Ters Trigonometrik Fonksiyonların Türevi

Ters trigonometrik fonksiyonların türevi alınırken öncelikle ters trigonometrik fonksiyonların özelliklerinden yararlanarak buna uygun bir üçgen çizilir ve oluşan eşitliğin her iki tarafı da x'e göre türev alınır. Bu şekilde tüm ters trigonometrik fonksiyonların türevi bulunmuş olur.

Tanjant ve Cotanjant Türevleri İspatları

Tanjant fonksiyonun türevi bulunurken türev almanın klasik limit tanımı kullanılır. f(x+h) ve f(x) fonksiyonlarının anlık değişim hızından (türev tanımından) yararlanıp tanx ve cotx fonksiyonun türevleri alınır. Kotanjant fonksiyonun türevi alınırken aynı şekilde türev alma işlemi yapılır. cot(u(x)) fonksiyonun türevinde bileşke türev özellikleri kullanılır.

 

Sinx ve Cosx Fonksiyonları Türev İspatları

Açının sinüsü ve kosinüsü: Birim çember üzerinde, rastgele bir P noktası belirleyelim. P noktasından orijine çizilerek oluşturulan açıyı gözönüne alalım. P noktasının bu açı sayesinde oluşturduğu apsis değerine açının kosinüsü, P noktasının ordinatına da açının sinüsü denir. Verilen P noktası için; x = cosa , y = sina olduğundan aşağıdaki sonuçlar çıkarılabilir.

1.     P noktası çember üzerinde ve yarıçapı 1 birim olan birim çember üzerinde bir nokta olduğu için; Cosinüs fonksiyonu -1 ile 1 arasında değerler alacaktır. Verilen tüm reel sayı değerleri için cosinüs fonksiyonun alabileceği en küçük değer -1 ve alabileceği en büyük değer ise +1 olacaktır. Birim çember üzerinde bu durum kolaylıkla görülebilir.

            -1 < cosa < 1  veya  cos : R ---> [-1,1]  dir. Yani kosinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir. 
Aynı şekilde ; Sinüs fonksiyonu -1 ile 1 arasında değerler alacaktır. Verilen tüm reel sayı değerleri için sinüs fonksiyonun alabileceği en küçük değer -1 ve alabileceği en büyük değer ise +1 olacaktır. Birim çember üzerinde bu durum cosinüs fonksiyonunda olduğu gibi kolaylıkla görülebilir. 

-1 < sina < 1  veya  sin : R ---> [-1,1]  dir. Yani sinüs fonksiyonunun tanım kümesi R, görüntü kümesi [-1,1] dir.

2.     x = cosa  ve  y = sina  olduğuna göre;    birim çemberde çizilen dik üçgen yardımıyla bir a açısı için pisagor teoremi uygulanırsa; cos²a + sin²a= 1  bulunur.  Bu trigonometrideki temel teoremlerden biridir.

 

Açının tanjantı ve kotanjant değerleri bulunurken; Birim çemberin dışındaki bir A noktasından çizilen teğeti incelersek;  m,  bir reel sayı olmak üzere, T(1,m) noktası teğetin üzerindedir. T noktasının ordinatına oluşan açının tanjantı denir. Tanjsnt değeri aynı zamanda verilen bir doğrunun eğimini verir. Eğim m harfi ile gösterilirse kısaca  m = tana yazılabilir.

Sonuç :T(1,m) noktası teğet üzerindeki herhangi bir nokta için, m herhangi bir nokta olabilir. Dolayısıyla; tanjant fonksiyonunun tanım kümesi pi sayısı 180 derece olarak ifade edilen radyan açı olmak üzere, (pi/2 +kpi) yani 90 derece ve tek katlarında (90, 270, 450... gibi açılar hariç olmak üzere) hariç bütün gerçel sayılar kümesinde tanımlıdır. Tanjant fonksiyonun görüntü kümesi ise R dir. Aynı şekilde cotanjant fonksiyonunun tanım kümesi (pi+kpi) yani 180 derece ve katlarında 180, 360, 540,...vs gibi açılar hariç olmak üzere) hariç bütün gerçel sayılarda tanımlıdır ve görüntü kümesi de R  olarak belirlenir. 

Tanjant ve cotanjant fonksiyonları çarpma işlemine göre birbirlerinin tersi olduğundan yani tanx = 1/cotx olarak yazılabildiği için tanx.cotx=1 olarak önemli bir teorem bulunmuş olur.

Tanjant ve cotanjant fonksiyonları aslında esas fonksiyonlar olmayıp tali fonksiyonlardandır. Yani tan fonksiyonu aslında bir açının sinüs değerinin, cosinüs değerine bölümü ile bulunabilir. tanx=sinx/cosx olarak yazılabilir. Aynı şekilde cotx=cosx/sinx olarak yazılabilir.

Verilen bu ön bilgilere göre trigonometrik fonksiyonların türevi alınırken trigonometrideki (Bkz. Trginometri Dönüşüm formülleri) (Bkz. Trigonometri Toplam ve fark formülleri) ve limit ile verilen türev tanımından yararlanılarak türev hesabı yapılır.

Sinx/x Limiti İspatı

Sinx/x limiti hesaplaması yapılırken birim çemberden yararlanılabilir. Öncelike birim çember çizilir. 

Birim çemberde herhangi bir x açısının seçilmesi ile birlikte aşağıda da gösterildiği gibi |OH|, |TA| ve |PH| uzunluklarının trigonometrik oranlar cinsinden değerleri yazılır. Daha sonra oluşan üçgende kenar uzunlukları arasında aynı açılara göre kenarların ve yay parçasının arasındaki büyüklük sıralaması yazılır. Daha sonra yazılan bu sıralamada, eşitsizliğin her iki tarafı sinx ile bölünür. Ortaya çıkan fonksiyon x/sinx fonksiyonu olur. Bu fonksiyonun  x=0 noktasına yaklaşırken limit değeri alınırsa bu durumda x/sinx limiti ve sinx/x limit değerleri bulunmuş olur.

Burada x değeri sonsuza yaklaşırken aynı fonksiyon için limit hesabı yapılırsa sinx/x limiti 0 olur. Sinüs fonksiyonunun tanım aralığından yararlanarak değer aralığı yazıldıktan sonra eşitsizliğin her iki tarafı da x ile bölünerek sinx/x fonksiyonu elde edilir. Eşitsizliğin her iki tarafında x sonsuza yaklaşırken limit değeri hesaplanır.Daha sonra arada sıkışmış olan sinx/x fonksiyonun sonsuza yaklaşırken limit değeri bulunmuş olur. (Bu teoreme sandviç teoremi veya sıkıştırma teoremi adı verilir.)

.....Sıkıştırma teoremine göre, bir f fonksiyonunun x=a noktasını içeren bir aralıkta, bu noktadaki limit değerlerini birbirine eşit ve limitini L olarak hesaplayabildiğimiz g ve h fonksiyonları arasında kaldığını gösterebiliyorsak,f  fonksiyonunun bu noktadaki limiti de önceki limit değeri olan L'ye eşit olmak zorundadır. Limit fonksiyonun x=a noktasındaki değeri ile ilgilenmediği için, sıkıştırma teoreminin kullandığımız g(x)<f(x)<h(x) eşitsizliği x=a noktasında geçerli olmak zorunda değildir, önemli olan f(x) fonksiyonun değerinin bu aralıkta x=a dışındaki noktalarda, g ve h fonksiyonlarının arasında kalmasıdır. Sıkıştırma teoreminde g ve h fonksiyonlarının  bir noktadaki limitinin tanımlı ve eşit olduğunu biliyorsak, eşitsizliğe göre arada yer alan f fonksiyonunun da aynı noktadaki limitinin bu L değerine  eşit olması gerekmektedir. sinx/x fonksiyonun limit hesabı, bu sıkıştırma teoreminin uygulanışına güzel bir örnektir.

 

 

Bu özel limit kullanılarak farkı teoremlerin de ispatları yapılabilir. Sinüs fonksiyonu için geçerli olan bu limit özelliği tanjant fonksiyonunda da aynı şekilde uygulanabilir. 

Mutlak Değer Fonksiyonu Özellikleri ve Grafiği

Sayı doğrusu üzerinde x reel sayısının orijine olan uzaklığına x in mutlak değeri denir.|x| biçiminde gösterilir.

MUTLAK DEĞERİN ÖZELLİKLERİ
1) |x|>0 veya |x|=0 olmak zorundadır. Yani |x| değeri hiçbir zaman negatif sonuç alamaz. 

2) |x| = |–x| ve |a – b| = |b – a| dır.  

3) |xⁿ| = |x|ⁿ mutlak değerin kuvvetini almakla, önce kuvvetini alıp sonra mutlak değerini almak arasında fark yoktur.

4) |x . y| = |x| . |y| çarpım ayrı ayrı mutlak değer şeklinde yazılabilir. y ifadesi, 0 olmamak şartıyla, |x / y| = |x| / |y| şeklinde bölme işlemi ayrı ayrı yazılabilir. 

5) |x| – |y| < |x + y| < |x| + |y| üçgen eşitsizliği kullanılabilir.

6) a, 0'dan farklı bir Reel sayı ve, x bir Reel sayı ise; |x| = a denklemi için, x = a veya x = – a şeklinde iki farklı çözüm bulunur.

7) |x| = |y| ise, x = y veya x = – y dir.

8) x değişken a ve b sabit birer reel sayı olmak üzere,|x – a| + |x – b|
ifadesinin en küçük değeri a <x< b koşuluna uygun bir x değeri için bulunan sonuçtur. Yani mutlak değerin içeriğinin her iki kısımda da 0'a eşitlenir daha sonra bulunan x değerleri ifadede yerine yazılarak hangi sonuç daha küçük ise o değer alınır. 

9) x değişken a ve b sabit birer reel sayı olmak üzere,|x – a| – |x – b|
ifadesinin en küçük değeri x = a için, en büyük değeri ise x = b için bulunur.

10) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere, |x| < a ise, – a < x < a dır.

11) a, pozitif sabit bir reel sayı olmak üzere, |x| > a ise, x > a  veya  x < – a dır.

Grafik Çizimi

Mutlak değer fonksiyonun grafik çizimi için ayrıca ayrıntılı bir yazımızı da inceleyebilirsiniz. (Bkz. Mutlak Değer Grafik Çizimi)

Mutlak Değer Fonksiyon Grafiği

Bir mutlak değer fonksiyonu verildiğinde grafiği çizilirken; öncelikli olarak fonksiyonun kritik noktaları tesbit edilir daha sonra buna göre fonksiyon parçalı fonkiyon biçimde belirlenen noktalara göre tekrar yazılır. Bu aşamadan sonra parçalı fonksiyona dönüştürülen fonksiyonun her bir parçası tek tek çizilir. Şartlara uygun olarak tüm parçalar çizildiğinde esas fonksiyonun grafiği de çizilmiş olur.

 

Logaritma Fonksiyonu Türevi

Logaritma fonksiyonun türevinin ispatı yapılırken logaritma özellikleri kullanılırken ayrıca özel olarak limitin e sayısını verdiği eşitlikten yararlanılır. e sayısı matematikte özel bir sayıdır. e sabitine dolaylı olarak ilk değinen İskoç matematikçi John Napier olmuştur. Napier, 1618'de logaritmalar üzerine yayımladığı bir kitabın ekinde, e sabitini kullanarak bazı hesaplar yapmıştır; fakat sabitin kendisiyle fazla ilgilenmemiştir. e sayısını gerçek anlamda ilk keşfeden Jakob Bernoulli olmuştur. Bernoulli, e sayısını 1683'te birleşik faiz problemini incelerken keşfetmiş ve bu sayının yaklaşık değerini hesaplamıştır. Sabite e ismini veren ise İsviçreli matematikçi Leonhard Euler'dir.
Euler ilk olarak 1731'de Christian Goldbach'a yazdığı bir mektupta bu sabitten "e sayısı" diye bahsetmiştir. Euler öncesi ve sonrasında bu sabit için b ve c harfleri de kullanılmışsa da sonuçta kabul edilen isim e olmuştur.Euler e sayısını, virgülden sonra 23. basamağına kadar hesaplayabilmiştir. Günümüzde ise e sayısının milyarlarca basamağı bilinmektedir. e sayısının irrasyonel bir sayı olduğu Euler tarafından, aşkın bir sayı olduğu ise Fransız matematikçi Charles Hermite tarafından kanıtlanmıştır.

Proje ve Performans çalışması

PROJE -PERFORMANS ÇALIŞMASI

MADDE 50- (1) Öğrenciler okulların özelliklerine göre yazılı sınavların dışında proje ve performans çalışması ile topluma hizmet etkinliklerine yönelik seminer, konferans ve benzeri çalışmalar yaparlar. Öğrenciler, her dönemde tüm derslerden en az bir performans çalışması, her ders yılında en az bir dersten proje hazırlama görevini yerine getirirler.  

Proje ödevi tercih dilekçesi,

Proje Ödevi Puanlama Kriterleri 

Proje Hazırlık Süreci Aşamaları

Proje ödevi değerlendirme çizelgesi

MADDE 50 (7) Proje ve performans çalışması puanla değerlendirilir. Topluma hizmet etkinlikleri ve diğer çalışmalar puanla değerlendirilmez; ancak öğrencilerin mezuniyetlerinde belgelendirilir.

(8) Öğrencilerin derse hazırlıkları, derse aktif katılımları ve dersle ilgili araştırma çalışmaları da performans çalışması kapsamında ayrıca notla değerlendirilir.

Performans Ödevi Değerlendirme Çizelgesi (Toplu Sınıf) 

Performans Ders içi Gözlem Değerlendirme Çizelgesi (Toplu Sınıf) 

Performans Notu Değerlendirme Çizelgesi (E-okuldan listeyi kopyalayıp yapıştırın sonra performans notunu girin uygulama Otomatik olarak kriterlere dağıtım yapar.)

Deyimlerimiz ve Gerçek Anlamları

Sözcüklerdeki ‘anlam kaymasını’ ne denli göz önünde tutarsanız tutun, sözcükleri okudukça bazılarının bizimle adeta dalga geçtikleri anlaşıldığı bazı deyimlerin de tarafımızdan çok yanlış kullanıldığı gözlenmektedir. İşte çok sık kullanılan deyimlerimizin esas anlamlarından bir kaçını sizinle paylaşalım.

Sözcüklerden Bazılarının Anlamları:

"‘lan’ Arapça, ‘uğlan’ kökenli olup, zamanla ‘ülan, ulan, ülen’ şekline dönüşen biçimiyle ‘Kerimoğlu’ türkümüzde  “... Haydülende haydülen….” dizeleriyle bağdaş kurup oturmuş. Sözcüğün temelindebizim ‘erkekliğimiz’ vurgulandığına göre, bizi çileden çıkarması niye?“Zibidi’; Farsça, ’zibidan’  kökenli, ‘süslü, bakımlı, yakışıklı’, (‘herif” sözcüğü de benzer anlamlı, Anadolu kadının erkeğine ‘beyim,kocam’ demektense Sıpa;  Abazacada ‘spau’  şeklinde geçiyor, ‘çocuk, yavru, sevimli’ , ayrıca Arapça,  ‘sabi, yani günahsız’ anlamında kullanılırken, ‘siyasetçi’  ile ‘seyis’ sözcüğünün aynı kökenli oluşu şaşırtıcı olmalı. ‘benim herif’ demesi boşuna değilmiş) ““Parlemento; Fr. ‘parlere’ kökenli  ‘konuşma yeri’, İtalyancada ‘yalan söylenilen yer’ anlamında kullanılıyor olması , “oruspu; Farsça  ‘ruspi’  kökeninden gelmesi ve ‘Toplum içinde alnı açık gezen insan’  anlamında,"kaltak", ‘atın eyeri, kıç kısmımızı teslim ettiğimiz yer’ anlamında, W.C kısaltmasının açılımı ‘water closed’ olduğu sanılsa da, Efes kazıları bunu yalanlamaktadır. ‘Vespesius Claudius’  (ilk harflerinin kısaltılmasıyla V.C) döneminde kapalı bölmeler, yani umumi helâ  yapıldığı ve ‘VC’ olarak anıldığı ortaya çıktı. Latin kökenli dillerin tapulu malı sanılan ‘water’ sözcüğünün kökeni bal gibi Anadolu olduğu, Hititler döneminde ‘ su, dere yatağı, kaynak’ anlamında kullanıldığı  Latin dil uzmanları bile tartışmıyor.
Kız çocuklarımıza verdiğimiz isimleri arasında  ‘Jülide’nin ‘perişan görünümlü, dağınık’ ,  ‘Nalan’ nın  ‘ için için ağlayan, gözyaşı döken’ , ‘Nahide’ Farsça’da ‘Turunç memeli kız’ ’Suna’ nın  ‘erkek ördek ‘ anlamına gelmektedir.