Üçgende Trigonometrik Dönüşüm Formülleri

Daha önceki yazılarımızda trigonometrik fonksiyonlarda dönüşüm ve ters dönüşüm formüllerini verip bunların ispatlarını da açıklamıştık. Bu formüllere bağlı olarak çeşitli teoremler üretilmiştir. Bunlara örnek olarak; üçgen uygulamalarından iki güzel örnek verilebilir.  (Bknz. Dönüşüm Formülleri)

**Bir ABC üçgeninde üçgenin iç açıları arasında trigonometrik dönüşüm formüllerinin uygulaması görülebilir. Aşağıda buna bağlı iki farklı teorem verilmiştir, ispatlarını inceleyebilirsiniz. 

Aynı teoremi verilen ABC üçgeninin iç açılarının cosinüs değerlerine de uygularsak farklı bir sonuçla karşılaşırız. Aşağıda teorem ve ispatı birlikte verilmiştir.

Benzer biçimde aynı formül kullanılarak bir üçgende çeşitli açı bağıntıları bulunabilir. Aşağıdaki örneği inceleyebilirsiniz.

Cosinüs teoremi ispatı

Kosinüs Teoremi, üçgenlerde kenar uzunlukları ile açıların arasındaki ilişkiyi veren bir teoremdir. Bir üçgende eğer iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa, üçüncü kenarı bulmak için kosinüs teoremi kullanılır. Üçgenin tüm kenar uzunlukları biliniyorsa,herhangi iki kenar arasındaki açıyı bulmak için kosinüs teoreminin tersine çevrilmiş hali kullanılır. Dik üçgenlerde kosinüs teoreminin özel hali olan pisagor teoremi kullanılır.

Trigonometrik Fonksiyonların Grafikleri

Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinde bazı ortak özellikler bulunur. Bunlar periyodiklik, süreklilik, kesiklik ve simetridir. Periyodiklik, grafiğin belirli bir aralıkta kendini tekrar etmesi anlamına gelir. Sinüs ve kosinüs fonksiyonları sürekli, tanjant ve kotanjant fonksiyonları ise belirli aralıklarda kesiklidir. Ayrıca sinüs ve tanjant fonksiyonları tek fonksiyon, kosinüs ve kotanjant fonksiyonları ise çift fonksiyon özelliği gösterir. Bu durum grafiğin eksenlere göre yansımasını ve genel şeklini belirler. Trigonometrik fonksiyonların grafiklerinin çizimi, bu fonksiyonların temel özelliklerinin ve bu özelliklerin grafik üzerindeki etkilerinin sistematik biçimde incelenmesiyle yapılır. Bu süreçte genellikle periyot, genlik, faz farkı ve dikey kayma gibi ortak nitelikler dikkate alınır. 

Grafikler çizilirken belli adımlara dikkat etmek gerekir. y=a.sin⁡(bx+c)+d şeklindeki bir trigonometrik fonksiyonda a fonksiyonun genliği, b fonksiyonun periyodu, c faz değeri (yatay kayma değeri), d dikey kayma değeri olarak tanımlanır. a, b, c ve d değişkenlerine göre grafik çizimi yapılır.

Sekant ve Kosekant Grafikleri

Sekant ve kosekant fonksiyonlarının grafikleri, dikey asimptotlara sahip periyodik eğrilerdir ve değerleri bazı noktalarda fonksiyon tanımları gereği tanımsızdır. Sekant fonksiyonu, cos(x) fonksiyonunun tersi olarak 1/cosx olarak tanımlanır. Bu nedenle grafik çizilirken paydayı sıfır yapan değerlerde tanımsızlık oluştuğundan asimptotlar meydana gelir. x = 0 noktasında fonksiyon y=1 değerinden başlar. x=π/2 ve x =-π/2 noktalarında cos(x)=0 olduğundan sekant tanımsızdır ve bu noktalarda dikey asimptot oluşur. x arttıkça grafik yukarı veya aşağı yönde dallanır ve her 2π birimlik aralıkta aynı şekilde grafik tekrar eder; yani sekant fonksiyonunun periyodu, cosinüs fonksiyonundan dolayı 2π olur.

Ters Trigonometrik Fonksiyonlar

Ters trigonometrik fonksiyonlar, (arcsin, arccos, arctan arccot) trigonometride değeri bilinen bir fonksiyon için o değeri veren açıyı bulmak için kullanılır. Yani “bir trigonometrik oranı verildiğinde, o orana sahip fonksiyon adını ve açıyı bulmak” için ters trigonometrik fonksiyonlar kullanılır. Ters trigonometrik fonksiyonlar sadece soyut matematikte değil, mühendislikten fiziğe kadar birçok alanda kullanılır. Eğim açısı, fırlatma açısı, yansıma açısı gibi durumlarda kullanılır. Örneğin bir topu fırlatıldığında, topun hızı ve yer değiştirmesi biliniyorsa, atış açısını bulmak için arctan kullanılır. Örneğin Trigonometride cos değeri 1/2 olan açı için arccos(1/2) yazılır ve buradan 60⁰ açısı elde edilir.  GPS sistemlerinde iki nokta arasındaki açısal yön hesaplanırken ve nesnelerin yönünü, kameraların bakış açısını veya robot kollarının dönme açısını hesaplamak gibi sebeplerle ters trigonometrik fonksiyonlar kullanılır. 

Trigonometrik fonksiyonlar periyodik fonksiyon olduğundan belirli aralıklarda tanımlanarak ters fonksiyonları bulunur. 

(Bkz. Periyodik Fonksiyonlar)

 

Trigonometrik Fonksiyonların Periyodu

Trigonometrik fonksiyonlar da temel olarak birim çemberden türetildiğinden periyodik fonksiyondur. Birim çemberde bir açıyı sürekli olarak döndürdüğümüzde, açı 360° veya 2π radyan kadar arttığında, sinüs ve kosinüs değerleri tekrar baştaki değerlerine geri döner. Yani fonksiyonların değerleri belirli bir açı artışından sonra kendini aynen tekrar eder. Tanjant ve kotanjant gibi fonksiyonlar da benzer şekilde birim çemberde tanjant ve kotanjant değerlerinin tekrar etmesi nedeniyle periyodiktir; tanjant ve kotanjant fonksiyonları π radyanlık aralıklarla kendini tekrar eder. Kısaca; trigonometrik fonksiyonlar, açıların döngüsel doğasından dolayı periyodiktir; belirli bir açı artışında fonksiyonun değerleri tekrar eder.

Tanjant ve Kotanjant Fonksiyonu Grafiği

Tanjant fonksiyonunun grafiği, sinx/cosx şeklinde tanımlandığı için paydayı sıfır yapan açı değerlerinde tanımsız olacağından buralarda dikey asimptotlara sahip periyodik bir eğridir. Grafik çizilirken belli özel açı değerleri alınır ve bunların y eksenindeki karşılıkları bulunur. x=0 noktasında y=0 değerinden başlar ve x arttıkça y değerleri yükselir. x=π/2 noktasında tanjant tanımsız olduğu için dikey bir asimptot oluşur; yani grafik bu noktada sonsuza doğru gider ve bu noktadan sonra aşağıdan yukarıya tekrar devam eder. x =π noktasında y=0 değerine tekrar ulaşır ve x =3π/2 noktasında tanjant yeniden tanımsız olacağından tekrar dikey asimptot oluşur. Bu şekilde, her π birimlik aralıkta aynı desen tekrar eder, yani tanjant fonksiyonu π periyoduna sahip bir fonksiyondur. 

Cosinüs Fonksiyonu Grafiği

Cosinüs fonksiyonunun grafiği periyodik bir dalga şeklindedir. Grafik x=0 değeri için cos0=1 olduğundan y=1 noktasından başlar. Ardından x=π/2 noktasında cos(π/2)=0 olduğundan sıfır değerine düşer, x=π noktasında minimum değeri olan y=-1 noktasına ulaşır, x=3π/2 noktasında cos(3π/2)=0 olduğundan tekrar sıfıra döner ve x=2π noktasında cos(2π)=1 olduğundan  2π noktasında yeniden maksimum değere y=1 ulaşır. Bu değerler döngüsel olarak tekrarlandığından grafik tüm reel sayılar boyunca aynı biçimde periyodik olarak devam eder.

Sinüs Fonksiyonu Grafiği

Sinüs fonksiyonunun grafiği, y =sin(x) şeklinde tanımlanan periyodik bir eğridir. Fonksiyonun tanım kümesi tüm reel sayılar, değer kümesi ise [−1,1] aralığıdır. Sinx fonksiyonun periyodu 2π’dir; yani sinüs değeri her 2π birimlik artışta kendini tekrar aynen eder. Grafik çizilirken bazı özel açı değerleri alınarak bunlara karşılık gelen y değerleri bulunur ve bu noktalar koordinat düzleminde gösterilir.