Çemberle doğrunun birbirine göre durumları

Bir düzlemde verilen bir çember ile bir doğru arasında üç temel durum vardır: 

1) Doğru Çemberi Kesmez (Çemberle doğrunun ortak bir noktası yoktur. Dıştan Ayrık) 

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi boş küme ise doğru çemberin dışındadır. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d>r ilişkisi vardır Böylece doğru çemberi kesmez, doğru bu durumda çemberin dışında yer alır. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında,  elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri, sıfırdan küçük olur. Yani düzlem geometride denklemin reel kökü olmaz.

2) Doğru Çembere teğet olur. (Çemberle doğrunun ortak sadece bir noktası  vardır.)

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi sadece tek nokta ise doğru çembere teğet olur. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d=r ilişkisi vardır Böylece doğru çembere teğet olur. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında, elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri sıfıra eşit olur. Yani denklemin tek kökü olur.

3) Doğru Çemberi iki farklı noktada keser. (Çemberle doğrunun iki ortak noktası  vardır.)

Verilen doğru ile çemberin kesişim kümesi iki farklı nokta ise doğru çembere teğet olur. Bu durumda doğrunun çemberin merkezine uzaklığı d ve çemberin yarıçap uzunluğu r ise doğru ile çemberin merkezinin uzaklığı (d ile r) arasında d<r ilişkisi vardır Böylece doğru çemberi keser. Doğru ile çember denklemi birbirine eşitlenip ortak çözüm yapıldığında, elde edilen ikinci dereceden tek değişkenli denklemin diskriminant değeri sıfırdan büyük olur. Yani denklemin iki farklı kökü olur.

Çemberin Analitik incelemesi

Geometri biliminde düzlemdeki sabit bir noktaya (merkez) eşit uzaklıktaki sonsuz sayıdaki noktaların oluşturduğu kümeye (kapalı eğriye) "çember" denir. Çemberin üzerindeki noktalara eşit uzaklıkta bulunan, çemberin tam ortasında yer alan sabit noktaya "çemberin merkezi" denir ve genellikle M veya O harfi ile gösterilir. Merkezi (a,b) olan ve yarıçapı r olan bir çember; Ç(M,r) şeklinde yazılır.  Çember merkezi ile çember üzerindeki herhangi bir nokta arasındaki uzaklığa çemberin "yarıçapı" denir ve genellikle "r" harfi (radius) ile gösterilir. Çemberin merkezinden geçerek çemberin üzerinde bulunan herhangi iki noktayı birleştiren en uzun doğru parçasına "çap" (diameter) adı verilir ve 2r ile gösterilir. 

Bir çemberin yay uzunluğunun tamamını veren ifadeye "çemberin çevresi" denir ve çemberin çevresi Çevre= 2πr formülüyle hesaplanır. Çemberin kendisi ve çemberin iç bölgesi de çembere dâhil edilirse bu plaka biçimine "daire" denir, daire bir yüzey (alan) belirtir. Yarıçapı r olan dairenin alanı: Alan=π.r² formülüyle bulunur. Alan ve çevrede kullanılan π sayısı irrasyonel bir sayıdır. π=3.14159265359... devam eden irrasyonel sabit bir sayıdır.

Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çemberin genel denklemi şu şekildedir: (x−a)²+(y−b)²=r² Bu çember denklemi, çember üzerindeki tüm noktaların merkez noktasına olan uzaklığının r olduğunu ifade eder. Esasında çember denklemi analitik geometride iki nokta arası uzaklık formülü ile oluşturulur. 

(x−a)²+(y−b)²=r² çember denklemine çemberin standart denklemi denir. Örneğin orijin merkezli ve yarıçapı 5 birim olan bir çemberi (x−0)²+(y−0)²=5² şeklinde yazabiliriz. Buradan orijin merkezli bu çember; x²+y²=25 olur. Merkez (3, -2) ve Yarıçapı r=4 olan bir çemberi, (x−3)²+(y+2)²=16 şeklinde yazabiliriz. 

1) Merkezi x ekseni üzerinde olan bir çemberin merkezi noktası M(a, 0) şeklindedir. Yani, merkezi x ekseni üzerinde olan çemberin y-koordinatı sıfırdır. Bu durumda Merkezi x ekseni üzerinde olan bir çemberin genel denklemi şöyle olur:  (x−a)²+y²=r² olur. Bu çember, x ekseni üzerinde bir noktayı merkez alır ve y ekseni boyunca yukarı ya da aşağıya doğru simetrik olarak uzanır. Örneğin merkezi (2, 0) ve yarıçapı 6 olan bir çemberin denklemini (x−2)²+y²=36 şeklinde yazabiliriz. 

2) Merkezi y ekseni üzerinde olan bir çemberin merkezi M(0,b) şeklindedir. Yani, merkezi y ekseni üzerinde olan bir çemberin x-koordinatı sıfırdır. Bu durumda çemberin genel denklemi şöyle olur: x²+(y-b)²=r² olur. Bu çember, y ekseni üzerinde bir noktada merkezlenmiştir ve x ekseni boyunca sağa ya da simetrik olarak uzanır. Örneğin; Merkezi (0,−3) ve yarıçapı 5 olan bir çemberin denklemi: x²+(y+3)²=25 olur. 

3) Merkezi orijin M(0, 0) üzerinde olan bir çemberin denklemi çemberin en basit ve standart halidir. Merkezi orijin M(0, 0) ve yarıçapı r olan çemberin denklemi: x²+y²=r² olur. Bu çember, hem x hem de y eksenine göre simetriktir çünkü merkez orijin üzerindedir.

Örneğin Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 7 olan bir çemberin denklemi: x²+y²=49 şeklindedir. Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 9 olan bir çemberin denklemi: x²+y²=81 şeklindedir. 

Merkezi M(0, 0) ve yarıçapı 1 olan çembere birim çember denir trigonometrik fonksiyonları tanımlamada birim çember kullanılır. Birim çemberin denklemi: x²+y²=1 şeklindedir.

4) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember y eksenine teğet ise çemberin yarıçapı |a| olur ve çemberin merkezi a koordinatına bağlı olarak x ekseninin sağında ya da solundadır. M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çember, y eksenine teğet ise bu çemberin denklemi: (x−a)²+(y−b)²=a² şeklinde olur. Aynı denklemi r'ye bağlı olarak (x−r)²+(y-b)²=r² şeklinde yazarız.

5) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember, x eksenine teğet ise çemberin yarıçapı |b| olur ve çemberin merkezi, b koordinatına bağlı olarak y ekseninin aşağısında ya da yukarısında yer alır. M(a,b) ve yarıçapı r olan bir çember x eksenine teğet ise denklemi: (x−a)²+(y−b)²=b² şeklinde olur. Aynı denklemi r'ye bağlı olarak (x−a)²+(y-r)²=r² şeklinde yazarız. 

6) Merkezi M(a, b) ve yarıçapı r olan bir çember, her iki eksene de teğet ise (x ve y eksenine teğet ise) çemberin merkezi M(a,b)=(±r,±r) şeklinde olur ve bölgelere göre dört farklı çember çizilebilir. Çemberin merkezi ve yarıçapı verildiğinde denklemi (x−a)²+(y−b)²=r² olduğundan; merkez koordinatlarının bölgelere göre a=±r ve b=±r ihtimali olduğundan dört farklı çember yazılabilir. 

 

Buna göre birinci bölgedeki eksenlere teğet çember şöyle olur: (x−r)²+(y−r)²=r² 

İkinci bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi: (x+r)²+(y-r)²=r² olur. 

Üçüncü bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi: (x+r)²+(y+r)²=r² olur. 

Dördüncü bölgedeki eksenlere teğet çemberin denklemi de (x-r)²+(y+r)²=r² olur. 

Eksenlere teğet olan bu çemberlerin merkez koordinatları bölgelere göre şöyledir: Birinci bölgede A(r,r) ; ikinci bölgede B (−r,r) ; üçüncü bölgede C(-r,−r) ; dördüncü bölgede D(r,-r) olur.

 

Bir çemberin standart denklemi denklemi (x−a)²+(y−b)²=r² ifadesi açıldığında x²+y²+Dx+Ey+F=0 şeklinde çemberin genel denklemi elde edilir. Bu denklemde katsayılar olan D, E, F gerçek sayılardır. 

x²+y²+Dx+Ey+F=0 Denkleminin çember belirtmesi için x² ve y² terimlerinin denklemde kesinlikle olması ve x² ve y² terimlerin katsayılarının birbirine eşit olması gerekir. Ayrıca x.y çarpanı şeklinde bir terim bulunmamalıdır. Ayrıca denklemde elde edilecek r yarıçapının tanımlı olması gerekir. (r>0) 

Merkezi M(a,b) ve yarıçapı r olan çemberin standart denklemi: (x−a)² + (y−b)² = r² çemberin standart denklemi binom özelliğinden yararlanarak azalan kuvvetlere göre açılırsa:
(x−a)²+(y−b)²=r² ⮕ x² − 2ax + a² + y²−2by + b² = r²
x²+y²−2ax−2by + (a²+b²−r²) = 0 bulunur.
Bu ifade kısa bir şekilde D, E ve F katsayılarıyla D=−2a, E=−2b ve F=a²+b²−r² olacak biçimde en sade halde düzenlenirse; x²+y²+Dx+Ey+F=0 çemberin genel denklemi elde edilir. Bu genel çember denkleminde, çemberin merkezi M(-D/2, -E/2) olur.

x²+y²+Dx+Ey+F=0 tam kareye tamamlama işlemi ile yarıçap ve merkez koordinatları D, E ve F cinsinden yazılabilir. Yarıçap ifadesinde eğer karekök içi negatif çıkarsa, bu bir gerçek çember belirtmez. (bu denklemin reel sayılarda çözümü yoktur)

Çemberin genel denklemininde çemberin diskiriminantı denebilecek D²+E²-4F ifadesine göre üç farklı durum söz konusu olur.

1) D²+E²-4F>0 ise verilen denklem bir çember belirtir. 

2) D²+E²-4F=0 ise verilen denklem bir çember belirtmez.Yarıçap r=0 olduğundan bu denklem bir nokta belirtir. Bu nokta çemberin merkez koordinatlarıdır. 

3) D²+E²-4F<0 ise verilen denklem bir çember  belirtmez. Yarıçap ifadesi karekök tanımlı olmadığından hesaplanamaz.

 

Herhangi üç noktadan geçen bir çemberin denklemini bulmak için, çemberin genel denklemini: x²+y²+Dx+Ey+F=0 şeklinde kabul ederiz ve verilen üç noktayı bu denkleme yerleştirerek bir denklem sistemi kurarız. Bu denklem sistemi ikişerli olarak çözülerek D,E,F katsayıları bulunur. Bu katsayılara göre çember denklemi yazılır. 

 

Örneğin verilen 3 nokta: A(1,2), B(2,3), C(1,0) ise bu noktalardan geçen çemberin denklemini bulmak için genel çember denklemi: x²+y²+Dx+Ey+F=0 olarak alınır ve her nokta x ve y yerine koyularak bir denklem sistemi kurulur. 

A(1, 2) noktası için:

1²+2²+D(1)+E(2)+F=0⇒1+4+D+2E+F=0⇒D+2E+F=−5 

B(2, 3) noktası için: 

4+9+2D+3E+F=0⇒2D+3E+F=−13

C(1, 0) noktası için: 

1²+0²+D(1)+E(0)+F=0⇒1+D+F=0⇒D+F=−1

Bu üç denklemi kendi arasında ikişerli olarak yoketme metodu ile çözersek sonuçta denklemin katsayılarını D=-6, E=-2 ve F=5 buluruz. Bu katsayılara göre çemberin genel denklemi: x²+y²−6x−2y+5=0 olur. Böylece bu çemberin merkezi M(3,1) ve yarıçapı da r=√5 olur.

 

 Çemberin Analitik incelemesi ile ilgili konu özetine ulaşmak için tıklayınız. (PDF)

Sembolik mantık

Sembolik mantık, semboller ve özel işaretler kullanarak mantıksal ifadelerin ve ilişkilerin analiz edildiği bir matematik dalıdır. Mantık ifadelerin sözel dille yazılması, matematiksel semboller yerine doğal dil kullanılarak yapılan bir işlemdir. Önermelerin doğruluk ya da yanlışlık durumunu belirten ifadeleri Türkçe veya başka herhangi bir doğal dilde yazılabilmesi, "sembolik dili sözel dile çevirme" olarak tanımlanır. 

Örneğin, p → q (okunuşu: p ise q) sembolik önermesi p ve q herhangi iki önerme olmak üzere: "Eğer hava yağmurluysa, o zaman sokaklar ıslaktır" biçiminde sözel olarak yazılabilir. Bu tür önerme ifadeleri; çıkarımda bulunma, akıl yürütme, argümantasyon, dilbilim ve felsefe gibi alanlarda önemli bir rol oynarlar. Önermeler, matematikte sembollerle temsil edilir ve kurulan mantıksal ifadelerin doğrulukları tablolar ve mantık yasaları incelenir. Bu şekilde, önermeler mantığında belirli kural ve prensiplere dayanarak mantıksal sonuçlar çıkarılabilir. Sembolik mantık, sözel türdeki ifadelerin matematiksel ve mantıksal ilişkilerini analiz ederek akıl yürütmeyi ve sonuç çıkarmayı kolay hale getirerek işlemlerin yorumlanmasını ve değerlendirilmesini sağlar. Sembolik mantık, matematiksel ve bilgisayar bilimleri gibi alanlarda sıklıkla kullanılan bir araçtır ve mantıksal çıkarım süreçlerini daha sistemli, daha hızlı, daha kolay ve kesin bir şekilde ele almayı sağlar.

"Matematiksel mantıkta, semboller kullanılarak ifadeler, dikden bağımsız olarak kendi mantık yasaları çerçevesinde kolaylıkla analiz edilirerek yorumlanır.

Sözel dille ifade edilen cümleler, çeşitli sembol ve bağlaçlar (operatörler) kullanılarak matematiksel dille yeniden yazılır. Sözel dille ifade edilen cümleleri matematiksel dille ifade etmek için bazı semboller ve bağlaçlar kullanabiliriz. Örneğin: "Bir sayının 5 katı, o sayıdan 15 fazladır." şeklindeki ifadeyi matematiksel olarak şu şekilde yazabiliriz: (5x = x + 15). "Bir dikdörtgenin uzunluğu, enini 3 birim aşar." cümlesini ifade ederken de (B = E + 3) sembolik dili kullanılabilir. Burada (B) uzunluğu, (E) eni temsil eder. Buna benzer yazılan matematiksel dil, gündelik kelimeler yerine semboller ve matematik operatörlerini kullanarak bilgi aktarmamızı sağlar. Bu sayede ifadeler daha kesin ve anlaşılır hale gelir.

Örnek:

"P: Bugün hava güneşlidir. Q: "Hava, 20 derecedir." şeklinde iki ifade verildiğinde, "Bugün hava güneşli ise hava 20 derecedir." bileşik önermesi, sembolik mantıkta (p → q) şeklinde gösterilebilir.

Örnek:

"A gerçek bir sayı ise, o zaman B de gerçek ve C asal sayıdır." önermesi sembollerle p → (q ∧ r) olarak ifade edilebilir. 

Örnek:

"120 sayısı 3 ile bölünebilir ve çift bir sayı ise bu sayı 6 sayısının tam katı olmaz." önermesi sembollerle (p ∧ q)→r' olarak ifade edilebilir. 

Örnek:

"Bir üçgenin çevresi tek sayı olursa bu üçgen ancak ve ancak dik üçgen veya çeşitkenar üçgen olur." önermesi sembollerle p→(q V r) olarak ifade edilebilir. 

Örnek:

"Ali, bir erkek ismidir veya Ay dünyanın uydusu değilse iki ile tam bölünebilen bir sayı, 7 den büyük olur." önermesi sembollerle (p V q')→(r V s) olarak ifade edilebilir. 

Örnek:

"Bir isim A ile başlamazsa yazılan kelimeler 3 harfli olur ya da son harfi t ile bitmez." önermesi sembollerle p'→(q ⊻ r') olarak ifade edilebilir. 

Sembolik mantıkta önermeler; genellikle p,q,r,s,t...vb gibi küçük harfle gösterilirken iki ya da daha fazla önerme, birbirine ∧, V, ⊻, →, ↔ gibi bağlaçlar yardımıyla bağlanarak daha karmaşık bileşik önermeler oluşturulur. 

Mantıkta evrensel ve kısmi niceleyiciler de sembolik olarak ifade edilebilir. Bir önermenin evrensel olarak doğru olup olmadığını belirleyen bir kavrama "evrensel niceleyici" denir. Evrensel niceleyici kavramı (∀), bir önermenin tüm durumlar için doğru veya yanlış olup olmadığını belirtir. Örneğin, "Her insan ölümlüdür" ifadesindeki "her" sözcüğü evrensel niceleyicidir çünkü ifade tüm insanlar için doğru bir hüküm belirtir. Buradaki "ölümlü olma" hükmünün dışına hiçbir insan çıkamaz, yani cümlede geçen "ölümlülük" ifadesi bütün insanları kapsar. Evrensel nicelendirmeler, mantıksal ifadelerde belirli bir evrendeki tüm öğeler için bir ifadenin geçerli olduğunu belirtmek için kullanılır. "Bütün kuşlar uçabilir" ifadesindeki "bütün" evrensel niceleyici kullanarak, her kuşun uçma yeteneğine sahip olduğunu belirtiriz. Bu nicelendiriciler, bir kümeye ait tüm nesneler veya kavramlar hakkında genelleştirmeler yapmamıza, kesin hüküm vermemize veya evrensel doğruları ifade etmemize yardımcı olur. Evrensel niceleyiciler genellikle "her", "tüm", "bütün" "kesinlikle", gibi kavramlar yardımıyla ifade edilir. Bu kavramlar, hükümde genel geçerlilik ve doğruluk ifade etmek üzere kullanılır. Evrensel niceleyicisi, "Üniversal Niceleyici" (Universal Quantifier) olarak da isimlendirilir.  "∀" sembolü ile temsil edilir ve bu sembol kullanıldığı yerde "her" veya "tüm" anlamına gelir, cümlenin başında yazılır. Örneğin, "∀x (P(x))" açık önermesi "her x için P(x)" anlamına gelir.

Mantıkta varlık nicelikleri, ifadelerin içerdikleri öğelerin miktarını belirleyen ve onların gruplama biçimini tanımlayan önemli kavramlardır. Bu nicelikler, mantıksal ifadelerin doğruluğunu ve anlamını belirlerken kullanılır ve ifadeleri daha spesifik hale getirir. Evrensel nicelik ifadeleri tüm öğeleri kapsarken, varlık niceleyici ifadeleri ifadenin bir kısmını belirtir. Hiçbir nicelik ifadesi ise hiçbir öğeyi içermediğini belirtirken, bazı nicelik ifadesi belirli bir kısmını kapsar ancak tümünü kapsamaz. 

Varlık Niceleyicisi, (Existential Quantifier) "∃" sembolü ile temsil edilir ve "bazı veya birkaç" anlamına gelir. Örneğin, "∃x (P(x))" açık önermesi "bazı x'ler için P(x)" anlamına gelir.

Sık kullanılan Evrensel ve varoluşsal nicelendiricilere ek olarak, mantıkta diğer önemli nicelendiriciler de bulunmaktadır:

Tekil Varoluş Nicelendirici: "∃!" şeklinde temsil edilir ve belirli bir özelliği karşılayan yalnızca bir örneğin varlığını ifade eder. 

Örnek: "∃!x (P(x))" ifadesi "P(x) özelliğini karşılayan yalnızca bir x var" anlamına gelir.

En Az n Varoluş Nicelendirici: "∃≥n" olarak gösterilir ve belirli bir özelliği karşılayan en az n örneğin varlığını belirtir.

Örnek: "∃≥3x (P(x))" ifadesi "P(x) özelliğini karşılayan en az üç x var" anlamına gelir.

Mantıksal nicelendiriciler, bir alan üzerinde nicelendirme yaparak ve bu öğelerin karşılaması gereken koşulları belirtirken mantıkta önemli bir rol oynarlar.

Bu niceleyiciler, matematiksel ifadeleri ve mantıksal önermeleri doğru bir şekilde tanımlamak ve analiz etmek için sıklıkla kullanılır.

Mantık Konusuyla ilgili özet ders notuna ulaşmak için tıklayınız. (PDF)

Mantık doğruluk tabloları

Mantıkta doğru ya da yanlış bir hüküm bildiren ifadelere önerme denir ve önermeler genellikle p, q, r, s,... gibi küçük harflerle gösterilir. Verilen bir önerme doğru ise doğruluk değeri “1”, yanlış ise doğruluk değeri “0” dır. Böylece bir önermenin doğru ya da yanlış olma durumuna göre iki farklı doğruluk durumu vardır. Dolayısıyla birden fazla önerme olursa doğruluk durumu 2'nin kuvvetleri biçiminde değişiklik gösterir. n tane önermenin, 2ⁿ tane doğruluk durumu vardır. Bir mantıksal ifadenin doğru mu yanlış mı olduğunu gösteren tablolara doğruluk tablosu denir. Doğruluk tablosu, bir veya daha fazla basit ya da bileşik önermenin tüm olası doğruluk durumlarını ve bu durumlara karşılık gelen sonuçlarını tek parçada gösteren bir tablodur. Bağlaçların durumlarına göre oluşturulan önermelerin doğruluk durumları kolayca doğruluk tablosunda test edilebilir. 

Çift yönlü koşullu önerme

Çift yönlü koşullu önerme, "ancak" bağlacı ile kurulan bir önermedir. İki taraftan da koşulun sağlanmasını gerektirir. p ↔ q şeklinde sembolle gösterilir."p ancak ve ancak q ise" şeklinde okunur. p ↔ q önermesi esasında iki taraftan "ise" bağlacı ile kurulmuş koşullu önermenin "ve" bağlacı ile birleştirilmesiyle oluşmuştur. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)  Örneğin "Sınavı kazanırsan, ancak ve ancak üniversiteye gidebilirsin." önermesi çift yönlü koşullu önermeye örnek olarak verilebilir. 

"Ahmet derse gelirse, Ayşe de gelir." ve "Ayşe derse gelirse, Ahmet de gelir."cümlelerini tek bir ifadede birleştirebiliriz: "Ahmet ancak ve ancak Ayşe derse gelirse gelir." Bu cümlede iki farklı önerme vardır. p:"Ahmet derse gelir." ve q:"Ayşe derse gelir." Bu önermelerin birleşimi ile "ancak" bağlacı ile kurulmuş bir önerme olur. Mantıksal gösterimi: p ↔ q şeklindedir. Ahmet derse gelirse Ayşe ders gelir ve Ayşe ders gelirse Ahmet derse gelir." cümlesine eşdeğerdir. Cümlenin ifade ettiği anlam mantık açısından bir zorunluluk bildirip "Ahmet ve Ayşe'nin ikisi birlikte gelir ya da ikisi de gelmez" anlamındadır.
"Ancak ve ancak" bağlacında, iki önermenin her ikisi doğruysa ya da her iki önermenin her ikisi yanlışsa sonuç doğru olur, önermelerden biri doğru diğeri yanlış ise sonuç yanlış olur. (1↔1 ≡ 1)   (0↔0 ≡ 1) p p→q koşullu önermesinin doğruluk değeri “1” ise bu koşullu önermeye gerektirme denir. (p → q) ≡ 1 Çift yönlü koşullu önermeye, "Çift gerektirme" de denilir. (p ↔ q ≡ 1)

"Bugün ancak ve ancak pazartesiyse ders vardır." (p ↔ q) önermesinde doğruluk durumu şu şekilde yazılabilir. Öncelikle burada iki farklı önerme vardır. p: "Bugün pazartesidir." q: "Ders vardır." Ancak ve ancak bağlacında kural "p ↔ q için p ve q aynı doğruluk durumuna sahipse önerme doğru değilse yanlıştır. Buna göre bu önermelere bağlı olarak (p ↔ q) önermesinin doğruluk durumunu inceleyelim: 

1 ↔ 1≡ 1 "Eğer bugün pazartesi ve ders varsa" önerme doğru olur.

1 ↔ 0≡ 0"Eğer bugün pazartesi ama ders yoksa" önerme yanlış olur.

0 ↔ 1≡0"Eğer bugün pazartesi değil ama ders varsa" önerme yanlış olur.

0 ↔ 0≡ 1 "Eğer bugün pazartesi değil ve ders de yoksa" önerme doğru olur.

 Mantık Konusuyla ilgili özet ders notuna ulaşmak için tıklayınız. (PDF)

Koşullu Önerme

Koşullu önerme, mantıkta bir şarta bağlı olarak kurulan önermelerdir. Şartın gerçekleşme durumuna göre koşullu önermenin doğruluk durumu değişiklik gösterir. p → q şeklinde yazılır ve şu anlama gelir: "p doğruyken q önermesi yanlış ise bileşik önerme yanlış, diğer tüm durumlarda önerme doğru olur. "Yağmur yağarsa yerler ıslanır" önermesi bir koşula bağlı olduğundan ise bağlacı ile kurulmuş bir bileşik önermedir. "yağmur yağıyorsa" (p), "yerler ıslaktır" (q) gibi iki ayrı önerme birbirine bağlaçla (ise) bağlanmıştır. "yağmur yağıyorsa" (p ≡ 1) "yerler ıslanmaz" (q≡0) durumu mümkün olmadığından yani 1 → 0 ≡ 0 olacağından bu durumda bileşik önerme yanlış olur. Bunun harici tüm durumlarda önerme doğru olur.

 Tabloda verilen tüm durumları inceleyelim.

1 → 1 yağmur yağıyor, yerler ıslanıyor → Beklendiği gibi, önerme doğru 

1 → 0 Yağmur yağıyor ama yerler ıslanmıyor → Beklenen olmadı, önerme yanlış.

0 → 1 Yağmur yağmıyor ama yerler başka bir sebeple ıslanmış → Yine de önerme doğru sayılır.

0 → 0 Yağmur yağmıyor, yerler ıslanmıyor → Koşul gerçekleşmediği için önerme doğru kabul edilir.

---

Koşullu önermelerin mantığında, sadece koşul gerçekleşip sonuç gerçekleşmezse önerme yanlıştır. Bunun (1 → 0 ≡ 0) haricindeki tüm durumlarda önerme doğru olur.  Ayrıca bir koşullu önermenin karşıt tersi de kendisine doğruluk durumu bakımından denk olur. Örneğin "Eğer yağmur yağarsa, zemin ıslanır." (A → B) "Eğer zemin ıslanmıyorsa, yağmur yağmamıştır." (B^' →A^') Bu iki cümle birbirinin denk önermeleridir (A → B) ≡ (B^' →A^') çünkü her durumda, biri doğruysa, diğeri de doğru olur; biri yanlışsa, diğeri de yanlış olur. 

Bir koşullu önermenin tersi, karşıtı ve karşıt tersi bulunabilir. Buna göre "Yağmur yağarsa yerler ıslanır." (p → q) önermesini inceleyelim: 

(p → q): "Yağmur yağarsa yerler ıslanır."

Koşullu Önermenin karşıtı (Converse) (q → p)
"Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde iki önermenin yerleri değiştirilir. Yani sonuç ile koşulun yerleri değişir.  Karşıt önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğer değildir.

(q → p): "Yerler ıslanırsa, yağmur yağar."

Koşullu Önermenin tersi ((Inverse) (p' → q')
"Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde her iki önermenin yerleri değiştirilmeden olumsuzları alınır. Yani her iki tarafın sadece değili alınır. Ters önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğer değildir.

 (p' → q'): "Yağmur yağmazsa, yerler ıslanmaz." 

Koşullu Önermenin karşıt tersi (Contrapositive) (q' → p') "Yağmur yağarsa yerler ıslanır." önermesinde her iki önermenin hem yerleri değiştirilir hem de olumsuzları alınır.  Karşıt ters önerme, orijinal önerme ile doğruluk durumu bakımından eşdeğerdir. Bu önerme, orijinal önerme ile mantıksal olarak denk kabul edilir..Yani biri doğruysa diğeri de kesinlikle doğrudur. (p → q) ≡ (q^' →p^')

(q' → p') "Yerler ıslanmazsa, yağmur yağmaz."

"İse" bağlacı ile kurulmuş bi koşullu önerme "veya" bağlacı kullanılarak da yazılabilir. Her ne kadar günlük kullanımda böyle bir kullanım yaygın olmasa da mantıksal açıdan (p → q) ≡ (p^' ∨ q) önermesi birbirine doğruluk durumu bakımından denktir. "Eğer çalışırsan, başarılı olursun." (p → q) önermesi (p: çalışırsın, q: başarılı olursun) "Veya" bağlacıyla "Çalışmazsan veya başarılı olursun." (p' ∨ q) şeklinde yazılır.

"Ve, Veya, Ya da" Bağlaçları

"VE" BAĞLACI: (mantıksal olarak ∧ sembolü ile gösterilir), iki önermenin birlikte doğru olması durumunda doğru olan bir mantıksal bağlaçtır. Başka bir deyişle, A ∧ B ifadesi (A ve B), her ikisi de doğruysa doğru olur; ancak biri bile yanlışsa, tüm ifade yanlıştır. "Ve" bağlacı, doğru bir sonucu elde etmek için her iki hükmün de yerine gelmesi gerekir. Bu bağlacın kullanıldığı bir bileşik önerme, yalnızca her iki önerme de doğruysa doğru olur. Bu nedenle kesin ayrım yapılması gereken durumlarda sıklıkla kullanılır.

"Evin içinde ışık yanıyor ve dışarıda güneşli bir hava var."
(Bu cümlede, "ışığın yanması" ve "dışarıda güneşli bir hava olması" koşulları, her ikisi de doğru olduğunda, tüm önerme doğru olur.)

"Bugün yağmur yağıyor ve hava -4 derece."
(Bu örnekte, hem "yağmur yağması" hem de "havanın -4 derece olması" durumunun doğru olması durumunda tüm önerme doğru olur.) 

Önerme Nedir?

Mantıkta en küçük birim önermedir. Önerme, mantığın temel yapı taşlarından biridir ve genellikle sembolik mantıkta incelenir. Önerme, mantıkta, doğru ya da yanlış olabilen, bir düşünceyi ifade eden ve bir değer taşıyan cümle veya ifadedir. Başka bir deyişle, bir önerme, belirli bir durumu veya gerçeği belirten bir ifadedir ve bu ifade doğru ya da yanlış olabilir. Ancak bir önerme; soru, istek, emir ya da ünlem cümlesi gibi doğruluğu değerlendirilemeyen bir şey olamaz. “Bugün hava güneşlidir.” bir önermedir, çünkü bu ifade herhangi bir gerçekliğe karşılık gelir ya da gelmez; bu da onun doğru ya da yanlış olması anlamına gelir. Ancak “Merhaba!”, “Lütfen kitabı uzatır mısın?” gibi ifadeler bir önerme değildir, çünkü bu cümleler, hüküm belirtmezler ve doğruluk değeri taşımazlar. Bir önermeyi oluşturan şey, anlamının açık ve çelişkisiz olmasıdır. Belirsiz, çok anlamlı ya da mecazi dil kullanmak mantık için sorunludur, çünkü mantık olabildiğince net, tanımlı ve kesin yargılarla çalışır.

Mantık, düşüncenin içeriğiyle değil, onun biçimiyle, yani yapısıyla ilgilenir. Bir düşünce doğru olabilir ama mantıklı olmayabilir; ya da bir düşünce mantıksal olarak kusursuz olabilir ama içerdiği bilgi gerçek dışı olabilir. Mantık bu iki alanı  birbirinden ayırır: doğruluk (truth) ve geçerlilik (validity). Mantıkta "Geçerlilik", bir düşünce zincirinde yani çıkarımda, öncüller doğru olduğunda sonucun da zorunlu olarak doğru olması hâlidir. Yani, eğer önermeler doğruysa ve aradaki bağ mantıksal kurallara uygunsa, sonuç tartışmasız biçimde doğrudur. Bu durumda çıkarım geçerlidir, çünkü biçimsel yapısı sağlamdır. 

Mantıkta "Doğruluk" (veya gerçeklik), bir önermenin gerçek dünyadaki gerçek durumu yansıtıp yansıtmadığı ile ilgili bir kavramdır. Başka bir deyişle, bir önerme doğru olduğunda, onun içeriği gerçek dünya ile uyumludur. Eğer bir önerme gerçek dünyada doğruysa, doğru olarak kabul edilir; eğer gerçek dünyada yanlışsa, yanlış olarak değerlendirilir. Örneğin, "2 + 2 = 4" önermesi doğru bir önermedir, çünkü bu matematiksel bir gerçeği yansıtır. Örneğin, "Ay, Mars'ın uydusudur." önermesi ise yanlış bir önermedir.

Mantık ve Tarihçesi

Mantık, insan zihninin düşünsel işleyişini; doğruluk ve yanlışlık, tutarlılık ve çelişki gibi kavramlar çerçevesinde sistematik, nesnel ve tutarlı bir yaklaşımla ele alan bir disiplindir. Kuramsal ve uygulamalı yönleri bir arada barındıran mantık, felsefe, matematik, dilbilim, bilişim ve bilimsel düşüncenin metodolojik temellerini paylaşan köklü bir bilgi alanıdır. Mantık, insan zihninin kavramsal düşünme, değerlendirme ve çıkarım üretme yetilerinin yapısını ve işleyiş ilkelerini sistematik bir biçimde inceleyen disiplinler arası bir bilgi alanıdır. Doğru ile yanlış, tutarlılık ile çelişki gibi temel karşıtlıklar üzerinden zihinsel süreçlerin geçerlilik ve doğruluk ölçütlerini sorgular. Akıl yürütme süreçlerinin hangi ilkelere dayanarak geçerli ve doğru sayılabileceğini belirlemeyi amaçlar. Bu bağlamda, mantık yalnızca soyut akıl yürütmenin kurallarını belirlemekle kalmaz; aynı zamanda bilgi üretimi, problem çözme ve eleştirel düşünme gibi bilişsel faaliyetlerin temelini oluşturur. 

Mantık, kuramsal yönüyle formel sistemler ve sembolik dil yapılarını araştırırken; pratik yönüyle gündelik yaşamda, bilimsel yöntemlerde ve teknolojik uygulamalarda geçerli akıl yürütme biçimlerinin analizine olanak sağlar. Mantık, felsefenin epistemoloji ve ontolojiyle kesişen alanlarında temellenirken; matematikte ispat kuramı ve model teorisiyle, dilbilimde anlamsal yapıların çözümlenmesiyle, bilişimde algoritmik düşünceyle ve bilimsel metodolojide deneysel verilerin akılcı yorumlanmasıyla iç içe geçmiştir. Bu çok yönlü yapısıyla mantık, yalnızca bir düşünme aracı değil, modern bilginin inşasında merkezi bir epistemolojik zemin sunar.İnsan zihni, yalnızca bilgi toplamakla kalmaz; aynı zamanda bu bilgileri sınıflandırır, ilişkilendirir ve yeni bilgiler türetir. Mantık, bu türetim süreçlerinin geçerliliğini analiz eder.  

Mantığın temel inceleme alanları, önermelerin ve çıkarımların doğru ya da yanlış olma durumları ile bir düşünce sisteminin kendi içinde tutarlılık taşıyıp taşımadığıdır. Bu karşıtlıklar, mantıksal değerlendirmede ölçüt işlevi görür. Klasik mantık, sembolik mantık, çok-değerli mantık gibi yapılar üzerinden düşünce biçimlerinin formelleştirilmesine yardım eder. Gündelik akıl yürütme, bilimsel hipotez testleri, yapay zekâda karar alma algoritmaları vb. alanlara uygulanabilirlik açısından mantıksal süreçler önemli yer tutar. Mantık bilimi, Felsefe, Matematik, Dil Bilim, Bilgisayar ve Bilişim gibi alanlarda uygulama alanlarına sahiptir.  

Mantık Tarihçesi: İlk sistemli mantık olmasa da, doğa filozofları (örneğin Herakleitos, Parmenides) evrenin yapısını açıklarken mantıksal çıkarımlara başvurmuşlardır. Sokrates, mantıksal sorgulama (sokratik yöntem) yoluyla doğru bilgiye ulaşılabileceğini savunmuş ve eleştirel düşüncenin temellerini atmıştır. Aristoteles (M.Ö. 384–322), mantığı bağımsız bir disiplin haline getirmiştir. Aristoteles'in “Organon” adlı eserinde kıyas (sillojizm) "Tüm insanlar ölümlüdür. Sokrates bir insandır. Öyleyse Sokrates ölümlüdür." kıyas yöntemini sistemleştirmiştir. Kategoriler, önermeler, tümdengelim gibi birçok temel mantık kavramları Aristoteles’e dayanır. Aristoteles’in mantığı yaklaşık 2000 yıl boyunca Batı düşüncesine yön vermiştir. 

Helenistik ve Roma Döneminde "Stoacılar" (özellikle Chrysippos), mantığı daha sembolik hale getiren "önermeler mantığını" geliştirmişlerdir. Aristoteles’in düşünceleri Roma’da Boethius tarafından Latinceye çevrilmiştir. İslam düşünürlerinden Farabi, İbn Sina ve İbn Rüşd’ün, mantığı felsefi düşünceyle bütünleştirdiği ve medrese eğitiminde temel bir bilim dalı haline getirdiği dile getirilmiştir. İbn Sina’nın "işraki mantık" ve "burhan" (kanıtlama) kavramları, bu dönemde delil getirme ve ispatlama açısından önemli olmuştur. Aynı dönemlerde Batı dünyasında Skolastik düşünürlerin çoğu, mantığı dini argümanlara yerleştirmiştir. Özellikle Thomas Aquinas mantığı teolojik tartışmalarda çok sık kullanmıştır. 

Yeni Çağ’da Descartes ve Leibniz, rasyonel düşünceye büyük önem vermişlerdir. Bu bağlamda Leibniz’in evrensel bir mantık dili tasarladığı, mantığın matematiksel bir biçime dönüştürülmesini sağlamıştır. Kant, mantığı zihnin yapısal kategorileriyle ilişkilendirip mantık ile bilginin temellerini sorgulamaya açmıştır. 19. yüzyılda George Boole’un mantığı matematiksel formlara dökerek sembolik bi dil ile önemeler mantığını ifade etmiş, Gottlob Frege de günümüzdeki çağdaş mantığın temellerini atmıştı. Gottlob Frege, mantığın dilsel çözümlemelere dayalı sistematik bir yapı özelliğini ortaya çıkarmıştır. Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead, tüm matematiği mantıksal ilkelerle temellendirmeye çalışarak farklı bir yaklaşım sergilemişlerdir. 20. yüzyılda Wittgenstein’ın, dil ile mantık arasında sıkı bir ilişki kurarak mantığın dilsel anlam çözümlemeleriyle birleştirip mantık ve dil arasındaki etkileşimleri incelemiştir. Alan Turing ise mantığı bilgisayar bilimine yerleştirerek, mantığın bilişimdeki önemini ortaya koymuştur.

 

Mantık Konusuyla ilgili özet ders notuna ulaşmak için tıklayınız. (PDF)

Önerme nedir?

"Ve, Veya, Ya da" Bağlaçları

Koşullu Önerme

Çift yönlü Koşullu Önerme

Mantık doğruluk tabloları

Sembolik mantık