Menelaus'un teoremini uygulayarak altı kenardan birini çözmek mümkündü, ancak yalnızca diğer beş kenar biliniyorsa bu mümkün oluyordu. (Bkz. Menelaus teoremi ve ispatı) . Örneğin, Güneşin yüksekliğinden zamanı söylemek için Menelaus teoreminin tekrarlanan uygulamaları gerekliydi. Ortaçağ İslami gökbilimcileri, daha basit bir trigonometrik yöntem bulmak için çalışarak Hint siddhantalarına benzer astronomik incelemeleri "zic" tablolarını ürettiler. 

8.-9. yüzyıllar dönemindeki Zic'lerin karşılaştırılması, trigonometrik bilginin hızlı gelişimini göstermektedir. Metotları astronomi ve jeodezi problemlerini çözmek için kullanılan küresel trigonometri, İslam ülkelerinden bilim adamlarının özel ilgi konusuydu. Günün saatinin doğru belirlenmesi. Gök cisimlerinin gelecekteki konumlarının, yükselme ve batma anlarının, Güneş ve Ay tutulmalarının hesaplanması. Mevcut konumun coğrafi koordinatlarını bulma. Bilinen coğrafi koordinatlara sahip şehirler arasındaki mesafenin hesaplanması. Belirli bir yerden Mekke'ye (kıble) yönün belirlenmesi. 

MS 9. yüzyılın başlarında, Muhammed ibn Musa al-Khvarizmi doğru sinüs ve kosinüs tablolarını ve ilk teğetler (tanjant) tablosunu üretti. Aynı zamanda küresel trigonometri alanında da öncü bir isimdir. MS 830'da Habash al-Hasib al-Marvazi ilk kotanjant tablosunu üretti. Muhammed ibn Cabir el-Harrani el-Battani (Albatenius) (MS 853-929) sekant ve kosekantın karşılıklı işlevlerini keşfettiler ve 1° ile 90° arasındaki her derece için ilk kosekant tablosunu oluşturdular.

MS 10. yüzyılda, Ebū al-Vefa 'al-Buzcani'nin çalışmasında, Müslüman matematikçiler altı trigonometrik fonksiyonun hepsini tam olarak kullanıyorlardı. Ebu el-Vefa, 0,25°'lik artışlarla sinüs tablolarına, 8 ondalık doğruluk hanesine ve doğru tanjant değer tablolarına çalışmalarında yer vermiştir. Ayrıca sin toplam ve fark formülünü geliştirmiştir. Endülüs'lü El-Ceyyani (989 -1079), "küresel trigonometri hakkındaki ilk bilimsel çalışma" olarak kabul edilen "The book of unknown arcs of a sphere" adlı eseri yazdı. Bu eser, "dik açılı üçgenler için formüller, genel sinüs yasası ve küresel üçgenin kutupsal üçgen aracılığıyla çözümünü" içerir. Bu çalışma daha sonra "Avrupa matematiği üzerinde güçlü bir etkiye" sahipti ve onun "oranların sayı olarak tanımlanması" ve "tüm kenarlar bilinmediğinde küresel bir üçgeni çözme yöntemi" muhtemelen Regiomontanus'u etkilemiştir. Nirengi yöntemi ilk olarak, 11. yüzyılın başlarında Ebu Reyhan Biruni tarafından tanımlandığı gibi, ölçme ve İslami coğrafya gibi pratik kullanımlara uygulayan Müslüman matematikçiler tarafından geliştirilmiştir. Biruni, Dünya'nın büyüklüğünü ve çeşitli yerler arasındaki mesafeleri ölçmek için nirengi tekniklerini kendisi tanıttı. 11. yüzyılın sonlarında Ömer Hayyam (1048-1131), trigonometrik tablolarda interpolasyonla bulunan yaklaşık sayısal çözümleri kullanarak kübik denklemleri çözdü. 13. yüzyılda, Nasîrüddin Tûsî trigonometriyi astronomiden bağımsız matematiksel bir disiplin olarak ele alan ilk kişiydi ve küresel trigonometriyi bugünkü haline getirdi. Küresel trigonometride dik açılı üçgenin altı farklı durumunu listeledi ve "On the Sector Figure" adlı eserinde düzlem ve küresel üçgenler için sinüs yasasını belirtti, küresel üçgenler için tanjant yasasını keşfetti ve bu yasaların her ikisi için de kanıtlar sağladı. Tusi, trigonometriyi kendi başına bir matematik disiplini olarak tanımlanmıştır. 15. yüzyılda, Gıyaseddin Cemşid, uygun bir biçiminde Kosinüs yasası için ilk açık ifadesi sağladı. Fransa'da, kosinüs yasası hala Al-Kashi teoremi olarak anılmaktadır. Ayrıca, her 1°'nin her 1/60'ına eklenecek farklarla her 1° argüman için dört altmışlık basamağa (8 ondalık basamağa eşdeğer) kadar sinüs fonksiyonunun değerlerinin trigonometrik tablolarını verdi. Uluğ Bey aynı zamanda 8 ondalık basamağa kadar doğru sinüs ve tanjant tabloları da verir.  

Avrupa'da Trigonometri: 1342'de Gersonides olarak bilinen Levi ben Gershon, özellikle düzlem üçgenler için sinüs yasasını kanıtlayan ve beş rakamlı sinüs tabloları veren "On Sines, Chords and Arcs" adlı eseri yazdı.[56] Basitleştirilmiş bir trigonometrik tablo olan "toleta de marteloio", 14-15. yüzyıllar boyunca Akdeniz'deki denizciler tarafından seyrüsefer rotalarını hesaplamak için kullanıldı. 1295 yılında Mayorka'dan Ramon Llull tarafından tanımlanmış ve Venedikli kaptan Andrea Bianco'nun 1436 atlasında düzenlenmiştir. Regiomontanus, belki de trigonometriyi 1464'te yazdığı De triangulis omnimodis’te farklı bir matematik disiplini olarak ele alan ilk matematikçiydi ve daha sonraki Tabulae directionum’unda, isimsiz olsa da tanjant fonksiyonunu içeriyordu. Copernicus'un öğrencisi Georg Joachim Rheticus'un Opus palatinum de triangulis’i, muhtemelen Avrupa'da trigonometrik fonksiyonları çember yerine dik üçgenler şeklinde tanımlayan ilk kişiydi ve altı trigonometrik fonksiyonun tümü için tablolar; bu çalışma Rheticus'un öğrencisi Valentin Otho tarafından 1596'da tamamlandı. 17. yüzyılda, Isaac Newton ve James Stirling trigonometrik fonksiyonlar için genel Newton-Stirling interpolasyon formülünü geliştirdiler. 18. yüzyılda, Leonhard Euler'in Introductio in analysin infinitorum (1748) adlı eserinde, Avrupa'da trigonometrik fonksiyonların analitik yaklaşımını oluşturmaktan, sonsuz serilerini türetmekten ve "Euler formülünü" geliştirdi. Euler, neredeyse modern kısaltmaların tamamını eserlerinde sin., cos., tan., cot., sec., ve cosec kullandı. Bundan önce Roger Cotes, Harmonia Mensurarum'da (1722) sinüs türevini hesaplamıştır. Ayrıca 18. yüzyılda Brook Taylor genel Taylor serisini tanımladı ve altı trigonometrik fonksiyonun tümü için serilere genişleme ve tahminleri verdi. 17. yüzyılda James Gregory'nin ve 18. yüzyılda Colin Maclaurin'in eserleri de trigonometrik serilerin gelişiminde çok etkili oldu. 

Johann Müller 8. ile 15. yüzyıl Doğu bilim dünyasının ünlü yazma eserleri ile zengin bir kataloga sahip olan başta Vatikan ile diğer Avrupa kütüphanelerinden elde ettikleri, doğu bilim dünyasından intikal etmiş matematik ve astronomi ile ilgili eserlerin bir kısmını incelemiş ve zamanının bilim dili olan Latince'ye çevirmişlerdir. Bu çalışmaların sonunda De Triangulis Amnimodis Libri V. adlı bir kitap yayınlamışlardır. Bu kitap, yukarıda sözünü ettiğimiz düzlem ve küresel trigonometri konularını kapsayan Latince bir eserdir. Johann Müller'in bu eseri de, ölümünden 57 yıl sonra, yani 1533 yılında Nurnberg'te yayınlanmıştır.Bu durumda, Johann Müller'in, El - Battani'den taklid edilmiş denilen eser, kendisinin ölümünden sonra gelen çağdaşları bile, 57 yıl anlamakta güçlük çekmiş oldukları anlaşılmaktadır. El - Battani ve Ebu'l Vefa'dan 500 yıl kadar sonra, trigonometri ile ilgili bilgiler; Avrupa'da, Johann Müller ve çağdaşlarının eserleri ile 1533 yılından itibaren görülmeye ve yaygınlaşmaya başladığı açık olarak ortaya çıkmaktadır.

8. ile 15.yüzyıl Türk - İslam Dünyası matematik ve astronomi bilginlerinin hazırladıkları eserlerin hepsinde, bugünkü trigonometrinin temel bilgileri vardı. Bu durumda; bu devir Türk - İslam Dünyası'nın ünlü matematik ve astronomi bilginlerinden, Sabit bin Kurra, (Bkz. Sabit b. Kurra), Ebu Kamil Şuca, (Bkz. Ebu Kamil), Biruni (Bkz. Biruni), Ebu'l Vefa (Bkz. Ebul Vefa), Ali Kuşçu (Bkz. Ali Kuşçu) Uluğ Bey, (Bkz. Uluğ Bey ve astronomi) ile çağdaşlarına ait ilgili eserlerin asılları ya da tercümeleri, Johann Müller ve çağdaşları ile kendisinden önce ve sonra gelen Avrupalı matematikçilerin gözlerinden kaçmış olması düşünülemez. (Bkz. İslam Dünyasında Trigonometri)

KAYNAKÇA:

Matematik Tarihi, Lütfi Göker, Ankara, 1981.

Aydın Sayılı'nın Mısırlılarda ve Mezopotamyalılarda Matematik, Astronomi ve Tıp Adlı Eserinin Muhtasarı, Mübahat Türker Küyel, 1996.

Greek Trigonometry and Mensuration". A History of Mathematics. John Wiley & Sons. 1991 

Kennedy, E. S. (1969). "The History of Trigonometry" (1996)

Ptolemy's Almagest. Princeton University Press. 1998.

The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton, 2007.