Doğrunun Analitiği "Doğrunun Denklemi"

Eğim, dikey mesafenin yatay mesafeye oranlanması ile bulunur. Eğim, ondalık kesir veya yüzde olarak ifade edilir.Bir doğruda, eğim hesaplanırken doğrunun eksenle yaptığı açının tanjantına bakılır. Tanjant, bir dik üçgende karşı kenar uzunluğunu komşu kenar uzunluğuna bölmektir. Denklemi y = ax + b biçiminde olan bir doğrunun eğimi, x'in kat sayısına yani a değerine eşittir. Eğer doğru denklemi bu şekilde verilmezse ya denklemde eşitliğin bir tarafında y tek başına bırakılarak yazılmaya çalışır ya da x'in katsayısı y nin katsayısına oranlanır başına bir "-"yazılır.

Örnek: y = 2x + 5 doğru denkleminin eğimi 2'dir.
Örnek: y=-15x+4 doğru denkleminin eğimi -15 tir.
Örnek: 3x+4y=5 denkleminin eğimi -3/4 tür.
Örnek: -3x+5y=8 denkleminin eğimi 3/5 tür.
Örnek: 6x-3y=1 doğrusunun eğimi 6/3=2 olur.

Yukarıdaki şekillerde d doğrusunun farklı durumlarına karşılık oluşan (alfa) eğim açısı gösterilmiştir. Herhangi bir doğru verildiğinde o doğrunun x ekseni ile yaptığı açı biliniyorsa doğrunun eğimi kolayca bulunabilir. Açının tanjantı doğrunun eğimidir.

Örnek: Doğru x ekseni ile 45 derecelik açı yapıyorsa eğimi tan45=1 olur. Eğer doğru x ekseni ile 135 derecelik açı yapıyorsa doğrunun eğimi tan135=-1 olur.

x eksenine paralel doğruların eğimleri 0'dır.

y eksenine paralel doğruların eğimleri ise doğru x eksenine dik olduğu için açısal olarak tanjant fonksiyonu burada tanımlanamadığından doğruların eğimlerinden söz edilemez. Eğim=Tanımsızdır.

Örnek: y=3 doğrusunun eğimi x eksenine tam paralel bir doğru olduğu için herhangi bir açı oluşmayacaktır bu nedenle de bu doğrunun eğimi "0" olacaktır. x=5 doğrusunun eğimi yoktur.

Paralel Doğrular; Hiçbir ortak noktası olmayan doğrulara paralel doğrular denir. Paralel doğrular bir düzlem üzerinde hiçbir zaman kesişmezler. Paralel doğruların eğimleri eşittir. 

Dik Doğrular; İki doğrunun keşisimleri varsa ve bu doğruların aralarındaki açı 90 derece ise bu doğrular birbirine diktir. Dik olan doğruların eğimleri çarpımı (-1)'dir. Yeni birinin eğimi dik olan diğer doğrunun eğiminin çarpma işlemine göre tersinin negatif işaretlisidir. 

Doğruların denklemi 

Analitik düzlemde, eğimi ve üzerinden geçtiği bir noktası bilinen bir doğrunun denklemi yazılabilir. Doğrunun eğimi verilmeden sadece iki noktası verilmişse yine doğrunun denklemi bulunabilir. İki noktası verilen bir doğrunun denklemi için öncelikle verilen iki noktadan geçen doğrunun eğimi hesaplanır. İki noktası verilen doğrunun eğimi; noktaların ordinatları farkının apsisleri farkına bölümü ile hesaplanır. Eğim bulunduktan sonra doğrunun denklemi aşağıda gösterildiği gibi yazılır.

Doğrunun denkleminin veren bu ifade; aslında doğru üzerinde yer alan iki farklı noktanın arasındaki eğim hesabından yola çıkılarak elde edilmiş bir denklemdir. Bu denklem bulunurken doğru üzerinde yer alan her iki noktanın arasında kalan eğimler eşit olması kuralı kullanılır.

Sadece iki noktası verilen doğruların denklemi yazılırken öncelikle iki noktadan doğrunun eğimi bulunur. Daha sonra yukarıdaki bir nokta ve doğrunun eğimi yardımıyla doğrunun denklemi yazılır.

Doğruların Grafikleri:

Doğruların grafiklerini çizmek için x ve y eksenlerini kestikleri noktalar bulunur. x eksenini kestiği nokta için y = 0 ve y eksenini kestiği nokta için x = 0 değerleri alınır. Eğer bir doğrunun eksenleri kestiği x ve y değerleri 0 çıkıyorsa bu doğru orijinden geçer. Bu durumda doğrunun koordinat düzlemindeki 1.veya 2.bölgeye olan uzantısının bulunması gerekecektir. Bunu belirlemek için de x yerine farklı bir nokta alınarak y değeri bulunur bu noktanın bulunduğu bölge ile orijinden doğru grafiği çizilir.

Ayrıntılı grafik çizme işlemleri için doğru grafiği çizme yazımızı okuyabilirsiniz. (Bkz. Doğruların Grafik Çizimi)

Öteleme, Süsleme ve Örüntü Oluşturma

Öteleme nedir?

Bir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde (sağ, sol, yukarı, aşağı) yaptığı kayma hareketi ötelemedir. Öteleme hareketi sonunda nesnenin geldiği yer, görüntüsüdür. Ötelemede şeklin duruşu, biçimi ve boyutları aynı kalır. Örneğin şeklimiz 3 birim yukarı, 4 birim sağa kaydırılacak ama yönü değişmeyecek sadece yer değiştirmiş olacaktır.

Örüntü nedir?

Belirli bir kurala göre art arda gelen eş veya benzer şekillerin oluşturduğu topluluğa örüntü denir. Farklı şekillerin biraraya gelerek oluşturdukları yeni şekildir. Örneğin, kağıttan birbirine eş bir sürü üçgen şeklini kestiniz. Bunlarla bulmaca gibi balık, kuş, ev, halı, kare, dikdörtgen gibi farklı desenlerde yeni şekiller meydana getirebilirsiniz. İşte bu oluşturduğunuz yeni şekillere birbiri ile anlamlı bir kural oluşturduğu takdirde örüntü adı verilir. Yalnız buradaki kestiğiniz üçgenlerin birbirine eş ve benzer olması gerekir. 

Süsleme nedir?

Bir düzlemin boşluk kalmadan ve şekiller üst üste gelmeden örüntü oluşturacak şekilde döşenmesidir. Süsleme yapılırken düzgün olan ya da düzgün olmayan çokgenler kullanılabilir. Çokgenler arasında boşluk kalmamalıdır. Üçgenle, kareyle, dikdörtgenle, düzgün altıgenle, düzgün sekizgenle süsleme yapılabilir. Arada boşluklar kalan cisimlerle süsleme motifleri oluşturulamaz. Şekiller öteleme hareketi ile döşenirse ötelemeli süsleme yapılmış olur. Örneğin okuldaki fayansların dizilişi, halı desenleri gibi.

Süsleme yapılabilmesi için, her bir köşede oluşan açıların ölçülerinin toplamı 360 derece olmalıdır.

Süslemenin Kodu Nasıl Bulunur?

Bir süslemede, her köşedeki düzgün çokgensel bölgelerin kenar sayıları süslemenin kodunu verir. Burada verilen süslemeli şeklin ortadaki köşelerinden birini belirleriz ve bu köşe etrafında oluşan şekillerin kenar sayısı ve kaç tane olduğuna göre kod yazarız.

Karelerden oluşan bir süslemede kod: 4,4,4,4 

(köşe etrafında 4 kenarlı 4 tane kare vardır anlamına gelir.)

Eşkenar üçgenlerden oluşan bir süslemede kod:3,3,3,3,3,3 

(köşe etrafında 3 kenarlı 6 tane üçgen vardır anlamına gelir.)

Düzgün altıgenlerden oluşan bir süslemede kod: 6,6,6 

(köşe etrafında 6 kenarlı 3 tane altıgen vardır anlamına gelir.)

Farklı çokgenler bir arada kullanılarak da süslemeler elde edilebilir. Bu durumda kullanılan çokgenlere göre süsleme kodu değişir. Hangi çokgenler kullanılmış ise bunların kenar sayılarına göre süsleme kodu sırayla yazılır.

Bir Cismin İzdüşüm özellikleri

İzdüşüm: Bir cismin, bir düzlem üzerine,ışınların etkiyle düşürülen görüntüsüne, o cismin izdüşümü, görüntünün elde edilebilmesi için uygulanan metoda ise izdüşüm metodu denir.Sinemada perdeye yansıyan film,güneşli bir günde yolda yürürken meydana gelen gölgemiz birer izdüşüm kabul edilir. İzdüşüm metodunun uygulamaları cisimlerin biçimlerinin teknik ve meslek resmi yönünden anlatılmasına hizmet eder. 

Geometrik cisimlerin Simetrisi

Sözlük anlamı olarak simetri: [Simetri, ilki, belirsiz bir mükemmelik veya güzeliği yansıtan, bir muntazamlık veya estetik olarak hoşa giden bir orantılılık ve denge duygusu olarak; İkincisi kesin ve iyi tanımlanmış biçemsel sistemin kurallarına (geometri, fizik vb.) göre gösterilebilen veya ispat edilebilen bir denge ve orantılılık kavramı veya "kendine benzeşme örneği"' olarak tanımlanır. Simetri sözü aynı zamanda düzen, estetik ve güzellik kavramlarını da çağrıştırmaktadır. Kainatta pek çok yerde simetrik düzene sahip pek çok ayrıntıyı görebiliriz. Doğa yasalarında, canlı formlarında, yer yüzü şekillerinde, bitkilerde, sonradan insan eliyle üretilmiş eşyalarda, bilim ve sanat gibi pek çok alanda simetriye sahip şekil ve kavramlarla karşılaşmak mümkündür. Simetri, esasında bir denge unsurudur. Simetri hakkında yazılmış bir makalede şu ifadeler dikkat çekicidir. 

"Sonuç olarak söyleyebiliriz ki, simetri bir denge meselesi olmakla, mevcut olmanın temel taşlarından, vazgeçilmez şartlarından biridir. Nereye göz atarsak, mutlaka simetriyle, simetrinin bir tezahür formuyla karşılaşırız. İster göklerde uçan kuşlar, ister deryalarda yüzen balıklar, isterse de ip üzerinde oyun çıkaran cambaz olsun; hepsinin statik-donuk veya dinamik-aktif denge-simetrisinin izlerini taşıdığına tanık oluruz. “Anladığım kadarıyla, fizikçilerin tüm apriori hükümlerinin kaynağı simetridir”. Bu sözler, simetri alanında uzun yıllar söz sahibi olmuş ve hayatta olmamasına rağmen yine de söz sahibi olmaya devam eden, ender rastlanan matematikçi-pedagog Hermann Weyl’e aittir...Son olarak tüm bu olayların merkezinde ve de kendisine layık olan yükseklikte yer alan insana geldiğimizde, demek lazım ki, onun da doğanın bir parçası olarak belli simetri özellikleri vardır elbette. Bunların bazılarını hayatta kazandığımız halde, büyük çoğunluğuna diğer canlılar gibi doğuştan sahip oluruz...Canlı varlıklar simetri özelliğine sahiptir; yaşamları boyu bu simetriyi, bir başka deyişle sahip oldukları bu düzeni korumaya çalışmaktadırlar...Sonuç olarak, simetri denilen şey, bildiğimiz-bilmediğimiz tüm nesneleri kapsayabilen potansiyel ve güce sahiptir.. 

(İsmihan Yusubov, Doğanın kalite mührü “simetri” üzerine, Sakarya Üniversitesi, 2007, https://bilimvegelecek.com.tr/index.php/2004/03/01/doganin-kalite-muhru-simetri-uzerine/)

Çok Yüzlü cisimler için "Euler Formulü"

Üç boyutlu nesnelere katı cisim denir. Bir katı cisim herhangi bir ölçüye veya şekle sahip olabilir. Ancak çokyüzlüler; küreler, silindirler ve koniler gibi birçok katı cismin kendisine has özellikleri vardır.Her biri yüz adını alan düzlemsel çokgenlerle sınırlanan katı cisimlere çokyüzlüler denir. Yüzlerin birbiriyle kesiştiği doğrular ayrıt olarak adlandırılır. 

Üç veya daha fazla yüzün kesiştiği noktaya ise köşe denir. Bir çokyüzlüde, iki yüzün kesiştiği yerde oluşan açıya iki düzlemli açı denir.Bütün iki düzlemli açıları 180° den küçük olan çokyüzlüye dışbükey çokyüzlü denir; örnek olarak küp verilebilir. iki düzlemli açılardan en az biri 180° den büyük olan çokyüzlüye içbükey çokyüzlü denir. Bu da en az bir köşe noktasının katının içine doğru olduğu anlamına gelir. Bütün yüzleri özdeş düzgün çokgenlerden oluşan çokyüzlüye düzgün çokyüzlü denir. Köşelerdeki açılar eşittir. Beş tane düzgün çokyüzlü vardır. Bunlar, Yunan filozof Platon’un adıyla anılır ve Platonik cisimler olarak adlandırılır.

Bir düzgün dörtyüzlü her biri eşkenar üçgensel bölge olan dört tane yüze sahiptir. Bir küpün altı tane karesel bölge yüzü vardır.Bir düzgün sekizyüzlü, her biri eşkenar üçgensel bölge olan sekiz tane yüze sahiptir. Bir düzgün on iki yüzlü, her biri düzgün beşgensel bölge olan on iki tane yüze sahiptir. Bir düzgün yirmi yüzlü, her biri eşkenar üçgensel bölge olan yirmi tane yüze sahiptir. Yüzleri çeşitli düzgün çokgensel bölgelerden oluşan çokyüzlüye yarı düzgün çokyüzlü denir. Bir otuz iki yüzlü, 20 üç- gensel bölge ve 12 beşgensel bölge olmak üzere toplam 32 yüzden oluşan bir yarı düzgün çokyüzlüdür.

Bir çok yüzlü için;köşe sayısı ile yüzey sayısının toplamından kenar(ayrıt) sayısı çıkarıldığında daima sabir bir değer olan 2 sayısı elde edilir. Bu formüle Euler çokyüzeyli formülü denir. Bu formül ünlü matematikçi Leonhard Euler (1707-1783) tarafından bulunmuştur.

Köşe Sayısı+Yüzey Sayısı-Ayrıt Sayısı=2

Perspektif Çizimi Nedir?

"Zeminin bittiği yerde gökyüzü ile birleşen çizgiye ufuk çizgisi denir. Perspektif, nesnelerin görünümünü üç boyutlu olarak düz bir yüzeyde, yani iki boyuta indirgeyerek, göstermeye yarayan bir izdüşümdür. Teknik bir çizimdir. Nesnenin gözlemciye göre olan pozisyonunun ve uzaklığının etkileri esas alınarak perspektif çizimi yapılır. Söz konusu çizimler gözlemcide, biçim ve orantı bakımından, renklerden bağımsız olarak, 3 boyutlu bir gerçeklik izlenimi oluşturmalıdır.

Bir nesnenin perspektif görünümünü çizmek için birçok yöntem vardır. Belirli bir tekniği izleyerek yapılan perspektif çizimi kolaylaştırmak içinse, Orta çağdan beri var olan taslak aletlerine perspektograf denir. Buna rağmen, fotoğraf tekniğinin icadı perspektifin çizim tekniği olarak kullanılması açısından pek bir şey değiştirmez. Çünkü burada mevzu doğayı taklit etmek değildir. Bu grafiksel ifade tekniği için birçok yöntem bir arada bulunur. Bazı çizimler aynı perspektif yöntemlerini sadece hayali dünyayı değil, gerçeküstü alanları göstermek için de kullanır.

Perspektifte ufuk çizgisi (zemin çizgisi), ufuk düzlemi, görme noktası (esas nokta), karşıdan görünen çizgiler, kaçış noktaları,kaçan çizgiler gibi tanımlar yer alır.

Perspektif İki boyutlu yüzeye üç boyutlu cismin resmini çizim metodu olarak kısaca tanımlanabilir. Cisimler uzaklaştıkça görünüşleri gerçek görünüşlerinden farklılaşarak ufalır. Bu farklılaşma perspektif prensipleriyle tarif edilir. Cismin görüntüsü optik ve matematik olarak ifade edilebilir. Perspektif, mimarlar, mühendisler, endüstri planlayıcıları tarafından çok fazla kullanılır.

Planlanan proje, perspektif olarak hazırlanır. Proje başlamadan çok önce bitmiş şekli üzerinde daha teferruatlı çalışmalar yapılır. En basit perspektif çizim, bir kağıt üzerine çizilen yatay çizgi şeklinde olan çizimdir. Bu yatay çizgi mesela o bölgenin ufuk hattını temsil eder. Bu çizgi üzerine bir gemi ve biraz üzerine bulutlar konulursa gökyüzü de temsil edilmiş olur. Gemiyle çizim yapanın arasındaki mesafe yaklaştıkça boyutları büyüyen diğer cisimler sıralanır. Perspektif çizimlerde atmosferin ışık etkisiyle renk ve gölgelere etkisi, görüntülerin farklılaşmasına sebep olur.

Atmosfer etkileri dikkate alınarak çizilen perspektif çizimlere uzay perspektif denir. Tatbikatta en çok kullanılan çizim metodu ise, ışık etkisi gösterilmeyen doğrusal (linear) perspektiftir. Çizim yapılırken belli bir oranda küçültme yapılır. Bu küçültme oranına, çizilen resmin mikyası denir. Perspektif resimde esas olan, cismin tabii şeklini kutu biçimindeymiş gibi resimlemektir. Bir kutunun altı yüzeyi, bu yüzeylerin kesiştiği 12 kenarı vardır. Bu kenarları çizimde uzunluk, genişlik ve yükseklik olmak üzere üç gruptur. Bir şeklin perspektifi, tepesi bakan göz olan ve tabanı çizime teğet olan koninin arada şeffaf bir yüzey üzerindeki arakesitidir. 

Perspektif çizimlerde dört düzlem kullanılır. Çizimle göz arasında resmin arakesit olarak çizileceği düzleme resim düzlemi; cismin ve çizen kişinin üzerinde durduğu düzleme zemin düzlemi; resim düzlemiyle zemin düzleminin kesiştiği hatta da zemin hattı denir. Resim düzlemini dik kesen göz hizasındaki düzleme ise yatay düzlem ismi verilir. Resim düzlemiyle yatay düzlemin kesiştiği hat ufuk hattıdır. Merkez düzlem, diğer düzlemleri dik olarak kesen ve gözden dik olarak geçen düzlemdir. Yatay düzlemden gözün yüksekliği göz pozisyonu olarak tarif edilir ve gözün öne, sola, sağa kayması ile resim düzlemi sınırlandırılır. Gözün resim düzlemi üzerindeki izdüşümüne görüş merkezi, gözün bulunduğu mevkiye durma noktası, gözle görüş merkezi arasındaki mesafeye göz mesafesi denir. Perspektif çizgilerin ufuk hattında birleştikleri yere kesişme noktası adı verilir. Resim düzlemi üzerinde görüş merkezinin sağ ve solunda ufuk hattı üzerindeki gözün mesafelerine ise mesafe noktaları denir.

Bir boyut perspektifi (tek kaçış noktalı): Bir nokta perspektifinde bir kutu şekli çizmek için birbirine yaklaşıp bir noktada birleşen iki doğru çizmek gerekir. Karayolu, demiryolu perspektif görünümü buna örnektir. Çizime ait kutu yüzey çizimleri, ufuk hattındaki kesişme noktasına göre düzenlenir.

İki boyut perspektifi (2 Kaçış Noktalı): Buna açısal perspektif de denir. Kutu hafifçe çevrilirse kesişme noktası ufuk hattı üzerinde dönen yönün aksi istikametinde kayar. 

Tek nokta perspektifinde yatay boyutlar (genişlikler) çizim kağıdı kenarlarına paraleldir. İki nokta perspektifinde iki kesişme noktası vardır ve her iki kesişme noktasına göre çizilen resimde derinlik çizgileri, çizim kağıdı kenarına paralel değildir. İki kesişme noktası arasındaki ölçü resmin basit orantısıdır. İki nokta perspektif resim çizimini kolay anlamak için, demiryolu üzerinde duran ve elinde tuttuğu bir cam tabakayı sağa ve sola hafifçe çeviren bir kişinin gördüğü manzarayı düşünmek yeterlidir. Cam tabaka biraz sola çevrilirse tren raylarının ufuk hattında kesiştiği nokta sanki sağa kaymış gibi görülür.

Üç boyut perspektifi (3 Kaçış Noktalı):

Çizim yatay doğrultuda iki kesişme noktasına ilave olarak dikey doğrultuda da üçüncü bir kesişme noktası ihtiva ediyorsa buna üç boyut perspektifi denir. Kullanma alanı çok sınırlı olup, tatbikatta bu tür çizimler yerine modeller kullanılır.

Daha ayrıntılı perspektif ve izdüşüm açıklaması için ve özellikle teknik resim bilgileri için, aşağıdaki bağlantıya tıklayabilirsiniz.(Bkz. Bir cismin izdüşüm özellikleri)

Perspektif çizimi hakkında temel bilgiler ve perspektif ile ilgili örnek çizimleri incelemek için aşağıdaki bağlantıya tıklayınız (Bkz. Perspektif Çizimi Temel Elemanları)

Geometrik Cisimlerin birim küp kodlaması

Birim küp: bütün kenar uzunlukları 1 br olan küpe birim küp adı verilir. Birim küpler yardımıyla çeşitli yapılar ve cisimler yapılabilir. Geometrik cisimler, izometrik kağıt üzerinde noktaların ardışık sıralarla birleştirilmesi sonucu meydana gelen birim küpler yardımıyla oluşturulan cisimlerdir. İzometrik kağıt; noktalı kağıt olarak da bilinir. Bir noktanın çevresinde bulunan altı noktaya da uzaklıkları eşittir. Bu uzaklıkları nokta ile göstererek üzerinde çeşitli üç boyutlu cisimlerin çizimi kolay hale getirilir.